Primer teorema de la media

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El primer teorema del valor medio es uno de los teoremas de la integral definida .

Redacción

Sea la función integrable en el segmento , y esté acotada en él por números y así que . Entonces hay un número tal que $f(x)$ $[a;b]$ $metro$ $METRO$ $m\leq f(x)\leq M$ $\mu$ $m\leq\mu\leq M$

\int \limites _{a}^{b}f(x)dx=\mu (ba)

Prueba

De la desigualdad por la propiedad de monotonicidad de la integral tenemos $m\leq f(x)\leq M$

m(ba)\leq\int\limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M(ba)

Denotando , obtenemos la aserción requerida. El número así definido se denomina valor medio de la función en el intervalo , de ahí el nombre del teorema. $\mu ={\frac{1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)dx$ $\mu$ $f(x)$ $[a;b]$

Nota

Si la función es continua en , entonces como y podemos tomar sus valores mayor y menor (que, según el teorema de Weierstrass , se logran), entonces, según el teorema del valor intermedio, existe tal punto que , entonces el enunciado del teorema se puede reescribir como $f(x)$ $[a;b]$ $metro$ $METRO$ $c\en [a;b]$ $f(c)=\mu$

\int \limites _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(ba)

Si usamos la fórmula de Newton-Leibniz , entonces esta igualdad se escribirá como

F(b)-F(a)=F'(c)\;(ba)

donde es la antiderivada de la función , que no es más que la fórmula de Lagrange para la función . $F(x)$ $f(x)$ $F(x)$

Generalización

Sean las funciones y integrables en el segmento , además, como antes , y la segunda de ellas no cambia de signo (es decir, es no negativa en todas partes: , o no positiva en todas partes ). Entonces hay un número tal que $f(x)$ $g(x)$ $[a;b]$ $m\leq f(x)\leq M$ $g(x)\geq 0$ ${\ estilo de visualización g (x) \ leq 0}$ $\mu$ $m\leq\mu\leq M$

\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=\mu \int \limits _{a}^{b}g(x)dx

Prueba

Sea no negativo, entonces tenemos $g(x)$

mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)

de donde, en vista de la monotonicidad de la integral

m\int \limits _{a}^{b}g(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq M\int \limits_{ a}^{b}g(x)dx

Si , entonces esta desigualdad implica que , y la afirmación del teorema se cumple para cualquier . De lo contrario, ponemos $\int _{a}^{b}g(x)dx=0$ $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$ $\mu$

\mu ={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int \limits _{a}^{b}g(x)dx))

La generalización está probada. Si la función es continua, podemos decir que existe un punto tal que $f(x)$ $c\en [a;b]$

\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}g(x)dx

(similar al anterior).

Literatura

Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral. - M. : Nauka, 1969. - T. II.
Zorich V. A. Análisis matemático. Parte I. - M. : Nauka, 1981.

Significar
Matemáticas	Potencia media ( ponderada ) Significado armonico ponderado significado geometrico ponderado Promedio ponderado media cuadrática cúbico promedio media móvil Media aritmético-geométrica Función Media media de Kolmogorov
Geometría	centro geométrico Baricentro
Teoría de la probabilidad y estadística matemática	Media Winsorizada muestra promedio Valor esperado Mediana Moda Desviación Estándar Media truncada expectativa condicional
Tecnologías de la información	medoide método de k-mediana
teoremas	Primer teorema de la media Segundo teorema de la media Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica
Otro	Métricas del centro de distribución