Superficie bolza

Una superficie de Bolza ( curva de Bolza) es una superficie de Riemann compacta de género 2 con el máximo orden posible del grupo de automorfismos conformes para este orden, es decir, con el grupo GL 2 (3) de orden 48. El grupo de automorfismos completo (incluidas las reflexiones ) es un producto semidirecto de orden 96. Afín, el modelo de superficie de Bolza se puede obtener como el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación ${\displaystyle GL_{2}(3)\rveces \mathbb {Z} _{2))$

{\ estilo de visualización y^{2}=x^{5}-x}

en . La superficie de Bolza es una extensión suave una curva afín. De todas las superficies hiperbólicas del género 2, la superficie de Bolza tiene la sístole más alta . Como una superficie hiperelíptica de Riemann, surge como una doble cubierta ramificada de la esfera de Riemann con puntos de ramificación en seis vértices de un octaedro regular inscrito en la esfera, como se puede ver claramente en la fórmula anterior. ${\matemáticas C}^{2}$

Superficie triangular

Una superficie de Bolza es una superficie (2,3,8)-triangular ( triángulo de Schwarz ): el grupo fucsiano que define una superficie de Bolza es un subgrupo del grupo formado por reflexiones con respecto a los lados de un triángulo hiperbólico angulado . Este subgrupo es un subgrupo con índice de grupo de reflexión que consiste en el producto de un número par de reflexiones, y que tiene una representación abstracta en términos de generadores y relaciones así como . El grupo fucsia que define la superficie de Bolza es también un subgrupo del grupo triangular (3,3,4) , que es el subgrupo de índice 2 del grupo triangular (2,3,8). El grupo (2,3,8) no tiene una implementación de álgebra de cuaterniones , pero el grupo (3,3,4) sí. ${\tfrac {\pi }{2)),{\tfrac {\pi }{3)),{\tfrac {\pi }{8))$ ${\ estilo de visualización s_{2},s_{3},s_{8))$ $s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1$ $s_{2}s_{3}=s_{8}$ $\Gama$

Bajo la acción del disco de Poincaré, la región fundamental de la superficie de Bolza es un octógono regular con ángulos en los puntos $\Gama$ ${\tfrac {\pi}{4}}$

p_{k}=2^{-{\tfrac {1}{4}}}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+k{\tfrac {\pi } {4}}\derecho)}

donde _ Los lados opuestos del octágono se identifican bajo la acción del grupo fucsia. Las matrices sirven como generadores: $k=0,\ldots,7$

g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{i{\tfrac {k\pi }{ 4}}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-i{\tfrac {k\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix} }

donde y , junto con sus inversas. Los generadores satisfacen la relación: ${\ estilo de visualización \ alfa = {\ sqrt {{\ sqrt {2}}-1}}}$ $k=0,\ldots,3$

g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1 }g_{3}=1.

Véase también

Curva hiperbólica
Cuártica de Klein
superficie macbeath

Literatura

Óscar Bolza. Sobre sextas binarias con transformaciones lineales en sí mismas // American Journal of Mathematics. - 1887. - T. 10 , núm. 1 . — S. 47–70 . -doi : 10.2307/ 2369402 . — .
Katz M., Sabourau S. Una desigualdad sistólica óptima para las métricas CAT(0) en el género dos // Pacific J. Math. . - 2006. - T. 227 , núm. 1 . — S. 95–107 . -doi : 10.2140 / pjm.2006.227.95 . — arXiv : matemáticas.DG/0501017 .
Maclachlan C., Reid A. La aritmética de 3 variedades hiperbólicas. - New York: Springer, 2003. - T. 219. - (Textos de Posgrado en Matemáticas). — ISBN 0-387-98386-4 .

Curvas algebraicas

Curvas Racionales

Cónica definida por cinco puntos
línea proyectiva
Curva normal racional
esfera de Riemann
Curva no plana de tercer orden

Curvas elípticas

teoría analítica	Función elíptica Integral elíptica Par fundamental de períodos forma modular
teoría aritmética	Contar puntos en una curva elíptica Polinomios de división Teorema de Hasse sobre curvas elípticas Teorema de torsión de Mazur Curva elíptica modular teorema de modularidad Teorema de Mordell-Weil Teorema de Nagell-Lutz Curva elíptica supersingular algoritmo de Shuf Algoritmo Shoof-Elkis-Atkin
Aplicaciones	Criptografía elíptica Prueba de primalidad con curvas elípticas

género superior

curvas planas

Teorema AF+BG
teorema de bezout
bicangente
Teorema de Cayley-Bacharach
sección cónica
paradoja de Cramer
cubo
granja torcida
La fórmula para la conexión del género y el grado de la curva.
El decimosexto problema de Hilbert
Conjetura de Nagata para las curvas
Fórmula de Plucker
Curva plana de cuarto grado
Curva de plano real

Superficies de Riemann

teorema de bely
superficie de Bolz
Rugosidad Riemanniana compacta
dibujo infantil
diferencial abeliano
Cuártico de Klein
Teorema de existencia de Riemann
Teorema de Riemann-Roch
Espacio Teichmüller
teorema de torelli

Edificios

Curva doble
Polo y polar
Continuación suave

Estructura de la
curva

Divisores de curvas	Mapeo de Abel-Jacobi Teoría de Brill-Noether Teorema de Clifford sobre divisores especiales Gonalidad de la curva ahebraica variedad jacobi Teorema de Riemann-Roch punto Weierstrass Ley de reciprocidad de Weyl
Módulos	Fórmula ELSV Invariante de Gromov-Witten Paquete Hodge Módulos de superficie de Riemann curva estable
morfismos	Matriz de Hasse-Witt Fórmula de Riemann-Hurwitz Múltiple primario teorema de Weber
puntos singulares	Punto de curva aislado punto doble Caspo invariante delta Punto de auto-toque
Paquetes de vectores	Teorema de Birkhoff-Grothendieck Paquete de vectores estables Paquetes de vectores de curvas algebraicas