Números de Fibonacci

Números de Fibonacci (ortografía - Fibonacci [2] ) - elementos de una secuencia numérica

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (secuencia A000045 en OEIS ),

en el que los dos primeros números son 0 y 1, y cada número posterior es igual a la suma de los dos números anteriores [3] . Nombrado en honor al matemático medieval Leonardo de Pisa (conocido como Fibonacci ) [4] .

Cierto, en algunos libros, especialmente en los más antiguos[ ¿Qué? ] , se omite el término igual a cero — entonces la secuencia de Fibonacci comienza con [5] [6] . $F_{0}$ ${\ estilo de visualización F_ {1} = F_ {2} = 1}$

Más formalmente, la secuencia de números de Fibonacci viene dada por una relación de recurrencia lineal : ${\ estilo de visualización \ {F_ {n} \}}$

{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2))

, donde _

{\ estilo de visualización \ n \ geqslant 2, \ n \ en \ mathbb {Z}}

A veces, los números de Fibonacci también se consideran para valores negativos como una secuencia infinita de dos lados que satisface la misma relación de recurrencia. En consecuencia, los términos con índices negativos son fáciles de obtener utilizando la fórmula equivalente "hacia atrás" : $norte$ $F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}$

norte	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	…
$F_{n}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	una	0	una	una	2	3	5	ocho	13	21	34	55	…

Es fácil ver eso . ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n))$

Origen

La sucesión de Fibonacci era muy conocida en la antigua India [7] [8] [9] , donde se utilizaba en las ciencias métricas ( prosodia , es decir, versificación) mucho antes de que se diera a conocer en Europa [8] [10] [ 11] .

Se puede construir un patrón de longitud n sumando S a un patrón de longitud n − 1 , o L a un patrón de longitud n − 2 — y los prosodistas han demostrado que el número de patrones de longitud n es la suma de los dos anteriores números en la secuencia [9] . Donald Knuth analiza este efecto en El arte de la programación .

En Occidente, esta secuencia fue explorada por Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci , en su obra El libro del ábaco (1202) [12] [13] . Él considera el desarrollo de una población de conejos idealizada (biológicamente poco realista), donde las condiciones son las siguientes: inicialmente se les da un par de conejos recién nacidos (macho y hembra); a partir del segundo mes después de su nacimiento, los conejos comienzan a aparearse y producir una nueva pareja de conejos, además, cada mes; los conejos nunca mueren [14] [15] y presenta el número de parejas de conejos en un año como el valor deseado.

Al comienzo del primer mes solo hay una pareja de recién nacidos (1) .
Al final del primer mes, todavía solo un par de conejos, pero ya acoplados (1).
Al final del segundo mes, la primera pareja da a luz a una nueva pareja y vuelve a aparearse (2).
Al final del tercer mes, la primera pareja da a luz a otra nueva pareja y se aparea, la segunda pareja solo se aparea (3).
Al final del cuarto mes, la primera pareja da a luz a otra nueva pareja y se aparea, la segunda pareja da a luz a una nueva pareja y se aparea, la tercera pareja solo se aparea (5).

Al final del décimo mes, el número de parejas de conejos será igual al número de parejas del mes anterior más el número de parejas recién nacidas, que será igual al número de parejas que había hace dos meses, es decir [16] . Este problema también puede haber sido el primero en modelar el crecimiento exponencial de la población . $norte$ ${\displaystyle F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1))$

El nombre "secuencia de Fibonacci" fue utilizado por primera vez por el teórico del siglo XIX Eduard Lucas [17] .

Fórmula de Binet

La fórmula de Binet expresa explícitamente el valor en función de n : $F_{n}$

F_{n}={\frac {\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\ varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}},

donde - la proporción áurea y y son las raíces de la ecuación característica En general, existe una fórmula similar para cualquier secuencia lineal recurrente , que es la secuencia de Fibonacci. $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización (- \ varphi) ^ {-1} = 1- \ varphi}$ $x^{2}-x-1=0.$

Justificación

[Dieciocho]

