Problema de los tres cuerpos

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El problema de los tres cuerpos en astronomía es una de las tareas de la mecánica celeste , que consiste en determinar el movimiento relativo de tres cuerpos (puntos materiales) que interactúan según la ley de la gravedad de Newton (por ejemplo, el Sol , la Tierra y la Luna ). A diferencia del problema de los dos cuerpos , en el caso general, el problema no tiene solución en forma de expresiones analíticas finitas. Solo se conocen soluciones exactas individuales para velocidades iniciales especiales y coordenadas de objetos.

Formulación matemática

El problema general de los tres cuerpos en la mecánica celeste se describe mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

$\left.{\begin{array}{c}{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{1}=\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{ 2}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol { q}}_{1}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{2}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_ {1}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+\ gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{3}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}} _{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+ \gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\ símbolo de negrita {q}}_{3}|^{3}}}\end{matriz}}\quad \right\}$

donde es la constante gravitatoria , son las masas de los cuerpos, son los radios vectores que determinan su posición, y el punto significa la derivada temporal. $\gama$ $mi}$ ${\boldsymbol {q}}_{i}$

Decisiones privadas

Por el momento, se conocen más de mil soluciones particulares:

Las tres primeras soluciones fueron encontradas por Euler en 1767. Existen cuando los tres cuerpos están en la misma línea recta . En este caso, hay 3 posibles secuencias de disposición (el tercer cuerpo está entre los otros dos, a la izquierda oa la derecha de ambos). Tal movimiento se llama colineal .
Dos soluciones más fueron encontradas en 1772 por Lagrange . En ellos , el triángulo formado por los cuerpos permanece equilátero y gira en el espacio.
En 1892-1899, Henri Poincaré demostró que existen infinitas soluciones particulares al problema de los tres cuerpos.
En 1911, W. D. Macmillan descubrió una nueva solución particular, pero sin una justificación matemática clara. No fue hasta 1961 que el matemático soviético K. A. Sitnikov pudo encontrar una prueba matemática rigurosa para este caso (ver el problema de Sitnikov ).
A mediados de la década de 1970, R. Broucke ( inglés Roger A. Broucke ), M. Henot ( francés Michel Hénon ) y J. Hadjidemetriou ( inglés John D. Hadjidemetriou ) descubrieron de forma independiente la familia de trayectorias Brooke-Hénot: Hadjidemetriou [1] .
En 1993, Moore [2] [3] encontró otra solución en forma de "ocho" órbitas estables .

En 2013, los científicos serbios Milovan Shuvakov y Velko Dmitrashinovich del Instituto de Física de Belgrado encontraron 11 nuevas soluciones parciales periódicas para el problema de tres cuerpos con la misma masa [1] [4] .
Para 2017, un grupo de matemáticos chinos había creado su propio algoritmo para encontrar trayectorias periódicas, al que llamaron Clean Numerical Simulation . Con su ayuda, los científicos calcularon nuevas trayectorias, como resultado, el número de familias conocidas de trayectorias periódicas para el problema de los tres cuerpos se convirtió en 695. Continuando con el trabajo, este grupo de científicos calculó otras 1223 soluciones particulares para el problema.
En 2018, el matemático Liao Shijun y sus colegas de la Universidad de Transporte de Shanghai encontraron 234 nuevas soluciones particulares para el problema de los tres cuerpos sin colisiones usando una supercomputadora [5] .

Caso general

En cuanto al caso general, Weierstrass propuso el siguiente problema ( 1885 , concurso para el premio del rey sueco Oscar II ):

Sea dado un sistema de un número arbitrario de puntos materiales que interactúan de acuerdo con la ley de Newton. Se requiere, bajo el supuesto de que no habrá colisión de dos puntos cualesquiera, representar las coordenadas de cada punto en forma de serie en términos de algunas funciones continuas del tiempo, uniformemente convergentes para todos los valores reales de esta variable .

— Pogrebyssky I. B. Comentario sobre el problema de los tres cuerpos de Poincaré // Poincaré A . Trabajos seleccionados. - T. 2. - M.: Nauka, 1979. - S. 967-976.

Solución aproximada

Aparentemente, el propio Weierstrass, apoyándose en su famoso teorema sobre la aproximación de una función arbitraria mediante polinomios , quería obtener una expresión para las coordenadas de los cuerpos en la forma

\lim \limits _{n\rightarrow \infty }P_{n}(t)

donde están algunos polinomios. $P_{n}$

La existencia de tales polinomios se sigue inmediatamente de la continuidad de la solución, pero hasta ahora no ha sido posible encontrar una forma constructiva de encontrar polinomios.

