Ruptura espontánea de simetría

La ruptura espontánea de simetría es un método para romper la simetría de un sistema físico , en el que el estado inicial y las ecuaciones de movimiento del sistema son invariantes con respecto a algunas transformaciones de simetría, pero en el proceso de evolución el sistema pasa a un estado para que se viola la invariancia con respecto a algunas (incluidas todas) las transformaciones de la simetría inicial. La ruptura espontánea de la simetría siempre está asociada con la degeneración del estado de mínima energía llamado vacío . El conjunto de todos los vacíos tiene una simetría inicial, pero cada vacío por separado no la tiene. Por ejemplo, una bola en un canal con dos pozos rueda desde un estado simétrico inestable a un estado estable con un mínimo de energía hacia la izquierda o hacia la derecha, destruyendo la simetría con respecto al cambio de izquierda a derecha (operación de inversión).

La ruptura espontánea de la simetría ocurre (pseudo) al azar y es impulsada por fluctuaciones . Este fenómeno es extremadamente común en la naturaleza. Se pueden dar muchos ejemplos diferentes de ruptura de simetría espontánea en la mecánica clásica . Sin embargo, si en mecánica la ruptura espontánea de la simetría tiene un significado más bien descriptivo, en la teoría cuántica de campos es el principio fundamental que asegura la generación de masas de bosones de calibre . Además, en la teoría cuántica de campos, al construir lagrangianos efectivos , algunos mesones pueden identificarse con los correspondientes bosones de Goldstone ( pseudo-bosones de Goldstone ). A continuación, como ejemplo, el mesón π se considera como un bosón de Goldstone que viola cierta simetría de la cromodinámica cuántica con quarks sin masa . Una sustancia en una determinada fase termodinámica también puede considerarse como un campo cuántico con la simetría correspondiente. Luego, la ruptura espontánea de la simetría se representa como una transición de fase .

La existencia de cuatro interacciones fundamentales en la naturaleza también puede ser consecuencia de la ruptura de la simetría. Hipotéticamente, a energías suficientemente altas (~100 GeV ), las fuerzas electromagnética y nuclear débil se combinan en una interacción electrodébil , e incluso a energías más altas (~10 14 GeV), las interacciones electrodébil y nuclear fuerte se combinan en una interacción electronuclear , descrita por la Gran Teoría Unificada .

El mecanismo de ruptura espontánea de la simetría es vital para la posibilidad de la existencia de la supersimetría . La supersimetría ininterrumpida predice la existencia de un supercompañero con la misma masa para cada partícula conocida, lo que no se observa en los experimentos. Se cree que debido a la violación de la supersimetría, los supercompañeros de partículas adquieren grandes masas que son inalcanzables para los aceleradores modernos

Las aspiradoras pueden tener una estructura bastante interesante. La teoría cuántica de campos permite la existencia de configuraciones de vacío de campo con vacíos que se rompen espontáneamente y que cambian de un punto a otro. Tales estados son, por ejemplo, monopolos magnéticos , cuerdas cósmicas , paredes de dominio . Estados de este tipo se observan en la física de la materia condensada, por ejemplo, paredes entre dominios ferromagnéticos. Para configuraciones potenciales complejas con muchos mínimos, hay varios vacíos. Sin embargo, el vacío real es solo el estado con la energía más baja. Todos los demás vacíos son metaestables y pasan al actual mediante un túnel cuántico .

La ruptura espontánea de la simetría también puede desempeñar un papel importante en la gravedad. Se cree que la inflación cosmológica es causada por la transición de un vacío falso a uno verdadero durante la violación espontánea de la simetría de la Gran Unificación . Además, la ruptura espontánea de la supersimetría ( mecanismo de super-Higgs ) se supone en las teorías de la gravedad masiva . Además, se están desarrollando modelos del campo gravitacional del tensor métrico como un campo de Higgs-Goldstone de cierta simetría rota .

Así, la ruptura espontánea de la simetría es un fenómeno extremadamente común en todas las áreas de la física, desde la mecánica clásica hasta la gravedad cuántica .

Ejemplos simples de ruptura de simetría espontánea

En mecánica clásica

Las ecuaciones que describen el movimiento de los átomos de cualquier cuerpo físico no simétrico, por ejemplo, una silla, son invariantes con respecto a las rotaciones tridimensionales, sin embargo, la solución de estas ecuaciones -una silla real- tiene una cierta orientación en el espacio [ 3] .

Una bola ubicada en el medio entre los hoyos de un canal de dos hoyos, tarde o temprano, bajo la influencia de perturbaciones, rodará hacia uno de ellos, rompiendo la simetría con respecto al reemplazo . Un potencial de este tipo se realiza, por ejemplo, en el problema de una cuenta en un anillo que gira alrededor de un eje vertical (ver figura). La función de Lagrange de este problema tiene la forma ${\ estilo de visualización x \ flecha derecha -x}$

L=T-V_{eff}={\frac {1}{2}}mR^{2}{\dot {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}} mW^{2}R^{2}\sen ^{2}\phi -mgR(1-\cos \phi )

donde R es el radio del anillo, m es la masa de la cuenta, g es la aceleración gravitacional y W es la velocidad angular de rotación. El potencial tiene mínimos en puntos que difieren del centro de simetría a una velocidad de rotación de . El punto central se convierte en un punto de equilibrio inestable, y sólo las fluctuaciones en los parámetros iniciales establecen una nueva posición de equilibrio [1] . $W^{2}>g/R$

Un lápiz colocado en el extremo de la mesa no tiene ninguna dirección preferida en el plano de la mesa, sin embargo, bajo la influencia de las perturbaciones, caerá, eligiendo alguna dirección pseudoaleatoria (dependiendo de las fluctuaciones) [4] .

Una barra de metal redonda, sujeta entre las placas de la prensa , se doblará bajo una carga suficiente, y la dirección de la curvatura es arbitraria y depende de las fluctuaciones. La simetría axial inicial de la barra se rompe espontáneamente [5] .

Cuando el elástico se estira, su longitud aumenta y el grosor disminuye. A cierto valor de la fuerza de tracción, la banda elástica se romperá en un lugar determinado, aunque para una banda elástica ideal todos los puntos de ruptura son igualmente probables. El motivo de la "violación" de la simetría son las fluctuaciones en el grosor de la encía: se rompe donde el material de la encía es más débil. Una banda elástica ideal se estiraría en una cadena de átomos de N y se rompería (en un lugar no especificado) cuando la energía de la fuerza de tracción se igualara a la energía de unión total de los átomos . $E=N\varepsilon$

En física de la materia condensada

Durante la cristalización de un líquido, que se caracteriza por la máxima simetría isotrópica , se forma un cristal en el que se distinguen algunas direcciones relativas a los ejes cristalográficos. La orientación de los ejes cristalográficos es generalmente aleatoria o debido a factores externos débiles o fluctuaciones. En este caso, la simetría con respecto a las traslaciones a un vector arbitrario también se reduce a la simetría traslacional a un vector, que es una combinación lineal de los vectores de la red cristalina .

El líquido, cuando se enfría por debajo de la temperatura de cristalización, se convierte en un cristal. Sin embargo, un líquido puro puede enfriarse por debajo de la temperatura de cristalización. Esta situación se logra debido a la ausencia de centros de cristalización: no hay núcleos en los que se puedan formar cristales y aparece una fase metaestable de un líquido sobreenfriado . Desde el punto de vista de la simetría , la simetría isotrópica y traslacional del líquido debería disminuir a la simetría de la red cristalina , pero no hay fluctuaciones (centros de cristalización) en el líquido que violen esta simetría.

Una situación similar surge en un vapor sobresaturado o líquido sobrecalentado . Dichos estados metaestables se utilizan, por ejemplo, en cámaras de burbujas y cámaras de niebla .

Los ferroimanes , calentados por encima de la temperatura de Curie , se encuentran en un estado paramagnético en el que no existe una dirección preferida de magnetización ; sin embargo, cuando se enfría por debajo de la temperatura de Curie, se produce una transición de fase en el ferromagnético y se produce una magnetización espontánea , cuya dirección en ausencia de un campo magnético externo es aleatoria y depende de las fluctuaciones [6] . La ruptura espontánea de la simetría ocurre en casi todas las transiciones de fase (ver más abajo).

En mecánica cuántica

Experimento de doble rendija

Cuando una partícula cuántica pasa a través de una pantalla con dos rendijas estrechamente espaciadas [7] , detrás de cada una de las cuales se coloca un detector, solo se dispara uno de los detectores. La simetría se rompe accidentalmente. Este ejemplo difiere significativamente de los ejemplos mencionados anteriormente en que, con base en conceptos modernos (ver el teorema de Bell [8] ), la presencia de fluctuaciones para la ruptura espontánea de la simetría no es una condición necesaria, y la naturaleza implementa el paso de una partícula a través de uno de las posibles rendijas de forma totalmente aleatoria. .

Medidas en mecánica cuántica

Es posible generalizar directamente el ejemplo anterior a una medida de estado arbitraria en mecánica cuántica . En la teoría cuántica, según el postulado de la medida , la medida consiste en la reducción (transición instantánea) de un estado cuántico a uno de los posibles estados propios del operador de la cantidad física medida . En este caso, el estado inicial pasa aleatoriamente (con probabilidad ) a un estado con simetría inicial rota. $|\psi\ángulo$ $|a_{n}\rangle$ $\ancho de sombrero {A}$ ${A}$ ${\displaystyle |\langle \psi |a_{n}\rangle |^{2))$

Decoherencia

Otro ejemplo de ruptura de simetría espontánea en la mecánica cuántica, pero ya asociado a la presencia de fluctuaciones, es la decoherencia . Debido a la presencia de fluctuaciones externas , el estado puro del sistema se transforma en uno mixto con violación de las simetrías iniciales. Matemáticamente, esto corresponde al hecho de que la decoherencia hace que los elementos fuera de la diagonal de la matriz de densidad desaparezcan [8] .

