Ecuación de Korteweg-de Vries

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La ecuación de Korteweg-de Vries ( ecuación KdV ; también deletreada de Vries , de Vries , de Vries , De Vries ; ing. Korteweg–de Vries ecuación ) es una ecuación diferencial parcial de tercer orden no lineal que juega un papel importante en la teoría de las ondas no lineales , principalmente de origen hidrodinámico . Fue obtenido por primera vez por Joseph Boussinesq en 1877 [1] , pero un análisis detallado ya fue realizado por Diederik Korteweg y Gustav de Vries .en 1895 [2] .

La ecuación se parece a:

{\frac {\parcial u}{\parcial t))+6u{\frac {\parcial u}{\parcial x))+{\frac {\parcial ^{3}u}{\parcial x^{3 }}}=0

Decisiones

Para la ecuación de Korteweg-de Vries se han encontrado un gran número de soluciones exactas, que son ondas no lineales estacionarias. En particular, esta ecuación tiene soluciones del tipo solitón de la siguiente forma:

u\left(x,t\right)={\frac {2\kappa ^{2}}{\cosh ^{2}\left[\kappa \left(x-4\kappa ^{2} t-x_{0}\right)\right]}}

donde es un parámetro libre que determina la altura y el ancho del solitón, así como su velocidad; es también una constante arbitraria, dependiendo de la elección del origen del eje x . De particular importancia para los solitones es el hecho de que cualquier perturbación inicial, que disminuye exponencialmente hasta el infinito, evoluciona con el tiempo en un conjunto finito de solitones separados en el espacio. Una búsqueda exacta de estas soluciones se puede realizar de manera regular utilizando el método de dispersión inversa . $\kappa$ $x_{0}$

Las soluciones periódicas de la ecuación de Korteweg-de Vries tienen la forma de ondas cnoidales descritas por integrales elípticas :

x-ct-x_{0}=\int \left(2E+cu^{2}-2u^{3}\right)^{-{\frac {1}{2))}du

donde c , E son los parámetros de onda que determinan su amplitud y periodo .

Asimismo, la ecuación de Korteweg-de Vries permite soluciones autosimilares , que en el caso general se pueden obtener mediante transformaciones de Bäcklund y se expresan en términos de soluciones a la ecuación de Painlevé .

Integrales de movimiento y la representación de Lax

La ecuación de Korteweg-de Vries es de gran importancia para la teoría de los sistemas integrables como uno de los ejemplos más simples de una ecuación diferencial no lineal con solución exacta. La integrabilidad está asegurada por la presencia de un número infinito de integrales de movimiento en la ecuación , que tienen la forma

I_{n}=\int_{-\infty}^{+\infty}P_{2n-1}(u,\,\parcial_{x}u,\,\parcial_{x}^ {2}u,\,\lpuntos)\,{\texto{d}}x\,

donde son polinomios de grado n en la función desconocida y sus derivadas espaciales, dados recursivamente de la siguiente manera: $P_{n}$

{\begin{alineado}P_{1}&=u,\\P_{n}&=-{\frac {dP_{n-1}}{dx}}+\sum _{i=1} ^{n-2}\,P_{i}\,P_{n-1-i},\quad n\geq 2.\end{alineado}}

Se pueden obtener usando la representación de Lax

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

a través de un par de operadores

{\begin{alineado}L&=-\parcial _{x}^{2}+u,\\P&=-4\parcial _{x}^{3}+6u\parcial _{x}+ 3u_{x}.\end{alineado}}

Además, se puede demostrar que la ecuación de Korteweg-de Vries tiene una estructura bi-hamiltoniana.

Algunas primeras integrales de movimiento:

peso $\int u\,{\text{d}}x,$
legumbres $\int u^{2}\,{\text{d}}x,$
energía $\int \left[2u^{3}-\left(\partial _{x}u\right)^{2}\right]\,{\text{d}}x.$

Generalizaciones

En presencia de disipación, la ecuación de Korteweg-de Vries se transforma en la ecuación de Burgers-Korteweg-de Vries , que tiene la forma

{\frac {\parcial u}{\parcial t))+6u{\frac {\parcial u}{\parcial x))+{\frac {\parcial ^{3}u}{\parcial x^{3 ))}=\nu {\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}

donde el parámetro caracteriza la cantidad de disipación. $\nu$

En geometría bidimensional, una generalización de la ecuación de Korteweg-de Vries es la llamada ecuación de Kadomtsev-Petviashvili , que tiene la forma:

{\frac {\parcial }{\parcial x))\left({\frac {\parcial u}{\parcial t))+6u{\frac {\parcial u}{\parcial x))+{\frac {\parcial ^{3}u}{\parcial x^{3}}}\right)=\pm {\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y^{2}}}

Notas

↑ Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes (francés) . - 1877. - S. 360. - 680 p.
↑ DJ Korteweg , G. de Vries . Sobre el cambio de forma de las ondas largas que avanzan en un canal rectangular y sobre un nuevo tipo de ondas largas estacionarias // Revista filosófica . - 1895. - vol. 39 . - Pág. 422-443 .

Literatura

Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P. Sistemas integrables. I.- Sistemas Dinámicos - 4, Itogi Nauki i Tekhniki. - M. : VINITI, 1985. - T. 4. - S. 179-284. - (Problemas modernos de matemáticas. Direcciones fundamentales).
Zakharov V. E., Manakov S. V., Novikov S. P., Pitaevskii L. P. Teoría de los solitones: el método del problema inverso. - 1980. - 319 págs.
Ecuación de Korteweg-de Vries - Artículo de la Enciclopedia de Física
J.Whitham. 13.11. La ecuación de Korteweg-de Vries y Boussinesq // Ondas lineales y no lineales . - Mir, 1977. - S. 443-448. — 622 págs.
Newell A. Solitons en matemáticas y física. - 1989. - 326 págs.

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