Transformemos la ecuación característica a la forma, multipliquemos ambas partes por : - y sustituyamos en esta suma por , lo que podemos hacer en virtud de la ecuación característica. Obtenemos Luego continuamos multiplicando por y transformando , siguiendo la ecuación original: ${\ estilo de visualización x^{2}-x-1=0}$ ${\ estilo de visualización x^{2}=x+1,}$ $X$ ${\ estilo de visualización x^{3}=x^{2}+x}$ $x^{2}$ $x+1$ $x^{3}=x^{2}+x=(x+1)+x=2x+1.$ $X$ $x^{2}$

${\begin{alineado}x^{4}&=2x^{2}+x=2(x+1)+x=\\&=3x+2,\\x^{5}&= 3x^{2}+2x=3(x+1)+2x=\\&=5x+3,\\x^{6}&=5x^{2}+3x=5(x+1)+3x =\\&=8x+5,\\x^{7}&=8x^{2}+5x=8(x+1)+5x=\\&=13x+8,\\&\cdots \end {alineado}}$

Por lo tanto, se forma una ecuación general: para convertir esta ecuación en una verdadera igualdad y desde aquí expresar los números de Fibonacci, debe sustituir las raíces y ${\ estilo de visualización x^{n}=F_{n}x+F_{n-1}.}$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización - \ varphi ^ {-1} \ dos puntos}$

${\begin{casos}\varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1},\\(-\varphi )^{-n}=-F_{n}\varphi ^{-1}+F_{n-1},\end{casos}}$

$\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}=F_{n}[\varphi -(-\varphi )^{-1}],\qquad \varphi ^{n}+ (-\varphi)^{-n}\cdot\varphi^{2}=F_{n-1}(1+\varphi^{2}),$

$\color {Negro}{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\left(({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n}- ({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^{n}\right)=F_{n},\qquad {\tfrac {1}{\sqrt {5}}}\ izquierda (({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}})^{n-1}-({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}})^ {n-1}\derecha)=F_{n-1}.$

Corolario y generalización

De la fórmula de Binet se sigue que para todo el número es un redondeo , es decir, en particular, para los asintóticos $n\geqslant 0$ $F_{n}$ ${\frac {\varphi^{n}}{\sqrt {5}}},$ $F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil .$ $n\to\infty$ $F_{n}\sim {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}.$

La fórmula de Binet se puede continuar analíticamente de la siguiente manera:

F_{z}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\varphi ^{z}-{\frac {\cos {\pi z}}{\varphi ^{z}}} \Correcto).

En este caso, la relación se cumple para cualquier número complejo z . $F_{z+2}=F_{z+1}+F_{z}$

Identidades

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+\dots +F_{n}=F_{n+2}-1.$ [veinte]

Prueba

Probamos la fórmula por inducción sobre n :

Base de inducción: ${\ estilo de visualización n = 0 \ dos puntos}$

$F_{0}=F_{2}-1=0.$

Paso de inducción: sea verdadera la afirmación para : $norte$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1.$

Entonces tenemos que probar la afirmación para $n+1\dos puntos$

$F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+3}-1.$

Nos acostamos y

F_{n+3}

F_{n+2}

F_{n+1}\dos puntos

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}+F_{n+1}=F_{n+2}+F_{n+1}-1

Acortamos ambas partes por

F_{n+1}\dos puntos

F_{1}+F_{2}+F_{3}+...+F_{n}=F_{n+2}-1,

QED ∎

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\puntos +F_{2n-1}=F_{2n}.$ [20] [21]

Prueba

Probamos la fórmula por inducción sobre n :

Base de inducción: ${\ estilo de visualización n = 1 \ dos puntos}$

$F_{1}=F_{2}=1.$

Paso de inducción: Dejemos que el enunciado for sea verdadero: $norte$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\puntos +F_{2n-1}=F_{2n}.$

Entonces tenemos que probar la afirmación para $n+1\dos puntos$

$F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+2}.$

Nos acostamos y

F_{2n+2}

F_{2n+1}

F_{2n}\dos puntos

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}+F_{2n+1}=F_{2n+1}+F_{2n}.

Acortamos ambas partes por

F_{2n+1}\dos puntos

F_{1}+F_{3}+F_{5}+\puntos +F_{2n-1}=F_{2n}.

