Función numérica

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Una función numérica (en matemáticas ) es una función que actúa de un espacio numérico (conjunto) a otro espacio numérico (conjunto) [1] . Los conjuntos numéricos son conjuntos de números naturales ( ), enteros ( ), racionales ( ), reales ( ) y complejos ( ) junto con operaciones algebraicas definidas para los conjuntos correspondientes . Para todos los conjuntos numéricos enumerados, excepto los números complejos, también se define la relación de orden lineal $\matemáticas {N}$ $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {C}$ , que le permite comparar números por magnitud. Los espacios numéricos son conjuntos numéricos junto con una función de distancia definida en el conjunto correspondiente.

En el caso más general, una función numérica es una función que toma valores en el campo de los números reales y se define en un espacio métrico arbitrario (la mayoría de las veces) . Tal, por ejemplo, es el indicador o función característica del conjunto . Otro ejemplo de una función numérica es la función de distancia (o, de manera equivalente, la métrica).

Las funciones numéricas dadas en un conjunto de números reales o complejos se denominan funciones de una variable real o compleja, respectivamente, y son objeto de consideración en el análisis :

Las funciones de valor real de una variable real se consideran en cálculo ,
Las funciones de valor complejo de una variable compleja se consideran en el análisis complejo .

El tema más importante a considerar en el análisis es la representación de funciones numéricas en forma de un sistema de aproximaciones (series numéricas y funcionales).

Las funciones numéricas tienen propiedades generales que pueden tener las asignaciones de espacios métricos arbitrarios (por ejemplo, continuidad) y una serie de propiedades directamente relacionadas con la naturaleza de los espacios numéricos. Estas son las propiedades

diferenciabilidad , integrabilidad , sumabilidad , mensurabilidad (para funciones numéricas arbitrarias);

y también las propiedades

paridad ( rareza ), monotonicidad (para funciones de valor real de una variable real);
analiticidad , multiplicidad (para funciones de valor complejo de una variable compleja).

Las funciones numéricas se utilizan ampliamente en la práctica para resolver problemas aplicados.

Propiedades

Propiedades asociadas a la relación de orden

Sea una función entonces $f\dos puntos M\subconjunto \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$

una función se llama creciente en si $F$ $METRO$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\geq f(y);

una función se llama estrictamente creciente en si $F$ $METRO$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)>f(y);

una función se llama decreciente en si $F$ $METRO$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)\leq f(y);

una función se llama estrictamente decreciente en si $F$ $METRO$

\forall x,y\in M,\;x>y\Rightarrow f(x)<f(y).

Se dice que una función (estrictamente) creciente o decreciente es (estrictamente) monótona.

Periodicidad

Una función se llama periódica con un período si es verdadera $f\dos puntos M\to N$ $T\no=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M

Si esta igualdad no se cumple para ninguna , entonces la función se llama aperiódica . $T\en M,\,T\no =0$ $F$

Paridad

Una función se llama impar si la igualdad $f\colon X\to \mathbb {R}$

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Una función se llama incluso si la igualdad $F$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

Función extrema

Sea una función y un punto interior del dominio de definición, entonces $f\dos puntos M\subconjunto \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x_{0}\en M^{0}$ $F.$

$x_{0}$ se llama un punto máximo absoluto (global) si $\forall x\in M\quad f(x)\leq f(x_{0});$
$x_{0}$ se llama punto mínimo absoluto si $\forall x\in M\quad f(x)\geq f(x_{0}).$

Gráfico de funciones

Deje que se dé un mapeo . Entonces su gráfico es el conjunto , donde denota el producto cartesiano de conjuntos y . $F:X a Y$ $\Gama$
$\Gamma =\{(x,F(x))\mid x\in X\}\subset X\times Y$
$X \veces Y$ $X$ $Y$
- La gráfica de una función continua es una curva en un plano bidimensional. $F:{\mathbb {R}}\a {\mathbb {R}}$
- La gráfica de una función continua es una superficie en un espacio tridimensional. $F:{\mathbb {R}}^{2}\a {\mathbb {R}}$

