Cópula

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Cópula ( del lat. cópula "conexión, gavilla") es una función de distribución multidimensional definida en un cubo unitario bidimensional , de modo que cada una de sus distribuciones marginales es uniforme en el intervalo . $norte$ $[0,\;1]^{n}$ $[0,\;1]$

Teorema de Sklar

El teorema de Sklar es el siguiente: para una función de distribución bidimensional arbitraria con funciones de distribución marginales unidimensionales y existe una cópula tal que $H(x,\;y)$ $F(x)=H(x,\;\infty)$ $G(y)=H(\infty,\;y)$

H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)),

donde identificamos una distribución con su función de distribución. La cópula contiene toda la información sobre la naturaleza de la relación entre dos variables aleatorias que no se encuentra en distribuciones marginales, pero no contiene información sobre distribuciones marginales. Como resultado, la información sobre los marginales y la información sobre la dependencia entre ellos están separados por una cópula entre sí. $C$

Algunas propiedades de la cópula son:

C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,

C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.

Límites de Fréchet-Hoefding para cópula

La cópula mínima es el límite inferior para todas las cópulas, solo que en el caso bidimensional corresponde a una correlación estrictamente negativa entre variables aleatorias:

W(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).

La cópula máxima es el límite superior para todas las cópulas, corresponde a una correlación estrictamente positiva entre variables aleatorias:

M(x,\;y)=\min(x,\;y).

Cópulas de Arquímedes

Una forma simple particular de cópula:

C(x,\;y)=\Psi ^{{-1}}(\Psi (x)+\Psi (y)),

donde se llama función generadora . Tales cópulas se llaman de Arquímedes . Cualquier función generadora que satisfaga las siguientes propiedades sirve como base para una cópula adecuada: $\psi$

\Psi (1)=0;\quad \lim_{{x\to 0}}\Psi (x)=\infty ;\quad \Psi '(x)<0;\quad \Psi ''(x) >0.

Una cópula producto , también llamada cópula independiente , es una cópula que no tiene dependencias entre variables, su función de densidad es siempre igual a uno.

\Psi (x)=-\ln(x);\quad C(x,\;y)=xy.

Cópula de Clayton:

\Psi (x)=x^{\theta }-1;\quad \theta \leqslant 0;\quad C(x,\;y)=(x^{\theta }+y^{\theta }-1 )^{{1/\theta}}.

Porque en la cópula de Clayton, las variables aleatorias son estadísticamente independientes . $\ theta = 0$

El enfoque de la función del generador se puede ampliar para crear cópulas multidimensionales simplemente agregando variables.

Cópula empírica

Al analizar datos con una distribución desconocida, es posible construir una "cópula empírica" por convolución de tal manera que las distribuciones marginales sean uniformes. Matemáticamente, esto se puede escribir como:

C_{n}\left({\frac {i}{n)),{\frac {j}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\cdot

El número de pares tales que

(x,y)

x\leq x_{{(i)}}{\text{ y }}y\leq y_{{(j)}}\,,1\leq i\leq n,1\leq j\leq n

donde x ( i ) representa el estadístico de i ésimo orden de x .

Cópula gaussiana

Las cópulas gaussianas son ampliamente utilizadas en el sector financiero. Para el caso n-dimensional, la cópula se puede representar como [1] [2] :

C\left[G_{1}(u_{1}),...,G_{n}(u_{n})\right]=\Phi _{n}\left[\Phi ^{- 1}(G_{1}(u_{1})),...,\Phi ^{-1}(G_{n}(u_{n})),\rho_{\Phi }\right]

dónde:

$G_{i}(u_{i})$ — distribuciones privadas;
${\ estilo de visualización \ Phi _ {n}}$ — distribución normal conjunta n-dimensional con una matriz de correlación semidefinida positiva de dimensión ; ${\ estilo de visualización \ rho _ {\ Phi}}$ $n\veces n$
${\ estilo de visualización \ Phi ^ {-1}}$ es la función inversa de la distribución gaussiana.

Aplicaciones

El modelado de dependencia de cópula se usa ampliamente en la evaluación de riesgos financieros y el análisis de seguros, por ejemplo, en la fijación de precios de obligaciones de deuda garantizada (CDO) [3] . Además, las cópulas también se han aplicado a otras tareas de seguros como una herramienta flexible.

Véase también

Independencia (teoría de la probabilidad)

Notas

↑ Meissner, Günter. 4.3.1 La cópula gaussiana // Modelado y gestión del riesgo de correlación : una guía aplicada que incluye el marco de correlación de Basilea III . - Wiley, 2014. - Pág. 76. - ISBN 111879690X .
↑ Blagoveshchensky Yu. N. Los elementos principales de la teoría de las cópulas // Econometría aplicada. - 2012. - Nº 2 (26) . - S. 113-130 .
↑ Meneguzzo, David (2003), Sensibilidad de la cópula en obligaciones de deuda colateralizadas y permutas por defecto de canasta , Journal of Futures Markets Vol. 24 (1): 37–70 , DOI 10.1002/fut.10110

Literatura

Blagoveshchensky Yu. N. Los elementos principales de la teoría de las cópulas // Econometría aplicada, No. 2 (26), 2012. P. 113—130.
Clayton David G. Un modelo de asociación en tablas de vida bivariadas y su aplicación en estudios epidemiológicos de tendencia familiar en la incidencia de enfermedades crónicas. - Biometrika . - 1978. - 65. - págs. 141-151. JSTOR (suscripción)
Frees, EW, Valdez, EA Comprensión de las relaciones mediante cópulas. — Diario Actuarial de América del Norte. - 1998. - 2. - págs. 1-25.
Nelsen Roger B. Introducción a las cópulas. - Springer , 1999. - 236 p. — ISBN 0-387-98623-5 .
Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Distribuciones de rendimiento de activos sesgadas y de cola gruesa. - Wiley, 2005. - 369 p. — ISBN 0-471-71886-6 .
Sklar A. Fonctions de répartition à n dimension et leures marges. - Publicaciones del Institut de Statistique de L'Université de Paris. - 1959. - 8. - págs. 229-231.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Sklar's Theorem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Ejemplos de generación de cópulas en Matlab

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula