Potencia media ponderada

La media ponderada de la ley de potencias es un tipo de media . Para un conjunto de números reales positivos con un parámetro y pesos no negativos , se define como $x_{1},\ldots,x_{n}$ ${\ estilo de visualización q \ neq 0}$ $w_{1},\ldots,w_{n}$

{\bar {x}}=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}{\sum _{i= 1}^{n}w_{i}}}\right)^{1/q}

Si los pesos se normalizan a uno (es decir, su suma es igual a uno), entonces la expresión del promedio ponderado de la ley de potencias toma la forma $w_{1},\ldots,w_{n}$

{\bar {x}}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}

Propiedades

En el caso de que todos los pesos sean iguales, la potencia media ponderada es igual a la potencia media . $Wisconsin}$
La media aritmética ponderada y la media armónica ponderada son casos especiales de la media ponderada de la ley de potencias para y , respectivamente . $q=1$ ${\ estilo de visualización q = -1}$
En el límite en , la potencia media ponderada converge a la media geométrica ponderada . ${\ estilo de visualización q \ a 0}$

Relación con la entropía de Rényi

La entropía de la información de un determinado sistema se puede definir como el logaritmo del número de estados disponibles del sistema (o su número efectivo si los estados no son igualmente probables). Tengamos en cuenta que las probabilidades de que el sistema se encuentre en el estado con el número ( ) están normalizadas a . Si los estados del sistema son equiprobables y tienen probabilidad , entonces . En el caso de diferentes probabilidades de estado, definimos el número efectivo de estados como un promedio ponderado de valores de ley de potencia con pesos y un parámetro (donde ): $Pi}$ $i$ $i=1,\ldots,N$ $una$ $pags$ ${\ estilo de visualización N = 1/p}$ $Pi}$ ${\sobrelínea {N))$ ${\ estilo de visualización x_ {i} = 1/p_ {i}}$ $Pi}$ ${\ estilo de visualización q = 1-\ alfa}$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ neq 1}$

{\overline {N}}=\left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}=\left (\sum _{i=1}^{N}p_{i}(1/p_{i})^{1-\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}= \left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{1-\alpha }}

De aquí obtenemos la expresión para la entropía

H=\log {\overline {N}}=\log \left(\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }\right)^{\frac {1 {1-\alpha }}={\frac {1}{1-\alpha }}\log \sum _{i=1}^{N}p_{i}^{\alpha }

coincidiendo con la expresión para la entropía de Rényi [1] . Es fácil ver que en el límite en (o ) la entropía de Renyi converge a la entropía de Shannon (a pesar de que la media ponderada de la ley de potencias converge a la media geométrica ponderada ). De acuerdo con la definición de entropía de Rényi , se debe observar una restricción adicional (o ). ${\ estilo de visualización \ alfa \ a 1}$ ${\ estilo de visualización q \ a 0}$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ geq 0}$ ${\ estilo de visualización q \ leq 1}$

Notas

↑ Zaripov, 2005 , pág. 108-125.

Literatura

Zaripov R. G. Nuevas medidas y métodos en la teoría de la información. - Kazán: Editorial Kazán. estado tecnología un-ta, 2005. - 364 p.

Significar
Matemáticas	Potencia media ( ponderada ) Significado armonico ponderado significado geometrico ponderado Promedio ponderado media cuadrática cúbico promedio media móvil Media aritmético-geométrica Función Media media de Kolmogorov
Geometría	centro geométrico Baricentro
Teoría de la probabilidad y estadística matemática	Media Winsorizada muestra promedio Valor esperado Mediana Moda Desviación Estándar Media truncada expectativa condicional
Tecnologías de la información	medoide método de k-mediana
teoremas	Primer teorema de la media Segundo teorema de la media Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica
Otro	Métricas del centro de distribución