Curva normal racional
Una curva normal racional es una curva racional suave de grado n en un espacio proyectivo de dimensión n . Es una de las variedades proyectivas relativamente simples , más formalmente, es la imagen de la incrustación de Veronese aplicada a la línea proyectiva.
Definición
La curva normal racional se puede dar paramétricamente como la imagen del mapeo
que lleva un punto con coordenadas homogéneas a un punto
![[S t]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc6e62f2a809771917a3b4a9a2af1a6510fff1a)
![[s^{n}:s^{{n-1}}t:s^{{n-2}}t^{2}:\ldots:t^{n}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1a44a9e5a709bba34ea8c52ef8d059d2cbdb61)
En un mapa afín , este mapeo se escribe de una manera más simple:
Es fácil ver que una curva normal racional se obtiene cerrando una curva afín con un solo punto en el infinito .
De manera equivalente, una curva normal racional se puede definir como el conjunto de ceros comunes de polinomios homogéneos
donde son coordenadas homogéneas en . No es necesario considerar todos estos polinomios, para definir una curva basta elegir, por ejemplo, y
![[x_{0}:\ldots:x_{n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a907a6ac3c27e2ede75684e319f497d659c32b69)
Parametrización alternativa
Sean puntos diferentes en Entonces el polinomio
![[a_{i}:b_{i}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a96c034412a69863b126fd175271648df041ed)
es un polinomio de grado homogéneo con diferentes raíces. polinomios
formar una base para el espacio de polinomios homogéneos de grado n . Monitor
![[s:t]\mapsto [H_{0}(s,t):H_{1}(s,t):\ldots :H_{n}(s,t)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755e88dcc88cbc745183317573b28a34f667502a)
también define una curva normal racional. De hecho, los monomios son solo una de las bases posibles en el espacio de los polinomios homogéneos, y se puede traducir mediante una transformación lineal a cualquier otra base.
Este mapeo envía los ceros del polinomio a "puntos de coordenadas", es decir, puntos cuyas coordenadas homogéneas todas menos una son cero. Por el contrario, una curva normal racional que pasa por estos puntos se puede dar paramétricamente usando algún polinomio
Propiedades
- Todos los puntos de una curva normal racional son linealmente independientes . Por el contrario, cualquier curva con esta propiedad es normal racional.
- Para cualquier punto en el que cualquiera de ellos sea linealmente independiente, existe una curva normal racional única que pasa por estos puntos. Para construir una curva de este tipo, es suficiente traducir de puntos a "coordenadas", y luego, si los puntos restantes han pasado a , como un polinomio , elija un polinomio que se anule en los puntos
- Una curva normal racional en el caso no es una intersección completa, es decir, no puede ser especificada por el número de ecuaciones igual a su codimensión . [una]
![[c_{0}:c_{1}:\ldots:c_{n}],[d_{0}:d_{1}:\ldots:d_{n}],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06fbe69cd6652c441d86067364841541f63d0408)
![[a_{i}:b_{1}]=[c_{i}^{{-1}}:d_{i}^{{-1}}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1c9fc90f6a3dcb6c2195a971da3eebffecd99b)
Notas
- ↑ Ravi Vakil . MATH 216: FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA ALGEBRAICA Archivado el 5 de octubre de 2013 en Wayback Machine , página 482.
Literatura
- Harris, J. Geometría algebraica. Curso inicial. - M. : MTSNMO, 2005. - 400 p. - ISBN 5-94057-084-4 .
| Curvas | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Definiciones | |||||||||||||||||||
| transformado | |||||||||||||||||||
| no plano | |||||||||||||||||||
| algebraica plana |
| ||||||||||||||||||
| Plana trascendental |
| ||||||||||||||||||
| fractales |
| ||||||||||||||||||