Número supercompuesto

Un número supercompuesto es un número natural con más divisores que cualquier número natural más pequeño.

Historia

El término fue propuesto por Ramanujan en 1915. Sin embargo, Jean-Pierre Cahane los consideró antes, y es posible que Platón ya los conociera , quien describió el número 5040 como el número ideal de ciudadanos de la ciudad, ya que 5040 tiene más divisores que cualquier número menor. [una]

Ejemplos

La tabla muestra los primeros 38 números supercompuestos (secuencia A002182 en la OEIS ).

habitación	supercompuesto	descomposición en simple	número divisores	expansión en primoriales
una	una		una
2	2	$2$	2	$2$
3	cuatro	$2^{2}$	3	$2^{2}$
cuatro	6	${\ estilo de visualización 2 \ punto 3}$	cuatro	$6$
5	12	$2^{2}\cdot 3$	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^{3}\cdot 3$	ocho	$2^{2}\cdot 6$
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	9	${\ estilo de visualización 6 ^ {2}}$
ocho	48	$2^{4}\cdot 3$	diez	$2^{3}\cdot 6$
9	60	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	12	$2\cdot 30$
diez	120	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	dieciséis	$2^{2}\cdot 30$
once	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	Dieciocho	$6\cdot 30$
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	veinte	$2^{3}\cdot 30$
13	360	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	24	$2\cdot 6\cdot 30$
catorce	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	treinta	$2^{2}\cdot 6\cdot 30$
quince	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	32	$2^{2}\cdot 210$
dieciséis	1260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	40	$2^{3}\cdot 210$
Dieciocho	2520	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19	5040	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	60	$2^{2}\cdot 6\cdot 210$
veinte	7560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	64	$6^{2}\cdot 210$
21	10080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	80	$2\cdot 6^{2}\cdot 210$
23	20160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	90	$2^{2}\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	100	$6^{3}\cdot 210$
27	50400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	108	$2^{3}\cdot 30\cdot 210$
28	55440	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	120	$2^{2}\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	128	$6^{2}\cdot 2310$
treinta	110880	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	144	$2^{3}\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	160	$2\cdot 6^{2}\cdot 2310$
32	221760	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	168	$2^{4}\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	180	$2^{2}\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	192	$2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
35	498960	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	200	$6^{3}\cdot 2310$
36	554400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	216	$2^{3}\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	224	$2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
38	720720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	240	$2^{2}\cdot 6\cdot 30030$

Descomposición en números primos

La descomposición de números supercompuestos implica los factores primos más pequeños y, al mismo tiempo, no demasiados iguales.

Según el teorema fundamental de la aritmética , todo número natural tiene una única descomposición en números primos: $norte$

n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1 )

donde los primos y las potencias son enteros positivos. El número de divisores de un número se puede expresar de la siguiente manera: ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k))$ $c_{yo}$ ${\ estilo de visualización d (n)}$ $norte$

d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)

Por lo tanto, para un número supercompuesto , se cumple lo siguiente: $norte$

Los números son los primeros números primos. ${\displaystyle p_{1},p_{2},\puntos,p_{k))$ $k$
La secuencia de potencias debe ser no creciente, es decir, . ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k))$
- Esta propiedad es equivalente a decir que un número supercompuesto es un producto de primoriales .
Excepto en dos casos especiales, n = 4 Y N = 36, la última potencia es uno. $c_{k}$

En particular, 1, 4 y 36 son los únicos cuadrados supercompuestos.

Aunque las condiciones descritas anteriormente son necesarias, no son suficientes. Por ejemplo, 96 = 2 5 × 3 satisface todas las condiciones anteriores y tiene 12 divisores, pero no es un supercompuesto porque hay un número más pequeño, 60, que tiene el mismo número de divisores.

Crecimiento asintótico y densidad

Hay constantes a y b ambas mayores que 1 tales que

{\ estilo de visualización \ ln (x) ^ {a} \ leq Q (x) \ leq \ ln (x) ^ {b},}

Donde denota el número de números supercompuestos menores o iguales a . $q(x)$ $X$

La primera parte de la desigualdad fue probada por Pal Erdős en 1944; el segundo fue probado por Jean-Louis Nicholas en 1988.

También se sabe que

1{,}13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x))\leq 1{,}44

\limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x))\leq 1{,}71.

Propiedades

Todos los números supercompuestos mayores de 6 son redundantes .

No todos los números supercompuestos son números de Harshad en base 10;
- el primer contraejemplo es 245044800 , este número tiene una suma de 27 dígitos, pero no es divisible por 27.

Véase también

Notas

↑ Kahane, Jean-Pierre (febrero de 2015), Circunvoluciones de Bernoulli y medidas autosimilares después de Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society vol. 62 (2): 136–140 .

Enlaces

Ramanujan, S. Números altamente compuestos (neopr.) // Proc. Matemáticas de Londres. soc. (2). - 1915. - T. 14 . - S. 347-409 . -doi : 10.1112 / plms/s2_14.1.347 . ( en línea Archivado el 3 de septiembre de 2014 en Wayback Machine )
Manual de teoría de números I (neopr.) . - Dordrecht: Springer-Verlag , 2006. - S. 45-46. — ISBN 1-4020-4215-9 .
Erdös, P. Sobre números altamente compuestos (neopr.) // London Mathematical Society . - 1944. - T. 19 . - S. 130-133 . -doi :/ jlms/19.75_part_3.130 .
Alaoglu, L. Sobre números compuestos altamente y similares // Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . - 1944. - vol. 56 , núm. 3 . - Pág. 448-469 . -doi : 10.2307/ 1990319 .
Ramanujan, Srinivasa Números altamente compuestos (inglés) // Ramanujan Journal : diario. - 1997. - vol. 1 , no. 2 . - pág. 119-153 . -doi : 10.1023/A : 1009764017495 . Anotado y con prólogo de Jean-Louis Nicolas y Guy Robin.

Enlaces

Literatura

O. mineral. Una invitación a la teoría de números . - M. : Nauka, 1980. - 128 p. — (Número 3 de la serie Quantum Library). — 150.000 copias.

Números por características de divisibilidad
Información general	Factorización de números enteros Divisibilidad divisor unitario Función divisoria número primo Teorema fundamental de la aritmética número aritmético
Formas de factorización	número primo Número compuesto Semiprima número rectangular número esfénico Número sin cuadrados múltiplo completo grado perfecto numero de aquiles número suave número normal número aproximado número inusual
Con divisores limitados	número perfecto Cifras ligeramente insuficientes Números ligeramente redundantes número multiperfecto Números hemiperfectos número hiperperfecto número súper perfecto primo unitario número semiperfecto número pararítmico Número de Erdős-Nicolas
Números con muchos divisores	exceso de números Exceso de números primitivos Números altamente redundantes Números superredundantes Números enormemente redundantes número supercompuesto Un número altamente supercompuesto número extraño
Relacionado con secuencias alícuotas	número sagrado números amistosos números públicos Números casi amigables
Otro	No hay suficientes números números de amigos numeros sublimados Números de mineral número humilde Dígitos iguales número extravagante