Media móvil

Media móvil , media móvil ( ing. media móvil , MA ) es un nombre común para una familia de funciones cuyos valores en cada punto de definición son iguales a algún valor promedio de la función original para el período anterior.

Los promedios móviles se usan comúnmente con datos de series de tiempo para suavizar las fluctuaciones a corto plazo y resaltar las principales tendencias o ciclos [1] [2] .

Matemáticamente, la media móvil es un tipo de convolución .

Aplicación

Se utilizan medias móviles:

En estadística y economía, para suavizar series numéricas (principalmente series temporales ). Por ejemplo, para estimar el PIB , las tasas de empleo u otros indicadores macroeconómicos .
En ingeniería , procesamiento de señales, análisis de sistemas. Ver media móvil (filtro) .
En análisis técnico , como indicador técnico independiente o como parte de otras herramientas, consulte media móvil (indicador) .

Etimología

Dado que al calcular el promedio móvil, el valor de la función se calcula cada vez de nuevo [2] , teniendo en cuenta el conjunto finito significativo [3] de valores anteriores, el promedio móvil "se mueve" (se mueve), como si "se deslizara ” a lo largo de la serie temporal.

Tipos de medias móviles

Caso general

En general, los promedios móviles ponderados se calculan utilizando la fórmula [2] :

{\textit {WWMA}}_{t}=\sum_{{i=0}}^{{n-1}}w_{{ti}}\cdot p_{{ti}},

(AMM 1) donde es el valor de la media móvil ponderada en el punto ;

{\textit {WWMA}}_{t}

t

norte

— el número de valores de la función original para calcular el promedio móvil;

w_{{ti}}

es el peso normalizado (coeficiente de peso) del valor th de la función original;

ti

p_{{ti}}

es el valor de la función original en el momento del tiempo, distante de la actual por intervalos.

i

La normalización de los coeficientes de peso significa que [2] :

\sum _{{i=0}}^{{n-1}}w_{{ti}}=1.

La fórmula anterior con valores arbitrarios de coeficientes de peso se puede reescribir como:

{\textit {WWMA}}_{t}={\frac {\sum_{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}\cdot p_{{ti}}}{ \sum _{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}}},

(WWMA2) donde es el valor de la media móvil ponderada en el punto ;

{\textit {WWMA}}_{t}

t

norte

— el número de valores de la función original para calcular el promedio móvil;

W_{{ti}}

es el peso (coeficiente de peso) del valor th de la función original;

ti

p_{{ti}}

es el valor de la función original en el momento del tiempo, distante de la actual por intervalos.

i

Los coeficientes de peso en las fórmulas (WWMA 1) y (WWMA 2) están relacionados como:

w_{{ti}}={\frac {W_{{ti}}}{\sum_{{i=0}}^{{n-1}}W_{{ti}}}}.

A menudo, 1 se usa como un peso (para un promedio móvil simple - SMA ), o una serie formal, por ejemplo, una progresión aritmética ( WMA ) o una función exponencial ( EMA ). Pero los valores de la serie temporal asociada también pueden actuar como factor de ponderación. Por ejemplo, para ponderar los precios de cambio por volúmenes de transacción ( VMA ), el precio de transacción del instrumento debe ser considerado como el valor y el volumen en el momento del tiempo : $p_{{ti}}$ $W_{{ti}}=V_{{ti}}$ $ti$

{\textit {VMA}}_{t}={\frac {\sum_{{i=0}}^{{n-1}}V_{{ti}}\cdot p_{{ti}}}{ \sum _{{i=0}}^{{n-1}}V_{{ti}}}}.

Promedio móvil simple

El promedio móvil simple , o promedio móvil aritmético ( ing. promedio móvil simple , ing. SMA ) es numéricamente igual a la media aritmética de los valores de la función original para un período específico [1] y se calcula mediante la fórmula [2 ] :

{\textit {SMA}}_{t}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}p_{ti}=

={\frac {p_{t}+p_{t-1}+\cdots +p_{ti}+\cdots +p_{t-n+2}+p_{t-n+1}}{ norte}},

donde es el valor de la media móvil simple en el punto ;

{\textit {SMA}}_{t}

t

norte

- el número de valores de la función original para calcular el promedio móvil (intervalo de suavizado [1] ), cuanto más amplio sea el intervalo de suavizado, más suave será el gráfico de la función [1] ;

p_{{ti}}

es el valor de la función original en el punto .

ti

El valor resultante de la media móvil simple se refiere a la mitad del intervalo seleccionado [1] , sin embargo, tradicionalmente se refiere al último punto del intervalo [2] .

A partir de su valor anterior, se puede obtener una media móvil simple utilizando la siguiente fórmula recursiva [2] :

{\textit {SMA}}_{t}={\textit {SMA}}_{{t-1}}-{\frac {p_{{tn}}}{n}}+{\frac {p_{ {Tennesse}},

donde - el valor de la media móvil simple en el punto , - el valor anterior de la media móvil simple;

{\textit {SMA}}_{t}

t

{\textit {SMA}}_{{t-1}}

p_{{tn}}

- el valor de la función original en el punto (en el caso de una serie temporal, el valor "más antiguo" de la función original utilizada para calcular la media móvil anterior);

Tennesse

p_{{t}}

- el valor de la función en estudio en el punto (en el caso de una serie temporal, el valor actual es el último valor).

t

Esta fórmula es conveniente para evitar la suma regular de todos los valores.

Por ejemplo, un promedio móvil simple para una serie de tiempo con 10 períodos se calcula como:

{\textit {SMA}}_{t}={\frac {p_{t}+p_{t-1}+p_{t-2}+p_{t-3}+p_{t-4 }+p_{t-5}+p_{t-6}+p_{t-7}+p_{t-8}+p_{t-9}}{10}}=

={\textit {SMA}}_{t-1}-{\frac {p_{t-10}}{10}}+{\frac {p_{t}}{10}},

donde es el valor de la media móvil simple en el punto ;

{\textit {SMA}}_{t}

t

p_{{ti}}

es el valor de la función original en el momento del tiempo, distante de la actual por intervalos.

i

Existen las siguientes desventajas de un promedio móvil simple [2] :

Factor de ponderación de igualdad 1.
Doble reacción a cada valor (ver fórmula recursiva): en el momento de entrar en la ventana de cálculo y en el momento de salir de ella.

Promedios móviles ponderados

Disposiciones generales

A veces, al construir una media móvil, es recomendable hacer más significativos algunos valores de la función original. Por ejemplo, si se supone que hay una tendencia no lineal dentro del intervalo de suavizado [1] , o, en el caso de series de tiempo, los datos más recientes, más recientes, pueden ser más significativos que los anteriores.

Sucede que la función original es multidimensional, es decir, está representada por varias series conectadas a la vez. En este caso, puede ser necesario combinar todos los datos recibidos en la función de promedio móvil final. Por ejemplo, las series temporales de precios de intercambio generalmente se representan para cada momento de tiempo por al menos dos valores: el precio de transacción y su volumen. Se necesita una herramienta para calcular el precio promedio móvil ponderado por volumen.

En estos casos y otros similares, se utilizan promedios móviles ponderados.

Promedio móvil ponderado

Promedio móvil ponderado ( ing. promedio móvil ponderado - ing. WMA ), más precisamente, un promedio móvil ponderado linealmente - promedio móvil, al calcular cuál es el peso de cada miembro de la función original, comenzando desde el más pequeño, es igual al correspondiente miembro de la progresión aritmética . Es decir, al calcular WMA para una serie temporal, consideramos que los últimos valores de la función original son más significativos que los anteriores, y la función de significación es linealmente decreciente.

Por ejemplo, para una progresión aritmética con un valor inicial y un paso igual a 1, la fórmula para calcular el promedio móvil tomará la forma [2] :

{\textit {WMA}}_{t}={\frac {n\cdot p_{t}+(n-1)\cdot p_{t-1}+\cdots +(ni)\cdot p_ {ti}+\cdots +2\cdot p_{t-n+2}+1\cdot p_{t-n+1}}{n+(n-1)+\cdots +(ni)+\cdots +2 +1}}=

={\frac {2}{n\cdot (n+1)}}\sum _{i=0}^{n-1}(ni)\cdot p_{ti},

donde es el valor de la media móvil ponderada en el punto ;

{\textit {WMA}}_{t}

t

norte

— el número de valores de la función original para el cálculo de la media móvil, : : — el valor de la función original en un intervalo de tiempo distante del actual por intervalos.

p_{{ti}}

i

En este caso, el denominador de la función, en este caso, es igual a un número triangular , la suma de los miembros de una progresión aritmética con un miembro inicial y un paso igual a 1:

{\frac {n\cdot (n+1)}{2}}.

Promedio móvil ponderado exponencialmente

Promedio móvil ponderado exponencialmente , promedio móvil exponencial ( ing. promedio móvil ponderado exponencialmente - ing. EWMA , promedio móvil exponencial ing . - EMA ing. ) - un tipo de promedio móvil ponderado, cuyos pesos disminuyen exponencialmente y nunca son iguales a cero [3] . Definido por la siguiente fórmula [1] [2] [4] [5] [6] :

{\textit {EMA}}_{t}=\alpha \cdot p_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}},

donde - el valor de la media móvil exponencial en el punto (el último valor, en el caso de una serie de tiempo);

{\textit {EMA}}_{t}

t

{\textit {EMA}}_{{t-1}}

- el valor de la media móvil exponencial en el punto (el valor anterior en el caso de una serie temporal);

t-1

p_{t}

- el valor de la función original en el momento del tiempo (el último valor, en el caso de una serie de tiempo);

t

\alfa

- (constante de suavizado del inglés smoothing constant ) coeficiente que caracteriza la tasa de reducción de peso, toma un valor de 0 a 1, cuanto menor es su valor, mayor es la influencia de los valores anteriores en el valor actual del promedio.

El primer valor de la media móvil exponencial suele tomarse igual al primer valor de la función original:

{\textit {EMA}}_{0}=p_{0}.

El coeficiente , se puede elegir arbitrariamente, con un rango de 0 a 1. Por ejemplo, se puede expresar en términos de la ventana de promediación: $\ \alfa$

\ \alfa ={\frac{2}{n+1}}.

Media móvil exponencial de orden arbitrario

En la media móvil exponencial habitual, los valores de la función original se suavizan, sin embargo, los valores de la función resultante también se pueden suavizar [2] . Por ello, algunos autores definen el concepto de medias móviles exponenciales de orden arbitrario [2] , que se calculan mediante la fórmula:

{\textit {EMA}}_{t}^{{(n)}}=\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{t}^{{(n-1)))+(1-\ alfa )\cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}}^{{(n))),

donde - el valor de la media móvil exponencial del orden th en el punto (el último valor, en el caso de una serie de tiempo);

{\textit {EMA}}_{t}^{{(n)))

norte

t

{\textit {EMA}}_{{t-1}}^{{(n)))

- el valor de la media móvil exponencial del orden th en el punto (el valor anterior en el caso de una serie de tiempo);

norte

t-1

{EMA}_{t}^{{(n-1)}}

- el valor de la media móvil exponencial del orden th en el punto (el último valor, en el caso de una serie de tiempo);

(n-1)

t

\alfa

es una constante de suavizado.

Los promedios móviles exponencialmente ponderados de segundo respectivamente,y tercer orden a veces se denominan : ${\textit {DMA}}$ ${\ textit {TMA}}$

{\textit {DMA}}_{t}=\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {DMA}}_{{t-1} },

{\textit {TMA}}_{t}=\alpha \cdot {\textit {DMA}}_{t}+(1-\alpha )\cdot {\textit {TMA}}_{{t-1} }.

Media Móvil Modificada

El promedio móvil modificado (del promedio móvil modificado en inglés - MMA en inglés ; a veces llamado promedio móvil móvil en inglés - RMA en inglés y promedio móvil suavizado en inglés ) se define como:

{\text{MMA}}_{t}={\frac {p_{t}+(n-1)\cdot {\text{MMA}}_{{t-1}}}{n}},

donde - el valor de la media móvil modificada en el punto (el último valor, en el caso de una serie temporal);

{\textit {MMA}}_{t}

t

{\textit {MMA}}_{{t-1}}

- el valor de la media móvil modificada en el punto (el valor anterior en el caso de una serie temporal);

t-1

norte

— el número de valores de la función original para calcular el promedio móvil (intervalo de suavizado).

Es fácil ver que el promedio móvil modificado es un caso especial del promedio móvil exponencial, para el cual la constante de suavizado es igual al recíproco del intervalo de suavizado:

\alfa ={\frac{1}{n}}.

Funciones relacionadas

Controles deslizantes basados en otras funciones de promedio

Por analogía con los promedios móviles basados en la media aritmética, puede utilizar otras funciones de promedio ( potencia media : raíz cuadrada media , media armónica , etc.; media geométrica ; mediana , etc.) y sus contrapartes ponderadas. La elección específica depende de la naturaleza de la función original bajo estudio.

Mediana móvil simple

Una mediana móvil simple ( ing. mediana móvil simple - ing. SMM ) es una función cuyo valor en cada punto de definición es numéricamente igual a la mediana de los valores de la función original para un período específico:

{\textit {SMM}}_{t}={\text{Mediana}}(p_{t},p_{{t-1}},\ldots,p_{{t-n+1}}),

donde es el valor de la mediana móvil simple en el punto ;

{\textit {SMM}}_{t}

t

norte

— el número de valores de la función original para calcular la mediana móvil (intervalo de suavizado);

p_{{ti}}

es el valor de la función original en el punto .

ti

Promedios móviles dinámicos

En la década de 1990, se propusieron una serie de medias móviles con un ancho de ventana (o factor de suavizado) que cambia dinámicamente; consulte, por ejemplo , la media móvil adaptativa de Kaufman .

Promedio móvil acumulativo

El promedio móvil acumulativo es numéricamente igual a la media aritmética de los valores de la función original durante todo el período de observación:

{\textit {CA}}_{t}={\frac {1}{t}}\sum_{{i=1}}^{{t}}p_{i}={\frac {p_{t }+p_{{t-1}}+\cdots +p_{{2}}+p_{{1}}}{t}},

donde está la media móvil acumulada en este momento ;

{\textit {CA}}_{t}

t

t

- el número de intervalos disponibles para el cálculo;

Pi}

es el valor de la función original en el punto

i.

En los cálculos reales, cuando se conoce el valor anterior de la media móvil acumulada, también se aplican las siguientes fórmulas:

{\textit {CA}}_{t}={\frac {p_{t}+(t-1)\cdot {\textit {CA}}_{{t-1}}}{t}}={ \textit {CA}}_{{t-1}}+{\frac {p_{t}-{\textit {CA}}_{{t-1}}}{t}},

donde está la media móvil acumulada en este momento ;

{\textit {CA}}_{t}

t

{\textit {CA}}_{{t-1}}

- media móvil acumulada en el momento (el valor anterior, en el caso de una serie de tiempo);

t-1

p_{t}

— el valor de la función original en el momento del tiempo (en el caso de una serie de tiempo, el último valor);

t

t

- el número de intervalos disponibles para el cálculo, y

{\textit {CA}}_{0}=0.

Importe acumulado

La media móvil acumulada no debe confundirse con la suma acumulada , que se calcula sumando todos los valores de la serie en un total acumulado:

{\textit {Acumulado}}_{t}=p_{t}+{\textit {Acumulado}}_{{t-1}}=\sum_{{i=1}}^{{t}}p_ {i}=p_{t}+p_{{t-1}}+\cdots +p_{{2}}+p_{{1}},

donde están los valores actuales y anteriores de la suma acumulada;

{\textit {Acumulado}}_{t},{\textit {Acumulado}}_{{t-1}}

Pi}

es el valor de la serie original en este momento

i.

Véase también

Modelo autorregresivo : Modelo autorregresivo - media móvil , Modelo de media móvil
Ventana (función de peso)

Notas

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Greshilov A. A., Stakun V. A., Stakun A. A. Métodos matemáticos para construir pronósticos. - M.: Radio y comunicación, 1997. - 112 p. — ISBN 5-256-01352-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Bulashev S. V. Estadísticas para comerciantes. — M.: Empresa Sputnik+, 2003. — 245 p.
↑ 1 2 Al calcular la media móvil ponderada exponencialmente, teóricamente se tienen en cuenta todos los valores de la serie temporal, sin embargo, en la práctica, a partir de algún punto, la contribución de los valores iniciales es menor que el error de cálculo. Por lo tanto, pueden despreciarse y el conjunto de valores anteriores puede considerarse finito.
↑ Algunas fuentes usan la representación "inversa" de esta fórmula: ${\textit {EMA}}_{t}=(1-\alpha )\cdot p_{t}+\alpha \cdot {\textit {EMA}}_{{t-1}},$ Esto no cambia el significado matemático, sin embargo, al usar y analizar, se debe considerar cuidadosamente la definición contextual.
↑ Suavizado exponencial único Archivado el 10 de marzo de 2011 en Wayback Machine en el sitio web del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE . UU .
↑ Gráficos de control de EWMA Archivado el 4 de marzo de 2011 en Wayback Machine en el sitio web del Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE . UU .

Significar
Matemáticas	Potencia media ( ponderada ) Significado armonico ponderado significado geometrico ponderado Promedio ponderado media cuadrática cúbico promedio media móvil Media aritmético-geométrica Función Media media de Kolmogorov
Geometría	centro geométrico Baricentro
Teoría de la probabilidad y estadística matemática	Media Winsorizada muestra promedio Valor esperado Mediana Moda Desviación Estándar Media truncada expectativa condicional
Tecnologías de la información	medoide método de k-mediana
teoremas	Primer teorema de la media Segundo teorema de la media Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica
Otro	Métricas del centro de distribución

Media móvil

Aplicación

Etimología

Tipos de medias móviles

Caso general

Promedio móvil simple

Promedios móviles ponderados

Funciones relacionadas

Controles deslizantes basados ​​en otras funciones de promedio

Promedios móviles dinámicos

Promedio móvil acumulativo

Importe acumulado

Véase también

Notas

Controles deslizantes basados en otras funciones de promedio