Ejemplos

Función de Dirichlet
- Devuelve uno si el argumento es un número racional , si es irracional , devuelve cero . $D(x)={\begin{casos}1,&x\in {\mathbb {Q}}\\0,&x\not \in {\mathbb {Q}}\end{casos}}$
- Dominio de definición: (todo el eje numérico ). $\matemáticas {R}$
- Rango de valores: . $\izquierda\{0,1\derecha\}$

función signo(x)
- Devuelve el signo del argumento. $\operatorname{sgn} x={\begin{casos}+1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{casos}}$
- Dominio de definición: . $\matemáticas {R}$
- Rango de valores: . $\izquierda\{-1,0,+1\derecha\}$

$y={\raíz cuadrada {1-x^{2}}}$
- Dominio de definición: . $\izquierda[-1,+1\derecha]$
- Rango de valores: . $\izquierda[0,+1\derecha]$

Factorial
- Devuelve el producto de todos los números naturales no mayores que el dado. Además, . $0!=1$ $n!={\begin{casos}1,&n=0\\n\cdot \left(n-1\right)!,&n\neq 0\end{casos}}$
- Dominio de definición: (conjunto de números naturales con cero). $\mathbb{N} _{0}$
- Rango de valores: $\left\{1,2,6,24,120,\ldots\right\}$

Antje (género)
- Devuelve la parte entera de un número. $\lpiso x\rpiso =\max \left\{q\in \mathbb{Z } \mid q\leqslant x\right\}$
- Dominio de definición: . $\matemáticas {R}$
- Rango de valores: . $\matemáticas {Z}$

Formas de definir una función

Verbal

Usando lenguaje natural

Y es igual a la parte entera de x.

Analítico

Usando la fórmula y la notación estándar

f(x)=x!

Gráfico

Con la ayuda de un gráfico.

Tabular

Usar una tabla de valores

X	0	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9
y	una	una	2	3	5	ocho	13	21	34	55

Método analítico

manera analítica. La mayoría de las veces, la ley que establece una relación entre un argumento y una función se especifica mediante fórmulas. Esta forma de definir una función se llama analítica. Este método hace posible que cada valor numérico del argumento x encuentre el valor numérico correspondiente de la función y exactamente o con cierta precisión. Si la relación entre x e y viene dada por una fórmula que se resuelve con respecto a y, es decir tiene la forma y = f(x), entonces decimos que la función de x está dada explícitamente. Si los valores x e y están relacionados por alguna ecuación de la forma F(x,y) = 0, es decir la fórmula no está permitida con respecto a y, lo que significa que la función y = f(x) está implícitamente definida. Una función se puede definir mediante diferentes fórmulas en diferentes partes de su área de tareas. El método analítico es la forma más común de definir funciones. La compacidad, la concisión, la capacidad de calcular el valor de una función para un valor arbitrario del argumento del dominio de la definición, la capacidad de aplicar el aparato de análisis matemático a una función dada son las principales ventajas del método analítico para definir un función. Las desventajas incluyen la falta de visibilidad, que se compensa con la capacidad de construir un gráfico y la necesidad de realizar cálculos a veces muy engorrosos.

Ejemplos:

$f\izquierda(x\derecha)=x^{2}$ ;
$f\izquierda(x,y\derecha)=x\lor y$ ;
$f\izquierda(A\derecha)=\izquierda|A\derecha|$ ;
$f\left(x\right)={\begin{casos}x^{2},&x\leqslant 0;\\-x^{3},&x>0.\end{casos}}$

Forma tabular

Una función se puede definir enumerando todos sus posibles argumentos y sus valores. Después de eso, si es necesario, la función se puede extender para argumentos que no están en la tabla, por interpolación o extrapolación . Algunos ejemplos son una guía de programas, un horario de trenes o una tabla de valores de funciones booleanas :

$X$	$y$	$x\tierra y$
${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$
${\ estilo de visualización 0}$	$una$	${\ estilo de visualización 0}$
$una$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$
$una$	$una$	$una$

Forma gráfica

Una función se puede especificar gráficamente mostrando un conjunto de puntos de su gráfico en un plano. Esto puede ser un bosquejo aproximado de cómo debería verse la función, o lecturas tomadas de un instrumento como un osciloscopio . Esta especificación puede sufrir de falta de precisión , sin embargo, en algunos casos, otros métodos de especificación no se pueden aplicar en absoluto. Además, esta forma de configuración es uno de los análisis heurísticos de la función más representativos, fáciles de entender y de alta calidad.

Vía recursiva

Una función se puede definir recursivamente , es decir, a través de sí misma. En este caso, algunos valores de la función se determinan a través de sus otros valores.

Ejemplos:

Forma verbal

Una función se puede describir en palabras de lenguaje natural de alguna manera inequívoca, por ejemplo, describiendo sus valores de entrada y salida, o el algoritmo mediante el cual la función asigna correspondencias entre estos valores. Junto con una forma gráfica, esta es a veces la única forma de describir una función, aunque los lenguajes naturales no son tan deterministas como los formales.

Ejemplos:

una función que devuelve un dígito en la notación de pi por su número;
una función que devuelve el número de átomos en el universo en un momento determinado ;
una función que toma como argumento a una persona y devuelve el número de personas que nacerán en el mundo después de su nacimiento.

Clases de funciones numéricas

Reseña histórica

El surgimiento del concepto

El modelado matemático de fenómenos y leyes de la naturaleza conduce al concepto de función, que inicialmente se limita a funciones algebraicas ( polinomios ) y trigonometría . Al igual que otros conceptos de las matemáticas, el concepto general de una función no se desarrolló de inmediato, pero tuvo un largo camino de desarrollo. Por supuesto, en la antigüedad, al calcular, las personas usaban inconscientemente varias funciones (por ejemplo, la raíz cuadrada ) e incluso ecuaciones , sin embargo, como un objeto matemático separado, lo que permite un estudio analítico general, la función podría aparecer solo después de la creación de símbolos álgebra de Vieta (siglo XVI) [2] . Incluso en el siglo XVII , Napier , al introducir la función logarítmica en uso, utilizó una solución: la determinó cinemáticamente.

Inicialmente, diversas fórmulas algebraicas se convirtieron en objeto de estudio . Descartes consideró las dependencias no algebraicas solo como la excepción más rara. Para él y para Fermat , la fórmula no se entiende simplemente como un algoritmo computacional, sino que se considera como una transformación (representable geométricamente) de una cantidad que cambia continuamente en otra [3] . En Lectures on Geometry de Barrow , 1670 , la reciprocidad mutua de las acciones de diferenciación e integración se establece en forma geométrica (por supuesto, sin usar estos términos). Esto ya atestigua una posesión completamente distinta del concepto de una función como un objeto integral. En forma geométrica y mecánica, también encontramos el concepto de función en Newton .

El término matemático “función” apareció por primera vez en 1673 por Leibniz y , además, no del todo en su sentido moderno: Leibniz al principio llamó a varios segmentos asociados con una curva (por ejemplo, las abscisas de sus puntos) como una función. Más tarde, sin embargo, en una correspondencia con Johann Bernoulli ( 1694 ), el contenido del término se amplía y finalmente se convierte en sinónimo de "dependencia dada analíticamente".

En el primer curso impreso "Análisis de lo infinitamente pequeño para el conocimiento de las líneas curvas" de Lopital ( 1696 ), no se utiliza el término "función".

Primeros intentos de definir

A principios del siglo XVIII se obtuvieron ampliaciones de todas las funciones estándar y muchas otras. Gracias sobre todo a Euler ( 1748 ), sus definiciones fueron afinadas. Euler fue el primero en definir claramente la función exponencial , así como la función logarítmica , como su inversa, y dio sus desarrollos en serie. Antes de Euler, muchos matemáticos consideraban, por ejemplo, que la tangente de un ángulo obtuso era positiva; Euler dio definiciones modernas de todas las funciones trigonométricas (el término "función trigonométrica" fue propuesto por Klugel en 1770 ).

Muchas nuevas funciones trascendentales aparecen en las aplicaciones de análisis. Cuando Goldbach y Bernoulli intentaron encontrar un análogo continuo del factorial, el joven Euler informó en una carta a Goldbach sobre las propiedades de la función gamma (1729, título debido a Legendre ). Un año más tarde, Euler descubrió la función beta y luego volvió repetidamente a este tema. La función gamma y funciones relacionadas (beta, zeta, cilíndrica (Bessel)) tienen numerosas aplicaciones tanto en análisis como en teoría de números, y la función zeta de Riemann ha demostrado ser una herramienta indispensable para estudiar la distribución de los números primos en el medio natural. serie.

En 1757, Vincenzo Riccati , mientras investigaba los sectores de una hipérbola, introduce las funciones hiperbólicas ch, sh (con tal notación) y enumera sus principales propiedades. Han surgido muchas funciones nuevas en relación con la no integrabilidad de varias expresiones. Euler definió (1768) el logaritmo integral (el nombre fue propuesto por I. Zoldner , 1809), L. Mascheroni - el seno y el coseno integrales ( 1790 ). Pronto aparece también una nueva rama de las matemáticas: las funciones especiales .

Había que hacer algo con esta variopinta colección, y los matemáticos tomaron una decisión radical: todas las funciones, independientemente de su origen, fueron declaradas iguales. El único requisito para una función es la certeza, y esto no significa la unicidad de la función en sí misma (puede tener varios valores), sino la falta de ambigüedad del método para calcular sus valores.

La primera definición general de una función se encuentra en Johann Bernoulli ( 1718 ): "Una función es una cantidad compuesta por una variable y una constante". Esta definición no muy distinta se basa en la idea de especificar una función mediante una fórmula analítica. La misma idea aparece en la definición de Euler , dada por él en "Introducción al análisis de infinitos" ( 1748 ): "Una función de una cantidad variable es una expresión analítica, compuesta de alguna manera de esta cantidad variable y números o cantidades constantes. "

Sin embargo, en el siglo XVIII no había una comprensión suficientemente clara de la diferencia entre una función y su expresión analítica. Esto se reflejó en las críticas que Euler sometió a la solución de Bernoulli (1753) al problema de la vibración de las cuerdas . La solución de Bernoulli se basó en la afirmación de que es posible expandir cualquier función en una serie trigonométrica. Objetando esto, Euler señaló que tal descomposición proporcionaría una expresión analítica para cualquier función, mientras que la función puede no tenerla (puede ser dada por un gráfico "dibujado por un movimiento libre de la mano").

Esta crítica también es convincente desde un punto de vista moderno, porque no todas las funciones permiten una representación analítica (aunque Bernoulli está hablando de una función continua, que, como estableció Weierstrass en 1885 , siempre es representable analíticamente, pero puede no expandirse a una función continua). serie trigonométrica). Sin embargo, los otros argumentos de Euler ya están equivocados [4] . Por ejemplo, creía que la expansión de una función en una serie trigonométrica proporciona una sola expresión analítica para ella, mientras que puede ser una función "mixta", representable en diferentes segmentos mediante diferentes fórmulas. De hecho, una no se contradice con la otra, pero en aquella época parecía imposible que dos expresiones analíticas, coincidiendo en parte de un segmento, no coincidieran en toda su longitud. Más tarde, al estudiar funciones de muchas variables, se dio cuenta de las limitaciones de la definición anterior y reconoció funciones discontinuas, y luego, después de estudiar el logaritmo complejo, incluso funciones multivaluadas.

Bajo la influencia de la teoría de las series infinitas, que daba una representación algebraica de casi cualquier dependencia suave, la presencia de una fórmula explícita dejó de ser obligatoria para una función. El logaritmo o función exponencial, por ejemplo, se calcula como los límites de series infinitas; este enfoque se ha extendido a otras funciones no estándar. Comenzaron a tratar las series como expresiones finitas, inicialmente sin corroborar la corrección de las operaciones de ninguna manera y sin siquiera garantizar la convergencia de la serie.

Comenzando con "El cálculo de diferenciales" ( 1755 ), Euler acepta la definición moderna de una función numérica como una correspondencia arbitraria de números [4] :

Cuando unas cantidades dependen de otras de tal manera que al cambiar éstas, ellas mismas sufren un cambio, entonces las primeras se llaman funciones de las segundas.

Definición general

Desde principios del siglo XIX , el concepto de función se ha definido cada vez más sin mencionar su representación analítica. En el "Tratado de cálculo diferencial e integral" ( 1797 - 1802 ) Lacroix dice: "Cualquier cantidad cuyo valor depende de una o muchas otras cantidades se llama función de estas últimas" independientemente de si el método de cálculo de sus valores es conocido o desconocido [5] .

En la "Teoría analítica del calor" de Fourier ( 1822 ) hay una frase: "Una función denota una función completamente arbitraria, es decir, una secuencia de valores dados, estén o no sujetos a una ley general y correspondientes a todos los valores contenido entre y cualquier cantidad ". $efectos especiales$ $X$ ${\ estilo de visualización 0}$ $X$

Cerca de lo moderno y la definición de Lobachevsky :

... El concepto general de una función requiere que un número se llame función de, que se da para cada uno y junto con él cambia gradualmente. El valor de una función puede estar dado por una expresión analítica, o por una condición que proporciona un medio para probar todos los números y elegir uno de ellos, o, finalmente, puede existir una dependencia y permanecer desconocida... La visión amplia de la teoria admite la existencia de una dependencia solo en el sentido de que los numeros son iguales con otros en relacion a entenderse como si fueran datos juntos. $X$ $X$ $X$

Así, la definición moderna de función, libre de referencias a la tarea analítica, habitualmente atribuida a Dirichlet , ha sido propuesta repetidamente antes que él. Aquí está la definición de Dirichlet ( 1837 ):

y es una función de la variable x (en el segmento ), si cada valor de x (en este segmento) corresponde a un valor completamente definido y , y no importa cómo se establezca esta correspondencia - mediante una fórmula analítica, gráfica , mesa, o incluso solo palabras. $a\leqslant x\leqslant b$

A fines del siglo XIX, el concepto de función superó el marco de los sistemas numéricos. Las funciones vectoriales fueron las primeras en hacer esto , Frege pronto introdujo las funciones lógicas ( 1879 ), y después del advenimiento de la teoría de conjuntos, Dedekind ( 1887 ) y Peano ( 1911 ) formularon la definición universal moderna.

Ejemplos

Funciones implícitas

Las funciones se pueden definir usando otras funciones y ecuaciones.

Supongamos que se da una función de dos variables que satisface condiciones especiales (las condiciones del teorema de la función implícita), luego una ecuación de la forma. $F$

F(x,y)=0

define una función implícita de la forma . $y=f(x)$

Funciones genéricas

Véase también

Notas

↑ El dominio de definición y el dominio de valores de una función numérica son un subconjunto del espacio numérico.
↑ Yushkevich AP, 1966 , p. 134-135.
↑ Yushkevich AP, 1966 , p. 137-138.
↑ 1 2 Yushkevich AP, 1966 , p. 144-148.
↑ Lector sobre la historia de las matemáticas. Análisis matemático. Teoría de la Probabilidad / Ed. A. P. Yushkevich . - M. : Educación, 1977. - S. 84. - 224 p.

Literatura

Historia de las matemáticas, editada por A. P. Yushkevich en tres volúmenes, M .: Nauka.

Volumen 1 Desde la antigüedad hasta el comienzo de los tiempos modernos. (1970)
Volumen 2 Matemáticas del siglo XVII. (1970)
Volumen 3 Matemáticas del siglo XVIII. (1972)

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático, parte 1, 3.ª ed., M., 1971;. Parte 2, 2ª ed., M., 1980;
Kudryavtsev L. D. Análisis matemático, 2ª ed., vol. 1-2, 1973,
Nikolsky S. M. Curso de análisis matemático, 2ª ed., Vol. 1-2, M., 1975;
Yushkevich A.P. Sobre el desarrollo del concepto de función // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1966. - Nº 17 . - S. 123-150 .