Grandes teorías unificadas

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Grand Unified Theories [1] ( Eng.  Grand Unified Theory, GUT ): en física de partículas elementales, un grupo de modelos teóricos que describen las interacciones electromagnéticas fuertes , débiles y de una manera unificada. Se supone que a energías extremadamente altas (por encima de 10 14 GeV ) estas interacciones se combinan. [2] [3] Aunque esta interacción unificada no se ha observado directamente, muchos modelos GUT predicen su existencia. Si la unificación de estas tres fuerzas es posible, esto plantea la cuestión de que hubo una gran época de unificación en el universo muy primitivo en el que estas tres fuerzas fundamentales aún no estaban separadas entre sí.

Los experimentos han confirmado que a alta energía, la fuerza electromagnética y la fuerza débil se combinan para formar una sola fuerza electrodébil . Los modelos GUT predicen que a energías suficientemente altas, las interacciones fuertes y las interacciones electrodébiles se combinan en una fuerza electronuclear. Esta interacción se caracteriza por una simetría de norma unificada y, por lo tanto, varios portadores de fuerza, pero una constante de acoplamiento unificada [4] . La unificación de la gravedad con la interacción electronuclear conduciría a una teoría del todo (TV) en lugar de GUT. TVO a menudo se ve como un paso intermedio en el camino hacia la televisión.

Se espera que las nuevas partículas predichas por los modelos GUT tengan masas extremadamente altas del orden de un GeV, solo unos pocos órdenes de magnitud por debajo de la energía de Planck de un GeV, y por lo tanto mucho más allá del alcance de cualquier experimento de colisionador de partículas en el futuro previsible. [5] [6 ] . Por lo tanto, las partículas predichas por los modelos GUT no se pueden observar directamente, sino que los efectos de la Gran Unificación se pueden detectar a través de observaciones indirectas, como la descomposición de protones [5] , los momentos dipolares eléctricos de las partículas elementales o las propiedades de los neutrinos [7] . Algunas teorías, como el modelo de Pati-Salam, predicen la existencia de monopolos magnéticos .

Los modelos GUT que pretenden ser completamente realistas son bastante complejos, incluso en comparación con el modelo estándar , porque necesitan introducir campos e interacciones adicionales, o incluso dimensiones adicionales de espacio. [8] [9] La razón principal de esta complejidad radica en la dificultad de reproducir las masas fermiónicas observadas y los ángulos de mezcla, lo que puede estar asociado a la existencia de algunas simetrías adicionales que van más allá de los modelos GUT habituales. Debido a esta dificultad, y también a la ausencia de cualquier efecto observable de GUT, todavía no existe un modelo de GUT generalmente aceptado.

Modelos que no combinan las tres interacciones usando un grupo simple como simetría de calibre, sino que lo hacen usando grupos semisimples que pueden exhibir propiedades similares y, a veces, también se denominan GUT. [2]

La desventaja de los grandes modelos unificados es la gran cantidad de partículas y parámetros [10] .

Sin embargo, muchos físicos teóricos creen que no tiene sentido combinar estas interacciones sin la gravedad , y el camino hacia la "Gran Unificación" pasa por la creación de una " teoría del todo ", probablemente basada en una de las teorías de la gravedad cuántica. .

Historia

Históricamente, Howard Georgi y Sheldon Glashow propusieron el primer GUT verdadero, que se basó en el grupo simple SU(5) de Lee en 1974 [11] [3] . El modelo de Georgie-Glashow fue precedido por el modelo de álgebra semisimple de Lee Pati-Salam propuesto por Abdus Salam y Jogesh Pati [12], quienes fueron pioneros en la idea de unificar las interacciones de calibre.

La abreviatura HBO fue acuñada por primera vez en 1978 por los científicos del CERN John Ellis, Andrzej Buras, Mary K. Gaillard y Dimitri Nanopoulos, pero en la versión final de su artículo [13] eligieron un significado menor (gran unificación de las masas). Nanopoulos más tarde ese año [14] fue el primero en utilizar el acrónimo en el artículo [15] .

Motivación

La "suposición" de que las cargas eléctricas de electrones y protones, por así decirlo, se equilibran entre sí es muy importante: es la máxima precisión de su igualdad lo que es necesario para la existencia del mundo macroscópico que conocemos. Sin embargo, una propiedad tan importante de las partículas elementales no se explica en el Modelo Estándar de la física de partículas elementales. Mientras que las descripciones de interacciones fuertes y débiles dentro del modelo estándar se basan en simetrías de calibre y se rigen por grupos de simetría simples SU(3) y SU(2) , que permiten solo cargas discretas, el resto, la hipercarga débil , se describe mediante la simetría abeliana U(1) , que en principio permite una fuente de carga arbitraria. [16] La cuantización de la carga observada, es decir, el postulado de que todas las partículas elementales conocidas llevan cargas eléctricas que son múltiplos exactos de ⅓ de la carga elemental, ha llevado a la idea de que las interacciones de hipercarga y posiblemente las interacciones fuertes y débiles pueden integrarse en una sola. gran interacción unificada descrita por un solo grupo de simetría simple más grande que contiene el modelo estándar. Así, la naturaleza cuantificada y los valores de todas las cargas de las partículas elementales se explican automáticamente. También conduce a una predicción de las fuerzas relativas de las interacciones fundamentales que observamos, en particular, el ángulo de mezcla débil. Además, una mayor unificación idealmente reduce el número de parámetros de entrada independientes, pero su desarrollo está limitado por la falta de datos experimentales.

La gran unificación recuerda a la unificación de las fuerzas eléctricas y magnéticas por la teoría del electromagnetismo de Maxwell en el siglo XIX, pero sus consecuencias físicas y estructuras matemáticas son cualitativamente diferentes.

Combinando Partículas de Materia

SU(5)

SU(5) es el DOS más simple. El grupo de Lie simple más pequeño que contiene el modelo estándar en el que se basó el primer TVO es [5] :

.

Tales simetrías de grupo nos permiten considerar varias partículas elementales conocidas como diferentes estados de un solo campo. Sin embargo, no es obvio que la versión más simple posible de la simetría extendida de la GUT deba dar la lista correcta de propiedades de las partículas elementales. El hecho de que todas las partículas de materia conocidas en la actualidad encajen perfectamente en tres copias de la representación del grupo más pequeño de SU(5) e inmediatamente lleven las cargas observables correctas es una de las primeras y más importantes razones por las que los físicos teóricos creen que GUT realmente se puede realizar. en naturaleza.

Las dos representaciones irreducibles más pequeñas de SU(5) son 5 (la representación definitoria) y 10 . En la representación estándar, 5 contiene la conjugación de carga de un triplete de color de quark d zurdo y un doblete de isospín de leptón zurdo [3] , mientras que 10 contiene seis componentes de tipo quark tipo u , un quark d zurdo triplete de color y un electrón diestro. Este esquema debe reproducirse para cada una de las tres generaciones conocidas de materia. Es de destacar que la teoría no contiene anomalías con este contenido material.

Los hipotéticos neutrinos dextrógiros son un singlete SU(5) , lo que significa que su masa no está prohibida por ninguna simetría; no necesita una ruptura de simetría espontánea, lo que explica por qué su masa sería pesada (ver mecanismo de balancín).

El modelo TVO SU(5) explica por qué la carga del quark d es 1/3 y predice la desintegración del protón y la existencia de un monopolo magnético [3] .

SO(10)

El siguiente grupo de Lie simple que contiene el modelo estándar es [3] :

.

Aquí, la unificación de la materia es aún más completa, ya que la representación de espín irreducible 16 contiene los tipos 5 y 10 de SU(5) y neutrinos dextrógiros, y así completa la descripción de partículas de una generación del modelo estándar extendido con neutrinos masivos . Este ya es el grupo simple más grande , con la ayuda del cual es posible crear un esquema único para describir la materia, que incluye solo partículas de materia ya conocidas (excepto aquellas que pertenecen al sector de Higgs ).

Dado que los diversos fermiones del modelo estándar se agrupan mediante representaciones comunes, el GUT en particular predice las relaciones entre las masas de los fermiones, por ejemplo, entre electrones y quarks d , muones y quarks , y tau-leptones y quarks b para SU (5) y SO(10) . Algunas de estas relaciones de masa se mantienen aproximadamente, pero la mayoría no (ver Relación de masa de Georgie-Jarlskog ).

La matriz bosónica para SO(10) se obtiene tomando la matriz de 15 × 15 de la representación 10 + 5 de SU(5) y agregando una fila y una columna adicionales para el neutrino dextrógiro . Los bosones se describen agregando un compañero a cada uno de los 20 bosones cargados (2 bosones W diestros, 6 gluones cargados masivos y 12 bosones de tipo X/Y) y agregando un bosón Z pesado neutral adicional para obtener un total de 5 bosones neutros. Cada fila y columna de la matriz de bosones contendrá un bosón o su nuevo compañero. Estos pares se combinan para crear las famosas matrices de espinor de Dirac de 16 dimensiones SO(10) .

E 6

En algunas formas de teoría de cuerdas , incluida la teoría de cuerdas heterótica "E" 8  × "E" 8 , la teoría de cuatro dimensiones resultante después de la compactación espontánea en una variedad de Calabi-Yau de seis dimensiones se asemeja a una GUT basada en el grupo E 6 . Cabe señalar que E 6 es solo un grupo de Lie excepcionalmente simple , para tener las representaciones complejas requeridas para construir una teoría que contenga fermiones quirales (es decir, todos los fermiones que interactúan débilmente). Por lo tanto, los otros cuatro ( G 2 , F 4 , E 7 y E 8 ) no pueden ser grupos de calibre HBO.

TVO extendidos

Las extensiones no quirales del modelo estándar con espectros vectoriales de partículas multiplete divididas que aparecen naturalmente en GUT de SU(N) superiores modifican significativamente la física de alta energía y conducen a una gran unificación realista (a escala de cuerdas) para las tres familias habituales de quarks y leptones incluso sin el uso de la supersimetría (ver . a continuación). Por otro lado, debido al nuevo mecanismo VEV faltante que surge en el TVO supersimétrico SU(8) , se puede encontrar una solución simultánea al problema de la jerarquía de calibre (desdoblamiento doblete-triplete) y el problema de unificación de sabor [17]

GUT con cuatro familias/generaciones, SU(8) : Supongamos que 4 generaciones de fermiones en lugar de 3 suman 64 tipos de partículas. Se pueden poner en 64 = 8 + 56 representaciones de SU(8) . Esto se puede dividir en SU(5) × SU(3) F × U(1)  es la teoría SU(5) junto con algunos bosones pesados ​​que actúan sobre el número de generación.

GUT con cuatro familias/generaciones, O(16) : Suponiendo nuevamente 4 generaciones de fermiones, partículas 128 y antipartículas se pueden colocar en una representación espinora O(16) .

Grupos simplécticos y representaciones de cuaterniones

También se pueden considerar grupos de calibre simplécticos. Por ejemplo, Sp(8) (que se llama Sp(4) en el artículo el grupo simpléctico ) tiene una representación de condición de una matriz unitaria de 4 × 4 cuaterniones, que tiene una representación real dimensional "'16"' y, por lo tanto, puede ser considerado como candidato para el grupo de indicadores. Sp(8) tiene 32 bosones cargados y 4 bosones neutros. Sus subgrupos incluyen SU(4) por lo que al menos puede contener gluones y un fotón SU(3) × U(1) . Aunque probablemente sea imposible hacerlo en esta representación, los bosones débiles actúan sobre los fermiones quirales. Una representación de cuaterniones de fermiones podría ser:

Otra complicación con las representaciones de fermiones en cuaterniones es que hay dos tipos de multiplicación, la multiplicación por la izquierda y la multiplicación por la derecha, que deben tenerse en cuenta. Resulta que incluir las matrices de cuaterniones izquierda y derecha de 4 × 4 es equivalente a incluir una multiplicación correcta por el cuaternión identidad, lo que agrega un SU(2) adicional y así sucesivamente tiene un bosón neutral adicional y dos bosones cargados más. Por lo tanto, el grupo de matrices de cuaterniones de 4 × 4 zurdos y diestros es Sp(8) × SU (2) , que incluye los bosones del modelo estándar:

Si es un espinor marcado con un cuaternión, es un cuaternión de la matriz hermitiana de 4 × 4 resultante de Sp(8) y es un cuaternión imaginario puro (ambos son bosones de 4 vectores), entonces el término de interacción es:

Representaciones Octonion

Una generación de 16 fermiones se puede representar como un octonión , siendo cada elemento del octonión un vector de 8. Si luego se colocan 3 generaciones en una matriz hermitiana de 3x3 con adiciones específicas para las entradas diagonales, entonces estas matrices forman un álgebra de Jordan excepcional que tiene como grupo de simetría uno de los grupos de Lie excepcionales (F 4 , E 6 , E 7 o E 8 ) dependiendo de los detalles.

Como son fermiones, los anticonmutadores del álgebra de Jordan se convierten en conmutadores. Se sabe que E 6 tiene un subgrupo O(10) y, por lo tanto, es lo suficientemente grande como para incluir el modelo estándar . Un grupo de calibre E 8 , por ejemplo, tendría 8 bosones neutros, 120 bosones cargados y 120 antibosones cargados. Para dar cuenta de 248 fermiones en el multiplete E 8 más pequeño , tendrían que incluir antipartículas (y por lo tanto ya hay bariogénesis ), o considerar nuevas partículas no descubiertas, o considerar el acoplamiento de tipo gravitatorio de los bosones que afecta las direcciones de giro de los elementos elementales. partículas Cada uno de estos modos de explicación tiene sus propios problemas teóricos.

Fuera de los grupos de Lie

Se han propuesto otras estructuras, incluidas las 3-álgebras de Lie y las superálgebras de Lie. Ninguno es consistente con la teoría de Yang-Mills . En particular, las superálgebras de Lie introducirán bosones con estadísticas incorrectas. La supersimetría , sin embargo, es consistente con la teoría de Yang-Mills. Por ejemplo, la superteoría de Yang-Mills N=4 requiere el grupo de calibre SU("N") .

Unificación de fuerzas y el papel de la supersimetría

La unificación de fuerzas es posible debido a la dependencia de la escala de energía de la fuerza de la constante de interacción en la teoría cuántica de campos , que se denomina constante de acoplamiento móvil . Este fenómeno permite acoplar constantes de interacción con valores muy diferentes a energías ordinarias para converger al mismo valor a energías mucho más altas. [7] [3]

Los cálculos del grupo de renormalización de las tres interacciones de calibre en el modelo estándar muestran que las tres constantes de interacción se encuentran casi en el mismo punto si la hipercarga se normaliza para que sea consistente con los grupos TVO SU(5) o SO(10) , estos son los grupos TVO que conducen a una unificación simple de fermiones [4] . Este es un resultado importante porque otros grupos de Lie conducen a diferentes normalizaciones. Sin embargo, si se usa una extensión supersimétrica del modelo estándar supersimétrico mínimo en lugar del modelo estándar, la coincidencia se vuelve mucho más precisa. En este caso, las constantes de acoplamiento de las interacciones fuerte y electrodébil se encuentran en la energía de la Gran Unificación, también conocida como la escala GUT [4] :

.

En general, se piensa que esta coincidencia es poco probable que sea una coincidencia y, a menudo, se la cita como una de las principales motivaciones para una mayor investigación de la teoría supersimétrica a pesar de que no se han observado experimentalmente partículas asociadas supersimétricas. Además, la mayoría de los constructores de modelos simplemente prefieren la supersimetría porque resuelve el problema de la jerarquía  , es decir, estabiliza la masa del bosón de Higgs electrodébil debido a las correcciones radiativas . [cuatro]

Masas de neutrinos

Debido a que la masa de Majorana de neutrinos dextrógiros está prohibida por la simetría SO(10) , los HUT de SO(10) predicen que las masas de Majorana de neutrinos dextrógiros estarán cerca de la energía de la Gran Unificación cuando se produzca una ruptura de simetría espontánea . En las GUT supersimétricas , esta energía tiende a ser mayor de lo que sería deseable a la luz de un enfoque realista, especialmente para los neutrinos zurdos (ver oscilaciones de neutrinos ) que utilizan el mecanismo de balancín. Estas predicciones dependen de la proporción de masas de Georgie-Janskog, y algunos GUT predicen diferentes proporciones de masas de fermiones.

Teorías sugeridas

Se han propuesto varios TBO, pero ninguno de ellos se acepta actualmente. Aún más ambiciosa es la teoría del todo , que incluye todas las fuerzas fundamentales , incluida la gravedad . Los principales modelos de TVO son:

  • modelo mínimo izquierda-derecha  - SU(3) C × SU(2) L × SU(2) R × U(1) BL
  • Modelo Georgie - Glashow  - SU(5)
  • SO(10)
  • SU(5) invertida  - SU(5) × U(1)
  • Modelo Pati-Salam  - SU(4) × SU(2) × SU(2)
  • SO(10) invertido  - SO(10) × U(1)


No del todo TVO:

Nota : cada modelo tiene el álgebra de Lie correspondiente , no el grupo de Lie . El grupo de Lie puede ser, por ejemplo, [SU(4) × SU(2) × SU(2)]/ Z 2 .

El candidato más prometedor es SO(10) [18] [19] . El (modelo GUT mínimo) SO(10) no contiene fermiones exóticos (es decir, fermiones adicionales más allá de los contenidos en el modelo estándar de fermiones y neutrinos diestros), y combina cada generación de ellos en una sola representación irreducible . Varios otros modelos de HBO se basan en subgrupos de SO(10) . Entre ellos se encuentran el modelo mínimo izquierda-derecha , SU(5) , SU (5) invertida y el modelo Pati-Salam . El grupo TVO E 6 contiene SO(10) , pero los modelos basados ​​en él son mucho más complejos. La principal razón para estudiar el modelo E 6 se deriva de la teoría de cuerdas heteróticas E 8 × E 8 .

Los modelos GUT generalmente predicen la existencia de defectos topológicos como monopolos magnéticos , cuerdas cósmicas , paredes de dominio y otros. Pero ninguno de estos objetos se ha encontrado en la naturaleza. Su ausencia se conoce como el problema del monopolo en cosmología. Muchos modelos GUT también predicen la descomposición de protones , aunque no el modelo Pati-Salam; La desintegración de protones nunca se ha observado en experimentos. El límite mínimo experimental de la vida útil del protón excluye en gran medida el mínimo SU(5) y limita severamente otros modelos. La falta de supersimetría descubierta hasta la fecha también dificulta el desarrollo de muchos modelos.

Algunas teorías GUT, como SU(5) y SO(10) , sufren lo que se denomina el problema de división doblete-triplete. Estas teorías predicen que para cada doblete de Higgs electrodébil, hay un campo de Higgs triplete de color correspondiente de muy baja masa (muchos órdenes de magnitud más pequeños que la escala GUT aquí). En una teoría que combina quarks con leptones , el doblete de Higgs también se combinará con el triplete de Higgs. Tales trillizos no se han encontrado. También causarían una descomposición de protones extremadamente rápida (muy por debajo de los límites experimentales actuales) y evitarían la consideración de las fuerzas de unificación de calibre en un solo grupo de renormalización.

La mayoría de los modelos GUT requieren una replicación triple de los campos de materia. Como tales, no explican por qué existen exactamente tres generaciones de fermiones. La mayoría de los modelos GUT tampoco logran explicar la jerarquía entre las masas de fermiones para diferentes generaciones.

Formalismo matemático

El modelo TVO consta de un grupo de indicadores que es un grupo de Lie compacto. La acción de Yang-Mills en este modelo viene dada por una forma bilineal simétrica invariante sobre su álgebra de Lie (que viene dada por una constante de acoplamiento para cada factor), y el sector de Higgs consiste en una serie de campos escalares que toman valores dentro del representación real/compleja del grupo de Lie y el fermión de Weyl quiral, que toma valores dentro de la representación compleja del grupo de Lie. El grupo de Lie contiene el grupo del Modelo Estándar y los campos de Higgs adquieren VEV, lo que lleva a una ruptura de simetría espontánea en el Modelo Estándar . Los fermiones de Weyl representan la materia.

Estado actual

En la actualidad, no hay evidencia convincente de que la naturaleza sea descrita por el DOS. El descubrimiento de las oscilaciones de neutrinos indica que el Modelo Estándar está incompleto y ha llevado a un interés renovado en un GUT particular como SO(10) . Una de las pocas pruebas experimentales posibles para cierto GUT es la desintegración del protón y también la masa de los fermiones. Hay algunas pruebas especiales más para HUT supersimétricas. Sin embargo, la vida útil mínima del protón del experimento (cuando se encuentra dentro o excede el rango de 10 34 −10 35 años) excluyó los GUT más simples y la mayoría de los modelos no supersimétricos. El límite superior máximo para la vida útil del protón (si es inestable) se calcula en 6 x 10 39 años para los modelos SUSY y 1,4 x 10 36 años para los modelos GUT mínimos no supersimétricos. [veinte]

Véase también

Notas

  1. ↑ Gran unificación. . Consultado el 26 de julio de 2018. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2020.
  2. ↑ 1 2 Okun L. B. Leptones y quarks. - M., Editorial URSS, 2005. - p. 243-255
  3. ↑ 1 2 3 4 5 6 Okun L. B. Física de partículas elementales. - M., Nauka, 1988. - pág. 91-106
  4. ↑ 1 2 3 4 arXiv.org Frank Wilczek El futuro de la física de partículas como ciencia natural Archivado el 1 de enero de 2020 en Wayback Machine .
  5. ↑ 1 2 3 Sadovsky M. V. Conferencias sobre teoría cuántica de campos. - M., IKI, 2003. - pág. 20, 425-431
  6. ↑

    ...la aceleración de partículas a una energía de GeV, correspondiente a la "gran unificación" de las interacciones fuerte y electrodébil, requeriría la construcción de un acelerador del tamaño del sistema solar. Y si quisiéramos avanzar a la "energía de Planck" GeV (en este punto, los efectos gravitacionales cuánticos se vuelven significativos), entonces tendríamos que construir un acelerador, cuyo anillo tendría una longitud de unos 10 años luz.

    Sisakyan A. N. Conferencias seleccionadas sobre física de partículas. - Dubna, JINR, 2004. - pág. 95
  7. ↑ 1 2 Ross, G. Grand Unified Theories  (sin especificar) . - Westview Press , 1984. - ISBN 978-0-8053-6968-7 .
  8. ↑ Georgie H. "Teoría unificada de partículas y fuerzas elementales" Archivado el 1 de enero de 2020 en Wayback Machine // UFN 136 287-316 (1982)
  9. ↑ Salam A. "Gauge Unification of Fundamental Forces" Copia de archivo del 29 de abril de 2018 en Wayback Machine // UFN 132 229-253 (1980)
  10. ↑ Ivanenko D. D. , Sardanishvili G. A. Gravity. - M., LKI, 2012. - p.135-137
  11. ↑ Jorge, H.; Glashow, S. L. Unity of All Elementary Particle Forces  (inglés)  // Physical Review Letters  : journal. - 1974. - vol. 32 , núm. 8 _ - Pág. 438-441 . -doi : 10.1103 / PhysRevLett.32.438 . — .
  12. ↑ Pati, J.; Salam, A. Lepton Number as the Fourth Color  (inglés)  // Physical Review D  : revista. - 1974. - vol. 10 , núm. 1 . - pág. 275-289 . -doi : 10.1103 / PhysRevD.10.275 . - .
  13. ↑ Buras, AJ; Ellis, J.; Gaillard, MK; Nanopoulos, DV Aspectos de la gran unificación de interacciones fuertes, débiles y electromagnéticas  (inglés)  // Física nuclear B  : revista. - 1978. - vol. 135 , núm. 1 . - Pág. 66-92 . - doi : 10.1016/0550-3213(78)90214-6 . - . Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2018.
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  15. ↑ Ellis, J. La física se vuelve física   // Naturaleza . - 2002. - vol. 415 , núm. 6875 . — Pág. 957 . -doi : 10.1038/ 415957b . - . —PMID 11875539 .
  16. ^ Sin embargo, existen ciertas restricciones en la elección de cargas de partículas de consistencia teórica, en particular la cancelación de anomalías.
  17. ↑ JLChkareuli, SU(N) SUSY GUTS WITH STRING REMNANTS: MINIMAL SU(5) AND BEYOND, Charla invitada dada en la 29.ª Conferencia Internacional sobre Física de Alta Energía (ICHEP 98), Vancouver, 23-29 de julio de 1998. En *Vancouver 1998 , Física de altas energías, vol. 2 1669-73
  18. ↑ Grumiller, Daniel. Interacciones fundamentales: un volumen conmemorativo de Wolfgang Kummer  (inglés) . - World Scientific , 2010. - Pág. 351. - ISBN 978-981-4277-83-9 . Archivado el 1 de agosto de 2020 en Wayback Machine .
  19. ↑ Pran, Nath; T., Vaughn Michael; Jorge, Alverson. Pascos 2004: Parte I: Partículas, Cuerdas y Cosmología; Parte II: Temas en unificación - Pran Nath Festschrift - Actas del Décimo  Simposio Internacional . - World Scientific , 2005. - ISBN 978-981-4479-96-7 . Archivado el 2 de agosto de 2020 en Wayback Machine .
  20. ↑ Pran Nath y Pavel Fileviez Perez, "Estabilidad de protones en grandes teorías unificadas, en cuerdas y en branas", Apéndice H; 23 de abril de 2007. arXiv: hep-ph/0601023 https://arxiv.org/abs/hep-ph/0601023 Archivado el 3 de mayo de 2020 en Wayback Machine .

Enlaces

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