QED ∎

$F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1.$ [20] [22]

Esta identidad se puede demostrar restando la primera de la segunda:

{\begin{alignedat}{2}(F_{1}+F_{2}+\dots +F_{{\color {Red}2}n})-(F_{1}+F_{3} +\puntos +F_{2n-1})&=F_{{\color {Rojo}2}n+2}-1-F_{2n},\\F_{2}+F_{4}+\puntos + F_{2n}&=F_{2n+1}-1.\\\end{alineado en}}

$F_{n+1}F_{n+2}-F_{n}F_{n+3}=(-1)^{n}.$ [23]
$F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+F_{3}^{2}+\dots +F_{n}^{2}=F_{n}F_{n+ uno }$ (ver figura).
$F_{n}^{2}+F_{n+1}^{2}=F_{2n+1}.$ [veinte]
$F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}.$ [veinte]
$F_{3n}=F_{n+1}^{3}+F_{n}^{3}-F_{n-1}^{3}.$ [24]
$F_{5n}=25F_{n}^{5}+25(-1)^{n}F_{n}^{3}+5F_{n}.$
$F_{n+1}=C_{n}^{0}+C_{n-1}^{1}+C_{n-2}^{2}+\puntos$ [25] , donde son coeficientes binomiales . $C_{n}^{k}$

Y fórmulas más generales:

$F_{n+m}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}=F_{n+1}F_{m+1}-F_{n-1 }F_{m-1}.$ [26]
$F_{(k+1)n}=F_{n-1}F_{kn}+F_{n}F_{kn+1}.$
$F_{n}=F_{l}F_{n-l+1}+F_{l-1}F_{nl}.$
Los números de Fibonacci están representados por los valores de los continuos en un conjunto de unidades: es decir, $F_{n+1}=K_{n}(1,\puntos,1),$ $F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots &0\\-1&1&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots & \ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&1\end{pmatrix}}$ , tanto como $\ F_{n+1}=\det {\begin{pmatrix}1&i&0&\cdots &0\\i&1&i&\ddots &\vdots \\0&i&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &i\\0&\cdots &0&i&1\end{pmatrix}},$

donde las matrices tienen tamaño y donde i es la unidad imaginaria .

n\veces n

Los números de Fibonacci se pueden expresar en términos de polinomios de Chebyshev : $F_{n+1}=(-i)^{n}U_{n}\left({\frac {-i}{2}}\right),$ $F_{2n+2}=U_{n}\left({\frac {3}{2}}\right).$
Para cualquier n , ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n- 1}\end{matrix}}.$
Como consecuencia, contar los determinantes da la identidad de Cassini : [27] [28]

(-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-F_{n}^{2}.

Asociada con la igualdad de Cassini hay una declaración más general que lleva el nombre de Eugène Catalan : $F_{n}^{2}-F_{nr}F_{n+r}=(-1)^{nr}F_{r}^{2}.$

$F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\sqrt {5F_{n}^{2}+4(-1)^{n)))){2)).$
Esta declaración se deriva de la identidad de Cassini utilizando la proporción básica de los números de Fibonacci: ${\ estilo de visualización (-1)^{n}=F_{n+1}(F_{n+1}-F_{n})-F_{n}^{2))$ $\Longleftrightarrow$ $0={\color {Rojo}F_{n+1}}^{2}-{\color {Rojo}F_{n+1}}F_{n}-(F_{n}^{2} +(-1)^{n}).$

Propiedades

El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es igual al número de Fibonacci con índice igual al máximo común divisor de los índices, es decir, Corolarios: ${\ estilo de visualización (F_{m},F_{n})=F_{(m,n)}.}$
- $F_{m}$ es divisible por si y solo si es divisible por (excepto por ). En particular, es divisible por (es decir, es par) solo por es divisible solo por es divisible solo por , etc. $F_{n}$ $metro$ $norte$ $n=2$ $F_{m}$ $F_{3}=2$ ${\ estilo de visualización m = 3k;}$ $F_{m}$ $F_{4}=3$ ${\ estilo de visualización m = 4k;}$ $F_{m}$ $F_{5}=5$ $metro=5k$
- $F_{m}$ solo puede ser primo para números primos (con la única excepción de ). Por ejemplo, el número es primo y su índice 13 también es primo. Pero, incluso si el número es primo, el número no siempre es primo, y el contraejemplo más pequeño es No se sabe si el conjunto de números de Fibonacci que son primos es infinito. $metro$ $metro=4$ $F_{{13}}=233$ $metro$ $F_{m}$ $F_{19}=4181=37\cdot 113.$
La secuencia numérica de Fibonacci es un caso especial de la secuencia recíproca , su polinomio característico tiene raíces y $x^{2}-x-1$ $\varphi$ $-{\frac{1}{\varphi )).$
Las proporciones son fracciones adecuadas de la proporción áurea en particular, ${\ fracción {F_{n+1}}{F_{n}}}$ ${\ estilo de visualización \ phi \ dos puntos}$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .$
Las sumas de los coeficientes binomiales en las diagonales del triángulo de Pascal son números de Fibonacci debido a la fórmula $F_{n+1}=\sum _{k=0}^{\lpiso n/2\rpiso {nk \elegir k}.$
En 1964, J. Cohn ( JHE Cohn ) probó [29] que los únicos cuadrados perfectos entre los números de Fibonacci son los números de Fibonacci con índices 0, 1, 2, 12: $F_{0}=0^{2}=0,$ ${\ estilo de visualización F_ {1} = 1 ^ {2} = 1,}$ ${\ estilo de visualización F_ {2} = 1 ^ {2} = 1,}$ ${\ estilo de visualización F_ {12} = 12 ^ {2} = 144.}$
La función generadora de la secuencia numérica de Fibonacci es: $x+x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+5x^{5}+\puntos =\sum_{n=0}^{\infty}F_{n}x^{n }={\frac{x}{1-xx^{2}}}$
- En particular , 1 / 998.999 = 0.00 100 100 200 300 500 8 0 13 0 21 …
El conjunto de números de Fibonacci coincide con el conjunto de valores no negativos del polinomio $z(x,y)=2xy^{4}+x^{2}y^{3}-2x^{3}y^{2}-y^{5}-x^{4}y +2y$

en el conjunto de enteros no negativos x e y [30] .

El producto y el cociente de dos números de Fibonacci diferentes distintos de uno nunca es un número de Fibonacci.
El período de los números de Fibonacci módulo un número natural se llama el período de Pisano y se denota por . Los períodos pisano forman una secuencia: $norte$ $\alfiler)$ $\alfiler)$ 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36,… (secuencia A001175 en OEIS ).
- En particular, los últimos dígitos de los números de Fibonacci forman una secuencia periódica con un punto , el último par de dígitos de los números de Fibonacci forman una secuencia con un punto , los últimos tres dígitos - con un punto, los últimos cuatro - con un punto, el últimos cinco - con un punto , etc. ${\ estilo de visualización \ pi (10) = 60}$ ${\ estilo de visualización \ pi (100) = 300}$ ${\ estilo de visualización \ pi (1000) = 1500,}$ ${\ estilo de visualización \ pi (10000) = 15000,}$ ${\ estilo de visualización \ pi (100000) = 150000}$
Un número natural es un número de Fibonacci si y sólo si o es un cuadrado [31] . $norte$ $5N^{2}+4$ $5N^{2}-4$
No existe una progresión aritmética de longitud superior a 3, consistente en números de Fibonacci [32] .
El número de Fibonacci es igual al número de tuplas de longitud n de ceros y unos que no contienen dos unos adyacentes. En este caso , es igual al número de dichas tuplas a partir de cero y - a partir de uno. $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$ $F_{{n+1}}$ $F_{n}$
El producto de cualquier número de Fibonacci sucesivo es divisible por el producto de los primeros números de Fibonacci. $norte$ $norte$
La suma infinita de los recíprocos de los números de Fibonacci converge, su suma ("el recíproco de la constante de Fibonacci ") es 3,359884...

Variaciones y generalizaciones

números de tribonacci
Los números de Fibonacci son un caso especial de las sucesiones de Lucas . $F_{n}=U_{n}(1,-1)$
- Además, su complemento son los números de Lucas . $L_{n}=V_{n}(1,-1)$

En otras áreas

Existe la opinión de que casi todas las declaraciones que encuentran números de Fibonacci en fenómenos naturales e históricos son incorrectas; este es un mito común, que a menudo resulta ser un ajuste inexacto al resultado deseado [34] [35] .

En la naturaleza

La filotaxis (disposición de las hojas) en las plantas se describe mediante la secuencia de Fibonacci, si las hojas (brotes) en un crecimiento de un año (brote, tallo) tienen la llamada disposición de hojas en espiral. En este caso, el número de hojas (yemas) dispuestas sucesivamente en una espiral más una, así como el número de revoluciones completas de la espiral alrededor del eje de crecimiento anual (brote, tallo) suelen expresarse mediante los primeros números de Fibonacci.
Las semillas de girasol , las piñas , los pétalos de las flores y las células de la piña también se organizan de acuerdo con la secuencia de Fibonacci [36] [37] [38] [39] .

En el arte

En poesía, la proporción de la "sección áurea" (proporción áurea) se encuentra con mayor frecuencia, conectada a través de la fórmula de Binet con los números de Fibonacci. Por ejemplo, en el poema de Sh. Rustaveli "El caballero en la piel de pantera " y en las pinturas de los artistas [40] .

Sin embargo, los números de Fibonacci se encuentran tanto directamente en la poesía como en la música [41]

En codificación

En la teoría de la codificación, se proponen los llamados " códigos de Fibonacci " [42] estables , y la base de estos códigos es un número irracional.

Véase también

Notas

↑ John Hudson Tiner. Explorando el mundo de las matemáticas: desde registros antiguos hasta los últimos avances en computación . - New Leaf Publishing Group, 200. - ISBN 978-1-61458-155-0 . (Ruso)
↑ Véase, por ejemplo, T. V. Kropotova, V. G. Podolsky, P. E. Kashargin. Introducción a las matemáticas superiores. — Instituto de Física de la Universidad Federal de Kazan.
↑ Lucas, 1891 , pág. 3.
↑ Números de Fibonacci // Gran Enciclopedia Soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
↑ Beck y Geoghegan (2010) .
↑ Bona, 2011 , pág. 180.
↑ Goonatilake, Susantha (1998), Hacia una ciencia global , Indiana University Press, p. 126, ISBN 978-0-253-33388-9 , < https://books.google.com/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 >
↑ 1 2 Singh, Parmanand (1985), Los llamados números de Fibonacci en la India antigua y medieval , Historia Mathematica Vol. 12(3):229-244 , DOI 10.1016/0315-0860(85)90021-7
↑ 1 2 Knuth, Donald (2006), El arte de la programación informática , vol. 4. Generación de todos los árboles - Historia de la generación combinatoria, Addison-Wesley, p. 50, ISBN 978-0-321-33570-8 , < https://books.google.com/books?id=56LNfE2QGtYC&pg=PA50&dq=rhythms >
↑ Knuth, Donald (1968), El arte de la programación informática , vol. 1, Addison Wesley, pág. 100, ISBN 978-81-7758-754-8 , < https://books.google.com/books?id=MooMkK6ERuYC&pg=PA100 >
↑ Livio, 2003 , pág. 197.
↑ Pisano, 2002 , págs. 404-405.
↑ Liber Abaci (Libro del cálculo) de Fibonacci . La Universidad de Utah (13 de diciembre de 2009). Fecha de acceso: 28 de noviembre de 2018. (indefinido)
↑ Hemenway, Priya. Proporción divina : Phi en arte, naturaleza y ciencia . - Nueva York: Sterling, 2005. - Págs. 20-21 . — ISBN 1-4027-3522-7 .
↑ Knott, Dra. Ron Los números de Fibonacci y la sección áurea en Nature - 1 . Universidad de Surrey (25 de septiembre de 2016). Fecha de acceso: 27 de noviembre de 2018. (indefinido)
↑ Knott, Los conejos de Ron Fibonacci . Facultad de Ingeniería y Ciencias Físicas de la Universidad de Surrey . (indefinido)
↑ Gardner, Martin (1996), Mathematical Circus , The Mathematical Association of America, p. 153, ISBN 978-0-88385-506-5
↑ El arte de resolver problemas . artederesolverproblemas.com . Recuperado: 9 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ Números de Fibonacci // Diccionario enciclopédico de un joven matemático / Comp. Savin AP - 2ª ed. - M .: Pedagogía , 1989. - S. 312-314. — 352 págs. — ISBN 5715502187 .
↑ 1 2 3 4 5 El teorema se establece en este archivo . (indefinido)
↑ Artículo 23 . (indefinido)
↑ Artículo 24 . (indefinido)
↑ Corolario del punto 36 . (indefinido)
↑ Artículo 30 . (indefinido)
↑ 64 . (indefinido)
↑ Artículo 55 . (indefinido)
↑ prueba de la identidad de Cassini . planetmath.org . Fecha de acceso: 30 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ La identidad de Cassini . (indefinido)
↑ JHE Cohn . Números cuadrados de Fibonacci , etc. , págs. 109-113. Archivado desde el original el 11 de julio de 2010. Consultado el 1 de julio de 2010.
↑ P. Ribenboim. El nuevo libro de registros de números primos . - Springer, 1996. - S. 193.
↑ Ira Gessel. Problema H-187 // Fibonacci Quarterly. - 1972. - T. 10 . - S. 417-419 .
↑ V. Serpinski . Problema 66 // 250 Problemas de Teoría de Números Elemental . - M. : Educación, 1968. - 168 p.
↑ Hutchinson, Luke. Crecimiento del árbol genealógico: el poder del ADN en la reconstrucción de las relaciones familiares // Actas del primer simposio sobre bioinformática y biotecnología (BIOT-04): revista. - 2004. - Septiembre.
↑ Fibonacci Flam-Flam . Archivado el 23 de abril de 2012 en Wayback Machine .
↑ El mito que no desaparecerá .
↑ La proporción áurea en la naturaleza .
↑ Números de Fibonacci .
↑ Números de Fibonacci .
↑ Akimov O.E. El fin de la ciencia .
↑ Voloshinov A. V. Matemáticas y Arte. Moscú: Educación, 2000. 400 p. ISBN 5-09-008033-X
↑ Matemáticas en poesía y música
↑ Stakhov A., Sluchenkova A., Shcherbakov I. Código Da Vinci y serie Fibonacci. SPB. Editorial: Piter, 2006. 320 p. ISBN 5-469-01369-3

Literatura

N. N. Vorobyov. Números de Fibonacci . - Nauka, 1978. - T. 39. - ( Conferencias populares sobre matemáticas ).
A. I. Markushevich. secuencias de retorno . - Sra. Editorial de Literatura Técnica y Teórica, 1950. - Vol. 1. - ( Lecciones populares de matemáticas ).
A. N. Rudakov. Números de Fibonacci y la simplicidad del número 2 127 − 1 // Educación Matemática , tercera serie. - 2000. - T. 4 .
Donald Knuth . El arte de la programación informática, volumen 1. Algoritmos básicos = El arte de la programación informática, volumen 1. 1. Algoritmos Fundamentales. - 3ra ed. - M .: "Williams" , 2006. - S. 720. - ISBN 0-201-89683-4 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . matemáticas concretas. Fundamentos de Informática = Matemáticas Concretas. Una Fundación para la Informática. — M .: Mir ; Binomio. Laboratorio de conocimiento , 2006. - Pág. 703. - ISBN 5-94774-560-7 .
Grant Arakelyan. Matemáticas e historia de la sección áurea. — M.: Logotipos, 2014. — S. 404. — ISBN 978-5-98704-663-0 .
Ball, Keith M (2003), 8: Fibonacci's Rabbits Revisited, Strange Curves, Counting Rabbits y otras exploraciones matemáticas , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 978-0-691-11321-0 .
Beck, Matthias y Geoghegan, Ross (2010), El arte de la prueba: capacitación básica para matemáticas más profundas , Nueva York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0 .
Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3.ª ed.), Nueva Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2 .
- Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4.ª edición revisada), Nueva Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0 .
Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Springer Monographs in Mathematics, Nueva York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9 .
Livio, Mario . La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo . - Primer libro de bolsillo comercial. — Ciudad de Nueva York: Libros de Broadway, 2003. - ISBN 0-7679-0816-3 .
Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres , vol. 1, París: Gauthier-Villars, Théorie des nombres en Google Books , < https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft > .
Pisano, Leonardo (2002), Liber Abaci de Fibonacci: una traducción al inglés moderno del Libro de cálculo , Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas , Springer, ISBN 978-0-387-95419-6

Enlaces

Los primeros 300 números de Fibonacci (inglés) .
Números de Fibonacci en la naturaleza (inglés) .

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	NDL : 00923391

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux