Base

La base ( otro griego βάσις "base") es un conjunto ordenado (finito o infinito) de vectores en un espacio vectorial , de modo que cualquier vector de este espacio puede representarse de manera única como una combinación lineal de vectores de este conjunto. Los vectores base se denominan vectores base .

En el caso de que la base sea infinita, es necesario aclarar el concepto de "combinación lineal". Esto lleva a dos tipos principales de definición:

Hamel base , en cuya definición solo se consideran combinaciones lineales finitas; Se utiliza principalmente en álgebra abstracta.
la base de Schauder , en cuya definición también se consideran infinitas combinaciones lineales, es decir, la expansión en serie ; aplicado principalmente en análisis funcional, en particular para el espacio de Hilbert .

En espacios de dimensión finita, ambas definiciones de base coinciden.

Origen del término

Para Euclides y otros matemáticos griegos antiguos , la palabra "base" (βάσις, que significa base ) denotaba la base horizontal de una figura plana o espacial. El significado matemático moderno de este término fue dado por Dedekind en un artículo de 1885 .

Base en el plano y en el espacio tridimensional

Cualquier sistema de coordenadas cartesianas en un plano o en un espacio tridimensional (también en un espacio de otra dimensión) puede estar asociado a una base formada por vectores, cada uno de los cuales está dirigido a lo largo de su propio eje de coordenadas. Esto se aplica tanto a coordenadas cartesianas rectangulares (entonces la base correspondiente se llama ortogonal ) como a coordenadas cartesianas oblicuas (a las que corresponderá una base no ortogonal).

A menudo es conveniente elegir la longitud ( norma ) de cada uno de los vectores base para que sea unitaria, tal base se llama normalizada.

La mayoría de las veces, la base se elige para que sea ortogonal y normalizada al mismo tiempo, entonces se llama ortonormal .

En cualquier espacio vectorial, la base se puede elegir de varias formas (cambiando las direcciones de sus vectores o sus longitudes, por ejemplo).

Notación

La designación de vectores base puede ser, en principio, arbitraria. Suelen utilizar alguna letra con índice (numérico o coincidente con el nombre del eje de coordenadas), por ejemplo:

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2}

{\vec e}_{x},{\vec e}_{y}

son designaciones típicas para la base de un espacio bidimensional (plano),

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2},{\vec e}_{3}

\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z

- espacio tridimensional. Para el espacio tridimensional, la notación a menudo se usa tradicionalmente

{\vec i},{\vec j},{\vec k}.

Representación de un vector espacial específico (cualquiera) como una combinación lineal de vectores base (la suma de vectores base por coeficientes numéricos), por ejemplo $\vec un$

{\vec a}=a_{x}{\vec e}_{x}+a_{y}{\vec e}_{y}+a_{z}{\vec e}_{z}

{\vec a}=a_{1}{\vec e}_{1}+a_{2}{\vec e}_{2}+a_{3}{\vec e}_{3}

o, usando el signo de suma : $\Sigma$

{\vec a}=\sum_{{i=1}}^{3}a_{i}{\vec e}_{i}

se llama la expansión de este vector en esta base.

Los coeficientes numéricos se denominan coeficientes de expansión, y su conjunto en su conjunto es una representación (o representante) de un vector en la base (La expansión de un vector en una base específica es única; la expansión del mismo vector en diferentes bases es diferente , es decir, se obtiene un conjunto diferente de números específicos, sin embargo, en el resultado cuando se suman, como se muestra arriba, dan el mismo vector). $(a_{x},a_{y},a_{z})$ $\vec un$ ${\vec e}_{x},{\vec e}_{y},{\vec e}_{z}.$

Tipos de bases

Base de Hamel

La base de Hamel es un conjunto de vectores en un espacio lineal , tal que cualquier vector espacial puede representarse como una combinación lineal finita de ellos ( la integridad de la base), y tal representación es única para cualquier vector.

El criterio para la unicidad de la solución al problema de expandir un vector en un sistema completo de vectores es la independencia lineal de los vectores incluidos en el sistema completo. La independencia lineal significa que cualquier combinación lineal de vectores del sistema, en la que al menos un coeficiente es distinto de cero, tiene una suma distinta de cero. Es decir, es equivalente a la unicidad de la descomposición del vector cero.

En el caso de los espacios lineales, cuando todo coeficiente distinto de cero es invertible, la independencia lineal equivale a la imposibilidad de expresar cualquier vector del sistema completo mediante una combinación lineal de otros vectores. (En una situación más general, módulos sobre anillos, estas dos propiedades no son equivalentes). La imposibilidad de expresar cualquier vector base en términos del resto significa que la base es mínima como un sistema completo de vectores, al eliminar cualquiera de ellos, se pierde la completitud.

En la cuestión de la existencia de bases, la principal es el siguiente lema (la demostración de este lema es generalmente no constructiva y utiliza el axioma de elección ):

Lema. Sea un sistema de vectores completo y linealmente independiente. Entonces el sistema contiene un conjunto de vectores que complementan el espacio a una base . $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{1}$ $S_{2}$ $V$

Prueba

La demostración se basa en la aplicación del lema de Zorn. Considere . Sea el conjunto de todos los subconjuntos linealmente independientes de . Este conjunto está parcialmente ordenado con respecto a la inclusión. ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2))$ $L$ $S$

Probemos que la unión de cualquier cadena de conjuntos linealmente independientes permanece linealmente independiente. Efectivamente, tomemos los vectores de la unión y tomemos los conjuntos de la cadena a la que pertenecen estos vectores: . Como estos conjuntos son elementos de la cadena, su unión dará el máximo de ellos, que es linealmente independiente, y por tanto los vectores que se encuentran en este conjunto también son linealmente independientes. ${\displaystyle a_{1},\ldots,a_{n))$ ${\displaystyle a_{1}\en A_{1},\ldots,a_{n}\en A_{n))$ ${\displaystyle a_{1},\ldots,a_{n))$

La unión de los conjuntos de cadenas es linealmente independiente y, por lo tanto, está contenida en el conjunto . Apliquémosle una formulación reforzada del lema de Zorn , que establece que para cada elemento de existe un elemento máximo mayor o igual que él. , lo que significa que hay un elemento máximo tal que . Es fácil ver que hay una base. De hecho, si no hubiera un sistema completo de vectores, habría un vector que no se puede representar como una combinación lineal de vectores de . Entonces es un sistema linealmente independiente, lo que significa que , lo que contradice el hecho de que es el elemento máximo de . $L$ $L$ ${\ estilo de visualización S_ {2} \ en L}$ ${\ estilo de visualización B \ en L}$ $S_{2}\subconjunto B$ $B$ $B$ $a\en S_{1}$ $B$ $B\taza \{a\}$ $B\taza \{a\}\in L$ $B$ $L$

Las consecuencias de este lema son las proposiciones:

Todo espacio lineal tiene una base.
Una base espacial se puede extraer de cualquier sistema completo de vectores.
Cualquier sistema linealmente independiente se puede completar a partir del espacio V.

Dos bases cualesquiera en un espacio lineal tienen la misma potencia, por lo que la cardinalidad de una base es una cantidad independiente de la elección de los vectores base. Se llama la dimensión del espacio (indicada por ). Si un espacio lineal tiene una base finita, su dimensión es finita y se llama de dimensión finita , de lo contrario su dimensión es infinita y el espacio se llama de dimensión infinita. $\dim V$

La base elegida del espacio lineal nos permite introducir la representación coordinada de vectores, lo que prepara el uso de métodos analíticos.

Una aplicación lineal de un espacio lineal a otro se define de forma única si se define sobre los vectores de alguna base. La combinación de este hecho con la posibilidad de una representación coordinada de vectores predetermina el uso de matrices para estudiar aplicaciones lineales de espacios vectoriales (principalmente de dimensión finita). Al mismo tiempo, muchos hechos de la teoría de matrices reciben una representación visual y adquieren un significado muy significativo cuando se expresan en el lenguaje de los espacios lineales. Y la elección de la base en este caso sirve como auxiliar, pero al mismo tiempo como herramienta clave.

Ejemplos

Los vectores espaciales forman una base si y sólo si el determinante de la matriz compuesta por las columnas de coordenadas de estos vectores no es igual a 0: . $e_{1},e_{2},\puntos,e_{n}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\det\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}\neq 0$
En el espacio de todos los polinomios sobre un cuerpo , una de las bases está formada por funciones potencia: . $1,x,x^{2},\puntos,x^{n},\puntos$
El concepto de base se utiliza en el caso de dimensión infinita, por ejemplo, los números reales forman un espacio lineal sobre los números racionales y tiene una base de Hamel continua y, en consecuencia, una dimensión continua.

Base de Hamel y función lineal discontinua

La base de Hamel se puede utilizar para construir una función real discontinua que satisfaga la condición . Sea la base de Hamel del conjunto de los números reales sobre el campo de los números racionales . Luego, para cada ( ) establecemos , donde son números reales arbitrarios, por ejemplo, racionales (en este caso, la función toma solo valores racionales y, por lo tanto, se garantiza que no sea una función lineal de ). Tal función es aditiva, es decir, satisface la ecuación funcional de Cauchy . Sin embargo, en el caso general, cuando , difiere de una función lineal y, por lo tanto, es discontinua en cualquier punto, y además no conserva signo, no está acotada por arriba o por abajo, no es monótona , no es integrable y no es medible en cualquier intervalo arbitrariamente pequeño, llenando con sus valores en este intervalo en todas partes densamente el eje numérico . $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\{r_{\alfa}\}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {Q}$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\matemáticas {Q}}$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f(x)=(c\cdot x)$ $f(x)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\neq c\cdot r_{\alpha _{n}}$ ${\ estilo de visualización f (x) = c \ c punto x}$ $\left(-\infty,+\infty\right)$

Base de Schauder

Un sistema de vectores en un espacio vectorial topológico se denomina base de Schauder (en honor a Schauder ) si cada elemento se descompone en una sola serie que converge en : $\{e_{n}\}$ $L$ $f \ en L$ $F$ $\{e_{n}\}$

f=\sum_{{i=1}}^{{\infty}}f_{i}e_{i},

donde son números llamados los coeficientes de la expansión del vector en términos de la base . $f_{i}$ $F$ $\{e_{n}\}$

Para enfatizar la diferencia entre la definición de la base de Hamel para espacios lineales generales (solo se permiten sumas finitas) y la base de Schauder para espacios vectoriales topológicos (se permite la expansión en una serie convergente ), el término base lineal se usa a menudo para el primero , dejando la base de plazo para expansiones en serie . La potencia de una base lineal también se llama dimensión lineal . En espacios de dimensión finita, estas definiciones coinciden porque la base es finita. En espacios de dimensión infinita, estas definiciones difieren significativamente y la dimensión lineal puede ser estrictamente mayor que la cardinalidad de la base de Schauder.

Por ejemplo, ningún espacio de Hilbert de dimensión infinita tiene una base lineal contable, aunque puede tener bases de Schauder de expansión de series contables, incluidas las bases ortonormales . Todas las bases ortonormales de los espacios de Hilbert son bases de Schauder, por ejemplo, el conjunto de funciones es una base de Schauder en . En espacios de Banach más generales , la noción de una base ortonormal no es aplicable, pero a menudo es posible construir bases de Schauder que no utilicen la ortogonalidad. $\{1,{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\sin(2\pi nx),{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\cos(2\ pi nx)\mid n=1,2,\puntos\}$ $L^{2}[0,1]$

Ejemplo: la base de Schauder para el espacio de funciones continuas C [ a, b ]

$Taxi]$ es un espacio de Banach con norma . Para expansiones en series de Fourier y series de Fourier generalizadas en sistemas de funciones ortonormales, la convergencia en el espacio de Hilbert se demuestra fácilmente , pero no en . Schauder construyó la base de Schauder para . Sea un conjunto denso numerable de puntos sobre , , , los puntos restantes pueden ser, por ejemplo, todos los puntos racionales del segmento , ordenados arbitrariamente. Supongamos que , es una función lineal. Definamos una función lineal por partes tal que para y . Los puntos se dividen en segmentos. El punto se encuentra estrictamente dentro de uno de ellos. Que esto sea para algunos (el orden de numeración de los números no se corresponde con su tamaño). $\|f\|=\max _{{{x\in [a,b]}}|f(x)|$ $L^{2}[a,b]$ $Taxi]$ $\{e_{n}\}$ $Taxi]$ $\{x_{0},x_{1},\puntos,x_{n},\puntos \}$ $[a,b]$ $x_{0}=a$ $x_{1}=b$ $[a,b]$ $e_{0}=1$ $e_{1}=(xa)/(ba)$ $e_{n}(x)$ $e_{n}(x_{i})=0$ $i=0,1,\puntos,n-1$ $e_{n}(x_{n})=1$ $x_{0},x_{1},x_{2},\puntos,x_{{n-1}}$ $[a,b]$ $n-1$ $x_{n}$ $I_{n}=[x_{j},x_{k}]$ $j,k\en \{0,\puntos,n-1\}$ $x_{0},x_{1},x_{2},\puntos$

Pongamos:

e_{n}(x)=0

fuera del segmento

I_{n}=[x_{j},x_{k}],

e_{n}(x)={\frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}

x\en [x_{j},x_{n}],

e_{n}(x)={\frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}

x\in[x_{n},x_{k}].

El sistema resultante de "tapas" lineales por partes es la base de Schauder deseada. Los coeficientes de expansión de una función arbitraria en esta base se expresan mediante fórmulas recursivas explícitas en términos de una secuencia de valores . Suma parcial de los primeros términos de la serie $f(x)\en C[a,b]$ $f(x_{i})$ $n+1$

L_{n}(x)=\sum_{{i=0}}^{{n}}f_{i}e_{i}(x),

es en este caso una aproximación lineal por partes con nodos en los puntos ; fórmula para coeficientes (ver fig.) $f(x)$ $x_{0},x_{1},x_{2},\puntos,x_{{n}}$ $f_{n}=f(x_{n})-L_{{n-1}}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)$

El problema de base

Se han construido bases de Schauder para la mayoría de los ejemplos conocidos de espacios de Banach, pero el problema de Banach-Schauder sobre la existencia de una base de Schauder en cada espacio de Banach separable no se prestó a una solución durante más de 50 años y se resolvió negativamente solo en 1972: existen espacios de Banach separables sin base de Schauder (contraejemplos de Enflo [1] , Shankovsky, Davy y Figel).

Aplicaciones en cristalografía

En álgebra vectorial , con la ayuda de un producto vectorial y un producto mixto , se define el concepto de base mutua a una base en el espacio euclidiano tridimensional y se utiliza para probar algunas afirmaciones relacionadas con el producto mixto y los ángulos entre vectores [2 ] :212-214 . En cristalografía, la base recíproca se denomina definición cristalográfica de la base , sobre la base de la cual se determina la red recíproca .

Véase también

Reper es un concepto estrechamente relacionado.
Una base ortogonal es una clase especial de bases (bases de Schauder) para espacios con producto interior ( espacio de Hilbert ).
base de Gröbner
base de Riesz
espacio de dimensión finita
Bandera (matemáticas)

Notas

↑ Por Enflo. Un contraejemplo al problema de aproximación en espacios de Banach (inglés) // Acta Math .. - 1973. - Vol. 130 (1973) . - Pág. 309-317 . -doi : 10.1007/ BF02392270 .
traducción: Por Enflo. Un contraejemplo al problema de aproximación en espacios de Banach = Un contraejemplo al problema de aproximación en espacios de Banach // Matemáticas / trad. B. S. Mitiagin. - 1974. - T. 18 , núm. 1 . — S. 146–155 .
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Álgebra vectorial en ejemplos y problemas . - M. : Escuela Superior , 1985. - 232 p.

Literatura

Kutateladze S. S., Fundamentos del análisis funcional . - 4ª ed., corregida. - Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas SB RAS, 2001. - XII + 354 p.

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro