Problema de Goldbach

El problema de Goldbach ( la conjetura de Goldbach , el problema de Euler, el problema binario de Goldbach ) es una afirmación de que cualquier número par , a partir de 4, puede representarse como la suma de dos números primos . Es un problema matemático abierto  : a partir de 2022, la afirmación no ha sido probada. Junto con la hipótesis de Riemann, se incluye en la lista de problemas de Hilbert en el número 8 .

Una versión más débil de la hipótesis, el problema ternario de Goldbach , según el cual cualquier número impar , a partir del 7, puede representarse como la suma de tres números primos , fue probada en 2013 por el matemático peruano Harald Gelfgott . De la validez del problema binario de Goldbach, se sigue de manera obvia el ternario: si todo número par, a partir del 4, es la suma de dos números primos, entonces sumando 3 a cada número par, se pueden obtener todos los impares. Números a partir del 7.

Historia

En 1742, el matemático Christian Goldbach envió una carta a Leonhard Euler , en la que hacía la siguiente conjetura: todo número impar mayor que 5 se puede representar como la suma de tres primos.

Euler se interesó en el problema y planteó una hipótesis más sólida: todo número par mayor que dos puede representarse como la suma de dos números primos.

El primer enunciado se llama problema ternario de Goldbach , el segundo se llama problema binario de Goldbach (o problema de Euler ).

Waring planteó una hipótesis similar al problema ternario de Goldbach, pero en una forma más débil, en 1770 : todo número impar es un número primo o la suma de tres primos.

Problema ternario de Goldbach

En 1923, los matemáticos Hardy y Littlewood demostraron que, si alguna generalización de la hipótesis de Riemann es cierta, el problema de Goldbach es cierto para todos los números impares suficientemente grandes.

En 1937, Vinogradov presentó una prueba independiente de la validez de la hipótesis de Riemann, es decir, demostró que cualquier número impar lo suficientemente grande puede representarse como la suma de tres números primos. El propio Vinogradov no dio una estimación explícita para este "número suficientemente grande", pero su estudiante Konstantin Borozdin demostró que el límite inferior no excede 3 3 15 ≈ 3.25×10 6 846 168 ≈ 10 6 846 168 . Es decir, este número contiene casi 7 millones de dígitos, lo que hace imposible verificar directamente todos los números más pequeños.

Posteriormente, el resultado de Vinogradov se mejoró muchas veces, hasta que en 1989 Wang y Chen redujeron [2] el 1043000.5≈1043000≈ 3.33339×11.503eelímite inferior a

En 1997, Desuiers , Effinger , te Riehl y Zinoviev demostraron [3] que la hipótesis de Riemann generalizada implica la validez del problema ternario de Goldbach. Demostraron su validez para números mayores que 10 20 , mientras que la validez del enunciado para números más pequeños se establece fácilmente en una computadora.

En 2013, la conjetura ternaria de Goldbach fue finalmente probada por Harald Gelfgott [4] [5] [6] [7] .

Problema binario de Goldbach

El problema binario de Goldbach aún está lejos de resolverse.

Vinogradov en 1937 y Theodor Estermann en 1938 demostraron que casi todos los números pares pueden representarse como la suma de dos números primos. Este resultado fue mejorado ligeramente en 1975 por Hugh Montgomery y Bob Vaughan .  Demostraron que hay constantes positivas cy C tales que el número de números pares no mayores que N que no pueden representarse como la suma de dos números primos no excede .  

En 1930, Shnirelman demostró que cualquier número entero puede representarse como una suma de 800 000 números primos como máximo [8] . Este resultado ha sido mejorado muchas veces, así, en 1995, Olivier Ramaret demostró que cualquier número par es la suma de como máximo 6 números primos.

De la validez de la conjetura ternaria de Goldbach (probada en 2013), se deduce que cualquier número par es la suma de como máximo 4 números primos.

En 1966, Chen Jingrun demostró que cualquier número par lo suficientemente grande puede representarse como la suma de dos primos o como la suma de un primo y un semiprimo (el producto de dos primos). Por ejemplo, 100 = 23 + 7 11.

A partir de abril de 2012, la conjetura binaria de Goldbach se ha probado [9] para todos los números pares que no excedan 4 × 10 18 .

Si la hipótesis binaria de Goldbach es incorrecta, entonces hay un algoritmo que tarde o temprano detectará su violación.

La conjetura binaria de Goldbach se puede reformular como una afirmación sobre la insolubilidad de una ecuación diofántica de cuarto grado de alguna forma especial [10] [11] .

En la cultura

En 1992 se publicó la “novela de ideas” de Apostolos Doxiadis “ El tío Petros y el problema de Goldbach ” que obtuvo una gran popularidad . Con fines promocionales, Faber and Faber prometieron un millón de dólares a cualquier lector que pudiera resolver el problema dentro de los dos años de circulación. La novela fue traducida a decenas de idiomas, en 2002 apareció su traducción al ruso [12] .

El problema de Goldbach es un punto importante de la trama en la película Trap Farm de 2007 y en el piloto de Lewis de 2006 .

Notas

1. ↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125-129 Archivado el 1 de julio de 2019 en Wayback Machine .
2. ↑ JR Chen y TZ Wang, Sobre el extraño problema de Goldbach, Acta Mathematica Sinica 32 (1989), 702-718. Anexo 34 (1991) 143-144.
3. ↑ Jean-Marc Deshouillers Archivado el 25 de octubre de 2012 en Wayback Machine , Gove Effinger Archivado el 1 de octubre de 2012 en Wayback Machine , Herman te Riele Archivado el 29 de marzo de 2012 en Wayback Machine , Dmitrii Zinoviev Archivado el 29 de agosto de 2014 en Wayback Machine Machine , A completar el teorema de los 3 primos de Vinogradov bajo la hipótesis de Riemann , Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, vol. 3, págs. 99 - 104. 1997.
4. ↑ Terence Tao - Google+ - Día ajetreado en teoría analítica de números; Harald Helfgott tiene…  (inglés) . Consultado el 10 de junio de 2013. Archivado desde el original el 22 de marzo de 2017.
5. ↑ Arcos principales del teorema de Goldbach Archivado el 29 de julio de 2013 en Wayback Machine , HA Helfgott // arxiv 1305.2897
6. ↑ Variaciones de Goldbach Archivado el 16 de diciembre de 2013 en Wayback Machine // SciAm blogs, Evelyn Lamb, 15 de mayo de 2013
7. ↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Archivado el 23 de junio de 2013 en Wayback Machine // Science 24 de mayo de 2013: vol. 340 núm. 6135 pág. 913 doi:10.1126/ciencia.340.6135.913
8. ↑ R. Courant, G. Robbins ¿Qué son las matemáticas? Archivado el 11 de enero de 2014 en Wayback Machine  - 3.ª ed., rev. y adicional — M.: MTSNMO, 2001.
9. ↑ Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture  en el sitio web Wolfram MathWorld .
10. ↑ Yuri Matiyasevich. El décimo problema de Hilbert: qué se hizo y qué se debe hacer . Archivado el 13 de junio de 2010 en Wayback Machine .
11. ↑ El décimo problema de Matiyasevich Yu. V. Hilbert . — Nauka, 1993.  (Ruso) […] podemos reformular la conjetura de Goldbach como un enunciado de que la ecuación diofántica es resoluble con respecto a todos los valores del parámetro
12. ↑ Uncle Petros and the Goldbach problem ( Archivado el 14 de septiembre de 2017 en Wayback Machine ) en el sitio web de Ozon.

Literatura

• " Enciclopedia Matemática ". M. 1977. Tomo I, pág. 94, artículo "Problemas aditivos".
• Prahar K. P. La distribución de los números primos . - M. : " Mir ", 1967. - 512 p. (Ruso)
• Ian Stewart . El territorio de los números primos. Problema de Goldbach // Los mayores problemas matemáticos. - M. : " No ficción Alpina ", 2016. - 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 . (Ruso)

Enlaces

• Konyaev, Andrei . Dios ama a una trinidad . Se ha resuelto uno de los problemas matemáticos más antiguos y difíciles . Lenta.ru (17 de junio de 2013) .  — Al completar la demostración del problema ternario de Goldbach. Consultado el 21 de enero de 2016. Archivado desde el original el 19 de junio de 2013. (Ruso)
• Petrov S. Programación absoluta. La recursividad  es un ejemplo de un típico intento pseudomatemático de probar el problema de Goldbach mediante tamizado.

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran ruso
En catálogos bibliográficos	BNF : 13745227d J9U : 987007544410505171 LCCN : sh97007184