La discusión de la posibilidad misma de la situación descrita en el problema de Weierstrass llevó a una serie de conclusiones importantes:

Si la solución al problema de los tres cuerpos es una función holomorfa en el intervalo y deja de serlo en , entonces para o todas las distancias entre los cuerpos tienden a cero (triple colisión de cuerpos), o una de ellas tiende a cero, y los otros dos tienden a límites finitos (cuerpos de colisión simples). ( Painlevé , 1897); $t$ $[0,t_{0})$ $t=t_{0}$ $t\flecha derecha t_{0}-0$
La triple colisión en el problema de los tres cuerpos solo es posible si el momento angular del sistema desaparece y, por lo tanto, solo puede tener lugar con datos iniciales muy especiales. ( FA Sludsky , 1874);
Si el momento angular del sistema no es igual a cero, entonces existe el llamado parámetro de regularización , a través del cual se pueden expresar las coordenadas y el tiempo de forma holomorfa en la vecindad del eje real . ( Sundman , 1912; Burdet [6] dio una breve demostración en 1967 ). $s$ $s$

Esto llevó a Poincaré y Zundman a buscar una solución no en forma de funciones de , sino en forma de series de algún parámetro. Es decir, las coordenadas de tres cuerpos y el tiempo son funciones holomorfas a lo largo de todo el eje real del plano , es decir, existe alguna zona en la que las coordenadas son holomorfas. Según el teorema de Riemann, esta área se puede representar en un círculo de radio unitario , por lo que las coordenadas de tres cuerpos y el tiempo se pueden representar como funciones del parámetro holomorfo en un círculo de radio unitario. Tales funciones se pueden representar como series en potencias positivas que convergen en todo el círculo . Estas series fueron encontradas por Zundman en 1912 , más precisamente, se encontró un algoritmo para encontrar sus coeficientes. Desafortunadamente, como mostró D. Beloritsky [7] , al menos en el caso de Lagrange, para las necesidades de la astronomía computacional, al menos los términos deben tomarse en series convergentes de Sundman. $t$ $s$ $s$ $|v|<1$ $v$ $v$ $10^{8\cdot 10^{6}}$

Solución exacta

El sistema de tres cuerpos es el sistema más simple con caos dinámico [1] .

Bruns y Poincaré demostraron que el sistema de ecuaciones diferenciales para el movimiento de tres cuerpos no se puede reducir a uno integrable [1] . Su descubrimiento significa que los sistemas dinámicos no son isomorfos .

Los sistemas integrables simples se pueden descomponer en subsistemas que no interactúan, pero en el caso general es imposible excluir las interacciones.

Véase también

problema de dos cuerpos
Problema gravitacional de N-cuerpos
Michael Minovich
Ecuaciones de Faddeev (problema de las tres partículas en mecánica cuántica).

Notas

↑ 1 2 3 4 Trunin, D. Se descubrieron más de seiscientas trayectorias periódicas en el problema de los tres cuerpos : [ arch. 7 de noviembre de 2018 ] // N+1. - 2017. - 12 de octubre.
↑ Stewart, 2016 , pág. 217.
↑ Los físicos serbios han ampliado significativamente el número de soluciones conocidas para el "problema de los tres cuerpos" . Consultado el 10 de enero de 2019. Archivado desde el original el 11 de enero de 2019. (indefinido)
↑ Los físicos han encontrado nuevas soluciones al problema newtoniano de los tres cuerpos . Lenta.ru (11 de marzo de 2013). Consultado el 17 de marzo de 2013. Archivado desde el original el 21 de marzo de 2013. (indefinido)
↑ Li, Xiaoming y Liao, Shijun. Órbitas periódicas sin colisiones en el problema de los tres cuerpos en caída libre . — 2018-05-21.
↑ Marshal K. El problema de los tres cuerpos. M.-Izhevsk, 2004
↑ Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // CR 193, 766-768, 1931.

Literatura

Alekseev V. M. Conferencias sobre mecánica celeste. - Izhevsk: RHD, 2001. - 156 p.
Siegel KL Conferencias sobre mecánica celeste. — M. : IL, 1959. — 300 p.
Marshal K. El problema de los tres cuerpos. - Izhevsk: RHD, 2004. - 640 p.
Ian Stewart . Los mejores problemas de matemáticas. — M. : Alpina no ficción, 2016. — 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Enlaces

Chenciner, Alain (2007). "Problema de los tres cuerpos". Scholarpedia . 2 (10): 2111. Código Bib : 2007SchpJ...2.2111C . DOI : 10.4249/scholarpedia.2111 .
Los científicos están cerca de resolver finalmente el problema de los tres cuerpos . Mecánica Popular (13 de mayo de 2021). (indefinido)

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