Como ejemplo, considere un átomo en un estado excitado . Un átomo emite espontáneamente un fotón y pasa a un nivel de energía más bajo. Si un átomo está en un estado s con simetría esférica , entonces emite un fotón en una dirección arbitraria y él mismo pasa a un estado l no isotrópico con simetría rota espontáneamente con respecto a las rotaciones. La causa de la ruptura de la simetría es la presencia de partículas circundantes, así como fluctuaciones aleatorias en el vacío físico .

Para ilustrar la decoherencia, podemos considerar un conjunto de estados cuánticos idénticos. Los sistemas debido a la presencia de fluctuaciones externas después de algún tiempo estarán en diferentes estados [8] .

Es la destrucción de los elementos fuera de la diagonal la responsable de la ruptura espontánea de la simetría en el primer ejemplo de esta sección para el sillón [3] .

Ruptura espontánea de la simetría de gauge

Ruptura de simetría de calibre global

En la teoría de campos, se suele considerar la dinámica del campo en la vecindad del estado de vacío (energía potencial mínima), considerando que los campos en sí mismos son pequeños [9] . En la práctica, esto conduce a la expansión de la función de Lagrange del campo correspondiente en una serie de Taylor en la vecindad del mínimo de energía potencial, seguida de la desatención de los términos de potencias superiores. En este caso, la elección del vacío puede ser ambigua (consulte la figura "Modelo sigma lineal": los posibles estados de vacío se muestran en gris).

Por ejemplo, considere el Lagrangiano del campo complejo (cargado) de Klein-Gordon donde son campos reales: ${\displaystyle\varphi =\varphi^{1}+i\varphi^{2},}$ ${\ estilo de visualización \ varphi ^ {1}, \; \ varphi ^ {2}}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }\varphi ^{*}\parcial_{\mu }\varphi -V(\varphi ^{ *}\varphi )={\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }\varphi ^{1}\parcial _{\mu }\varphi ^{1}+{\frac {1}{ 2}}\parcial ^{\mu }\varphi ^{2}\parcial _{\mu }\varphi ^{2}-V\left((\varphi ^{1})^{2}+(\varphi ^{2})^{2}\derecho)

dónde está el potencial de interacción; los índices indicados por letras griegas varían en todas partes de 0 a 3. Este Lagrangiano es invariante bajo transformaciones de calibre global [10] $V$

\varphi \rightarrow e^{i\alpha }\varphi ,\quad \left|\left|{\begin{array}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end {array}}\right|\right|\rightarrow \left|\left|{\begin{array}{cc}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end {matriz}}\right|\right|\left|\left|{\begin{matriz}{c}\varphi ^{1}\\\varphi ^{2}\end{matriz}}\right|\right |

donde es una constante real. Para un modelo dado, el vacío no es invariante bajo tales transformaciones de calibre si la función tiene un mínimo en un punto distinto de cero. Si tiene un mínimo en cero, entonces el punto de vacío corresponde únicamente al vapor . Una situación completamente diferente surge cuando . El mínimo del potencial no corresponde a un punto, sino a un continuo de puntos $\alfa$ $V(x)$ $V(x)$ ${\ estilo de visualización \ varphi ^ {1} = 0, \; \ varphi ^ {2} = 0}$ $x_{min}=a^{2}\neq 0$

{\ estilo de visualización (\ varphi ^ {1}) ^ {2} + (\ varphi ^ {2}) ^ {2} = un ^ {2}}

Mediante la rotación correspondiente del sistema de coordenadas del espacio de los grados de libertad de carga del campo de Klein-Gordon, el vacío siempre se puede reducir a la forma

{\displaystyle \varphi _{0}=\izquierda|\izquierda|0,a\derecha|\derecha|^{T))

Es fácil ver que aunque el Lagrangiano (en particular, el aproximado) es invariante bajo transformaciones de norma, el vacío no lo es. El sistema entra en un estado elegido al azar (en realidad, dependiendo de las fluctuaciones). Esta es la ruptura espontánea de la simetría de calibre global.

Ejemplo 1. Violación de simetría con respecto a la inversión de signo de un campo real de Klein-Gordon

Considere un ejemplo simple de ruptura de simetría espontánea para un campo real de Klein-Gordon, que está dado por el Lagrangiano

{\mathcal {L}}=\parcial ^{\mu }\varphi \parcial _{\mu }\varphi -\left(\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac { 1}{2}}\lambda\varphi ^{4}\right)

donde , . Este Lagrangiano es invariante bajo el cambio [11] . El campo en este caso tiene dos vacíos, lo que corresponde a la presencia de dos mínimos en la energía potencial en ; sin embargo, ninguno de los vacíos es invariante bajo la simetría inicial de la inversión del signo del campo. Esta es la ruptura espontánea de la simetría [12] : aquí la inversión no es una transformación de calibre. Debido a la simetría del Lagrangiano con respecto a la inversión del signo del campo (paridad), se puede elegir cualquier signo del vacío. Sin pérdida de generalidad, se puede elegir " ". Expandiendo el campo en la vecindad del estado de vacío y asumiendo que es pequeño, el Lagrangiano se puede escribir [13] como ${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$ ${\ estilo de visualización \ mu ^ {2} <0}$ ${\ estilo de visualización \ varphi \ flecha derecha - \ varphi}$ $\varphi _{0}=a=\pm {\sqrt {-\mu ^{2}/\lambda ))$ $+$ ${\ estilo de visualización \ varphi = a + \ phi (x)}$ $\fi(x)$

{\mathcal {L))'=\parcial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -2\lambda a^{2}\phi ^{2}+{\mathcal { O))(\phi ^{3})=\parcial ^{\mu }\phi \parcial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2}+{\mathcal {O)) (\fi^{3})

donde _ Hay un detalle más importante para resaltar en este ejemplo. El Lagrangiano describe un campo sin masa con un potencial de interacción . El campo no tiene masa, ya que el signo coincide con el signo de la energía cinética, y por tanto no puede ser responsable de la masa. Sin embargo, el Lagrangiano ya describe el campo libre de Klein-Gordon con masa . Por lo tanto, la ruptura espontánea de la simetría puede generar un campo de masas. Además, este fenómeno se estudiará con más detalle. ${\displaystyle m={\sqrt {2\lambda a^{2))}={\sqrt {-2\mu ^{2))))$ $\mathcal{L}$ $\varphi$ $V=\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{2}}\lambda \varphi ^{4}$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización \ mu ^ {2} <0}$ ${\mathcal {L}}'$ ${\ Displaystyle m = {\ sqrt {-2 \ mu ^ {2}}}}$

Las transformaciones de norma forman un grupo de Lie , y además compacto . Considere el Lagrangiano

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }\varphi_{i}\parcial_{\mu}\varphi ^{i}-V( \varphi _{i})

donde son N campos escalares reales. Supongamos que el Lagrangiano es invariante bajo transformaciones de grupos de calibre : $\varphi _{i}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {i} ^ {j}}$ $GRAMO$

{\ estilo de visualización \ varphi _ {i} = \ omega _ {i} ^ {j} \ varphi _ {j}}

. El caso de un vacío invariante

Si el potencial tiene un mínimo en el punto , entonces se puede demostrar que el vacío es invariante bajo todas las transformaciones de calibre, a saber: la acción de cualquier matriz sobre el vector cero lo transforma en el vector cero. En este caso, el potencial se puede expandir en una serie de Taylor en la vecindad de cero. Suponiendo que , y teniendo en cuenta que las primeras derivadas en el punto extremo son iguales a cero, y la matriz de las segundas derivadas en el punto mínimo es definida positiva , obtenemos $V$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {i} = 0}$ ${\ estilo de visualización V (0) = 0}$ $(m^{2})^{ij}={\frac {\parcial ^{2}V}{\parcial \varphi _{i}\parcial \varphi _{j))}(0)$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }\varphi_{i}\parcial_{\mu}\varphi ^{i}-{\ fracción {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3})

Con una transformación ortogonal adecuada, la matriz de masa se puede reducir a una forma diagonal. El Lagrangiano así obtenido describe campos escalares reales con masas que están determinadas por los valores propios de la matriz . ${\displaystyle \varphi _{i}'=O_{i}^{j}\varphi _{j))$ $m^{2}$ $norte$ $m^{2}$

El caso de un vacío no invariante

Surge una situación completamente diferente cuando el potencial tiene un mínimo que no es cero. En este caso, siempre hay arbitrariedad en la elección del estado de vacío. El vacío será invariable solo con respecto a cierto subgrupo del grupo de calibre (el grupo se llama el grupo pequeño). Hay una violación de la simetría local del grupo de indicadores . Consideremos un ejemplo de ruptura de simetría global, que viene dada por el grupo calibre de rotaciones tridimensionales SO(3) , en un modelo sigma lineal. $V$ $H$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización H \ subconjunto G}$ $GRAMO$

Ejemplo 2. Romper la simetría de calibre global SO(3)

Considere el Lagrangiano

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }\varphi_{i}\parcial_{\mu}\varphi ^{i}-{\ fracción {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}

donde hay tres campos escalares reales . Este lagrangiano se llama modelo sigma lineal, que es invariante bajo transformaciones de grupo (matrices ortogonales con determinante unitario). Los elementos del grupo actúan sobre el vector como matrices de rotación 3D. El vacío de este campo es degenerado y se encuentra en un punto de la esfera. $\varphi _{i}$ $SO(3)$ ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}\mid \mid ^{T))$

\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}+\varphi _{3}^{2}=a^{2}

Mediante transformaciones apropiadas del sistema de coordenadas, siempre se puede representar el vacío en la forma

{\displaystyle \varphi _{0}=\mid \mid 0,\;0,\;a\mid \mid ^{T))

Es obvio que el vacío no es invariante con respecto a , pero sí lo es con respecto al grupo de rotaciones alrededor del eje . Expandamos el campo en la vecindad del vacío , considerándolo una cantidad pequeña. En este caso, el lagrangiano se representa de la forma $SO(3)$ ${\ estilo de visualización SO (2) \ subconjunto SO (3)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ varphi = \ varphi _ {0} + \ phi (x)}$ $\fi(x)$

{\mathcal {L}}'={\frac {1}{2}}(\parcial ^{\mu }\phi _{1})^{2}+{\frac {1}{2 }}(\parcial ^{\mu }\phi _{2})^{2}+{\frac {1}{2}}(\parcial ^{\mu }\phi _{3})^{2 }-2\lambda a^{2}\phi _{3}^{2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})

que corresponde a dos campos escalares sin masa y un campo con masa . Como podemos ver, la violación de la simetría de calibre global puede generar una masa de campo. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {3}}$ $m=2{\sqrt {\lambda}}a$

En general, se puede demostrar que se cumple el siguiente teorema:

Teorema de Goldstone [14] [15] . Cuando la simetría de calibre global se rompe espontáneamente, surgen campos escalares sin masa y campos escalares masivos . Aquí está la dimensión de la representación seleccionada (de hecho, este es el número inicial de campos escalares reales). ${\ estilo de visualización \ dim G-\ dim H}$ $\phi_i$ $N-(\dim G-\dim H)$ ${\tilde {\fi}}_{i}$ $norte$ $GRAMO$

En este caso, los campos sin masa que surgen durante la violación espontánea de la simetría de calibre global se denominan bosones de Goldstone . Hacemos hincapié una vez más en que su número es igual al número de simetrías rotas.

Ejemplo 3. Romper la simetría de calibre global SO(N)

Considere, como en el ejemplo anterior, el Lagrangiano de la forma

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }\varphi_{i}\parcial_{\mu}\varphi ^{i}-{\ fracción {1}{2}}\lambda \left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2},

donde ya existen campos escalares reales . Este modelo es invariante bajo transformaciones de grupo . $norte$ $\varphi _{i}$ ${\ estilo de visualización SO (N)}$

Si se rompe la simetría, el vacío será invariante con respecto al grupo . La dimensión del grupo es . Por lo tanto, el número de bosones de Goldstone que se producen tras la ruptura espontánea de la simetría local es . Luego, la ruptura espontánea de la simetría global da lugar a los bosones de Goldstone y un bosón masivo. $SO(N-1)\subconjunto SO(N)$ ${\ estilo de visualización SO (N)}$ ${\ estilo de visualización \ dim SO (N) = N (N-1)/2}$ $\dim SO(N)-\dim SO(N-1)=N-1$ ${\ estilo de visualización SO (N)}$ $N-1$

En el caso del teorema de Goldstone, obtenemos dos bosones de Goldstone y un campo masivo, lo cual se verificó directamente en el ejemplo anterior. $N=3$

Demostración del teorema de Goldstone

Para la representación fundamental de un grupo , denotamos a los generadores del pequeño grupo como , y para cualquier otra representación , como . Entonces se sigue de la condición de invariancia del vacío que . Expandiendo el exponente en una serie de Taylor, obtenemos que la acción de los generadores del grupo pequeño (ininterrumpido) sobre el vacío destruye el vacío: $GRAMO$ ${\ Displaystyle t_ {H, un}}$ ${\ Displaystyle T_ {H, un}}$ ${\displaystyle \exp {(-ie\alpha ^{a}T_{H,a})}\varphi _{0}=\varphi _{0))$

T_{H,a}\varphi_{0}=0

Esta condición es un criterio importante para la simetría ininterrumpida.

Los generadores restantes del grupo se denotarán como (o ). Su acción sobre el vacío no da como resultado cero, de lo contrario las transformaciones generadas por ellos dejarían el vacío invariante y pertenecerían a un pequeño grupo. Introduzcamos los vectores . Su número es igual . Son linealmente independientes y forman una base en el subespacio de los bosones de Goldstone (simetrías rotas). $GRAMO$ ${\displaystyle t_{G/H,a))$ $T_{G/H,a}$ ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0))$ ${\ estilo de visualización \ dim G-\ dim H}$

En todo el espacio, es conveniente introducir una base ortonormal , donde los vectores son los ortos del subespacio de Goldstone, compuestos por combinaciones lineales de los vectores , y los vectores forman la base del subespacio que complementa el subespacio de Goldstone al original . espacio. Entonces los campos escalares se pueden expandir de tal manera $\{e_{k},{\widetilde {e}}_{k}\}$ $e_{k}$ $E_k$ $N-(\dim G-\dim H)$ ${\widetilde {e}}_{k}$

\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\ widetilde {e}}^{k})_{i}

y el Lagrangiano en la aproximación cuadrática toma la forma

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }\phi _{i}\parcial _{\mu }\phi ^{i}+{\ frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\parcial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}{\frac {\parcial ^{2}V(\varphi _{0})}{\parcial \varphi _{i}\parcial \varphi _{j}}}(\phi _ {k}e^{k}+{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{i}(\phi _{k}e^{k}+ {\ widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {e}}^{k})_{j}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3})

lo que no muestra el cumplimiento explícito del teorema de Goldstone. Sin embargo, de la condición de la invariancia de calibre del mínimo del potencial (no confundir con el vacío, estamos hablando de la invariancia del valor del potencial y sus derivados)

{\frac {\V parcial}{\parcial \varphi _{j))}(\exp {(-ie\alpha ^{a}T_{a})}\varphi _{0})=0 \Rightarrow _{\alpha \rightarrow 0}-ie\alpha ^{a}(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\parcial ^{2}V(\varphi_{ 0})}{\parcial \varphi _{i}\varphi _{j}}}=0

Para simetrías enteras la igualdad es verdadera , pero para simetrías rotas la relación es verdadera , y considerando que de las combinaciones lineales obtenemos la base , se sigue , por tanto, representamos el Lagrangiano en la forma $T_{H,a}\varphi_{0}=0$ $-iT_{G/H,a}\varphi _{0}=E_{a}\neq 0$ $E_{un}$ $e_{a}$ $e_{i}^{a}{\frac {\parcial ^{2}V(\varphi _{0})}{\parcial \varphi _{i}\parcial \varphi _{j))} =0.$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }\phi _{i}\parcial _{\mu }\phi ^{i}+{\ frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i}}}\parcial _{\mu }{\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi }}_{l}+{\mathcal {O}} (\fi^{3})

donde estan las masas . Esta conclusión prueba el teorema de Goldstone. De hecho, esta es una consideración de ruptura de simetría espontánea en el caso general, que, sin embargo, puede llevarse a cabo fácilmente en el caso de una simetría específica, como en los ejemplos anteriores. ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{ \frac {\parcial ^{2}V(\varphi _{0})}{\parcial \varphi _{i}\varphi _{j))))$

Violación de la simetría de calibre local

El teorema de Goldstone [14] [15] considerado anteriormente establece que cuando se viola la simetría de calibre , surgen bosones sin masa y sin espín. Debido a la ausencia de tales partículas en la naturaleza, el teorema de Goldstone se ha visto como un contraargumento contra las simetrías rotas. Sin embargo, resultó que si se viola la simetría de calibre local en lugar de la global, entonces no hay bosones de Goldstone sin masa y, en cambio, los campos vectoriales de calibre adquieren masa [16] [17] . La ruptura espontánea de la simetría de calibre local es un fenómeno importante en la teoría de campos, ya que conduce a la adquisición de masas por campos de calibre (recuerde que los términos de masa para el campo de calibre en sí mismos no son invariantes de calibre, por lo que están ausentes en el Lagrangiano de un campo con simetría ininterrumpida). Tal mecanismo se llama el mecanismo de generación de masa de Higgs .

Las transformaciones locales difieren de las transformaciones globales por la presencia de una dependencia de coordenadas . Esta dependencia conduce a la aparición de campos de calibre en el Lagrangiano (en el caso de un campo cargado de Klein-Gordon , un campo electromagnético con el grupo de simetría , y cuando se considera un vector de tres componentes de campos escalares con un grupo de simetría , un campo de calibre campo que se puede identificar con el campo de gluones de color de la interacción nuclear fuerte , etc.). ${\ estilo de visualización \ alfa = \ alfa (x)}$ $tu(1)$ $SU(3)$

Considere el Lagrangiano

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-V(\varphi _{i})-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }

donde es un conjunto de campos escalares, es el tensor del campo de norma correspondiente y es la derivada covariante de . El potencial vectorial es en general una matriz que actúa sobre una columna vectorial . El índice va de 1 a y enumera los componentes de la expansión del potencial sobre los generadores del grupo de simetría. Este Lagrangiano es invariante bajo las transformaciones de calibre locales que forman el grupo . Los campos bajo transformaciones de indicador se transforman de la siguiente manera: $\varphi _{i}$ $norte$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\parcial _ {\mu }A_{\nu }^{a}-\parcial_{\nu }A_{\mu }^{a}+\ izquierda[A_{\mu },A_{\nu }\right]^{a))$ ${\mathcal {D}}_{\mu }\varphi_{i}=\parcial_{\mu}\varphi_{i}+(A_{\mu })_{i}^{j }\varphi_{j}$ ${\displaystyle \varphi =\mid \mid \varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{N}\mid \mid ^{T))$ $a$ ${\ estilo de visualización \ dim G}$ $\omega _{j}^{i}=\omega _{j}^{i}(x),$ $GRAMO$

{\displaystyle \varphi _{i}\rightarrow \omega _{i}^{j}\varphi _{j},\qquad A_{\mu}\rightarrow \omega A_{\mu}\omega ^{-1 }+\omega \parcial _ {\mu }\omega ^{-1))

. El caso de un vacío invariante

Si el mínimo se realiza en , entonces, en este caso, el Lagrangiano se puede expandir en una serie de Taylor en la vecindad del vacío y el Lagrangiano se puede obtener en la aproximación cuadrática. $V$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {i} = 0}$

{\textstyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }\varphi_{i}\parcial_{\mu}\varphi ^{i}-{\ fracción {1}{2}}(m^{2})^{ij}\varphi _{i}\varphi _{j}-{\frac {1}{4}}(\parcial_{\mu} A_{\nu }^{a}-\parcial _{\nu }A_{\mu }^{a})^{2}+{\mathcal {O))(\varphi ^{3},\varphi ^ {2}A,\varphi A^{2},A^{3}),}

que describe campos escalares masivos y campos vectoriales de calibre sin masa . Calculemos el número de grados de libertad de campo del conjunto de estos campos. Dado que un campo escalar tiene un grado de libertad y un campo vectorial sin masa tiene dos, el número total de grados de libertad es . $norte$ ${\ estilo de visualización \ dim G}$ $A_{\ mu}^{a}$ $N+2\dim G$

El caso de un vacío no invariante

La principal diferencia entre una simetría de calibre local y una global es que la constante de calibre depende de las coordenadas . Esta dependencia coordinada hace posible, con la ayuda de una elección apropiada, hacer desaparecer los campos de todos los bosones de Goldstone sin masa en todo el espacio. Tal calibre se llama unitario (se puede demostrar que en el caso de grupos compactos de calibre siempre existe [18] ). Sin embargo, este calibre hace que aparezcan en el Lagrangiano términos de masa del tipo , que, sin embargo, son invariantes de calibre. Bajo un calibre unitario, los términos de masa surgen exactamente para los campos de calibre. Dado que el calibre unitario aniquila los bosones de Goldstone y da lugar a bosones de calibre masivos, a menudo se dice que los campos vectoriales "devoran" los bosones de Goldstone y adquieren masas. La condición de calibre unitario se escribe en términos de los "elementos de la matriz" de los generadores de simetría rota en la forma $\alfa$ $x^{\mu}$ $\alfa(x)$ $\varphi _{i}$ ${\ estilo de visualización \ dim G-\ dim H}$ ${\displaystyle a^{2}A^{\mu }A_{\mu ))$ ${\ estilo de visualización \ dim G-\ dim H}$

\varphi _{0}T_{G/H,a}\varphi =0

Esta fórmula significa que el campo es ortogonal a todos los vectores en el espacio de simetrías rotas. La ruptura espontánea de la simetría también produce campos escalares masivos llamados bosones de Higgs. El número de campos resultantes de la ruptura espontánea de la simetría de calibre local está determinado por el teorema de Higgs. $\varphi$ ${\displaystyle E_{k}=-iT_{G/H,k}\varphi _{0))$ $N-(\dim G-\dim H)$

Teorema de Higgs [16] . Con la ruptura espontánea de la simetría de calibre local, hay campos escalares masivos (bosones de Higgs), campos vectoriales sin masa y campos vectoriales masivos (el número de bosones de calibre masivos es igual al número de simetrías rotas). $N-(\dim G-\dim H)$ $\dim G-(\dim G-\dim H)=\dim H$ ${\ estilo de visualización \ dim G-\ dim H}$

Ahora busquemos el número de variables de campo en este sistema. Teniendo en cuenta que el campo masivo tiene tres grados de libertad, el número total de grados de libertad del campo es , lo que coincide con el resultado para el vacío invariante. $N-(\dim G-\dim H)+2\dim H+3(\dim G-\dim H)=N+2\dim G$

Ejemplo 4. Violación de la simetría de calibre local SO (3)

Considere el Lagrangiano

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi _{i}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi ^{i}-{\frac {\lambda }{2}}\left(\varphi _{i}\varphi ^{i}-a^{2}\right)^{2}-{\ fracción {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }

donde el índice va de 1 a 3. Elegimos el estado de vacío en la forma . De manera similar a los ejemplos anteriores, expandimos las funciones de campo en la vecindad del vacío . En la aproximación del campo cuadrático, el Lagrangiano se reescribe en la forma $i$ ${\displaystyle \varphi _{0}=\mid \mid 0;0;a\mid \mid ^{T))$ ${\ estilo de visualización \ varphi = \ varphi _ {0} + \ phi}$

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\parcial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2}( \phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\parcial_{\mu}A_{\nu}^{a}-\parcial_{\nu}A_ {\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\parcial _{\mu }\phi _{1}-eaA_{\mu }^{ 2}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left(\parcial_{\mu}\phi_{2}+eaA_{\mu}^{1}\right)^ {2}+{\mathcal {O}}(\phi ^{3},\phi ^{2}A,\phi A^{2},A^{3})

El lagrangiano resultante es diagonalizable usando el cambio de variables

{\displaystyle B_{\mu }^{1}=A_{\mu }^{1}+{\frac {1}{ea))\parcial_{\mu}\phi_{2},\qquad B_ {\mu }^{2}=A_{\mu }^{2}-{\frac {1}{ea))\parcial _ {\mu }\phi_{1))

Entonces el Lagrangiano diagonalizado tiene la forma

{\mathcal {L}}\approx {\frac {1}{2}}(\parcial ^{\mu }\phi _{3})^{2}-2\lambda a^{2} (\phi _{3})^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\parcial_{\mu}A_{\nu}^{3}-\parcial_{\nu} A_{\mu }^{3}\right)^{2}-{\frac {1}{4))\left(\parcial _ {\mu }B_{\nu }^{1}-\parcial _ {\ nu }B_{\mu }^{1}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{1} )^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\parcial _ {\mu }B_{\nu }^{2}-\parcial _{\nu }B_{\mu }^{ 2}\right)^{2}+{\frac {e^{2}a^{2}}{2}}(B_{\mu }^{2})^{2}

Como podemos ver, el Lagrangiano obtenido como resultado de la ruptura espontánea de la simetría describe un campo escalar con masa , un campo vectorial sin masa y dos campos vectoriales masivos con masas , lo que está en total acuerdo con las consideraciones generales dadas anteriormente. ${\ estilo de visualización \ phi _ {3}}$ $m_{\phi }=2a{\sqrt {\lambda ))$ ${\ estilo de visualización A^{3}}$ ${\ estilo de visualización B^{2},\;B^{3))$ $m_{B}=ea$

Vale la pena señalar que el calibre unitario deja cierta simetría en el Lagrangiano. El grupo de esta simetría es el grupo pequeño . En el caso de ruptura de simetría (ejemplo anterior), el grupo pequeño es el grupo de rotaciones alrededor del eje . Tenga en cuenta que el grupo es isomorfo al grupo de simetría de calibre del campo electromagnético. $H$ ${\ estilo de visualización SO (3)}$ ${\ estilo de visualización SO (2)}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {3}}$ ${\ estilo de visualización SO (2)}$ $tu(1)$

Prueba del teorema de Higgs

Para demostrar el teorema de Higgs, por analogía con la demostración del teorema de Goldstone, desarrollamos el campo escalar . También descomponemos el campo de calibre con generadores de grupos de calibre : . En la aproximación cuadrática, la expansión para campos escalares tiene la misma forma que en la demostración del teorema de Goldstone, el cuadrado del tensor de campo y la derivada covariante en primera aproximación (ya que una aproximación lineal en desviaciones del vacío es suficiente para obtener una cuadrática lagrangiana en desviación) se escribe como forma $\varphi _{i}=\varphi _{0i}+\phi _{k}(e^{k})_{i}+{\widetilde {\phi }}_{k}({\ widetilde {e}}^{k})_{i}$ $GRAMO$ $A_{\mu }=ie(A_{H,\mu }^{a}t_{H,a}+A_{G/H,\mu }^{a}t_{G/H,a} )$ ${\displaystyle -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F_{a}^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4}}\left (\parcial _ {\ mu }A_{\nu }^{a}-\parcial _ {\nu }A_{\mu }^{a}\right)^{2))$

{\ Displaystyle {\ mathcal {D)) _ {\ mu} \ varphi \ approx \ parcial _ {\ mu} \ varphi + A_ {\ mu} \ varphi _ {0} = \ parcial _ {\ mu} \ varphi +ieA_{G/H,\mu }^{a}T_{G/H,a}\varphi _{0}=e^{k}\parcial _{\mu}\phi _{k}+{\ widetilde {e}}^{k}\parcial _ {\mu }{\widetilde {\phi }}_{k}-eA_{G/H,\mu }^{a}E_{a}}

Sustituyendo estas expresiones en el Lagrangiano resultante da el Lagrangiano en la aproximación cuadrática en los campos

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\parcial _ {\mu }A_{\nu }^{a}-\parcial _ {\nu }A_ {\mu}^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}(\parcial_{\mu}\phi_{k}-eA_{G/H,\mu} ^{a}K_{ak})^{2}+{\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }{\widetilde {\phi_{i))}\parcial_{\mu } {\widetilde {\phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde { \phi }}_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})

donde _ La matriz es no degenerada, ya que en realidad es una matriz de transición entre bases . Se pueden introducir márgenes (correspondientes a calibre unitario); entonces el lagrangiano final se puede escribir en la forma ${\displaystyle K_{ak}=(E_{a})_{i}(e_{k})^{i))$ ${\ Displaystyle K_ {ak}}$ ${\displaystyle E_{a}=K_{ak}e^{k))$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\parcial _ {\mu }\phi_{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\parcial _ {\mu }\phi_{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\parcial _ {\mu }\phi_{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\parcial _ {\mu }\phi_{k} (K^{-1})^{ka}$ $B_{\mu }^{a}=A_{G/H,\mu }^{a}-{\frac {1}{e))\parcial _ {\mu }\phi_{k} (K^{-1})^{ka}$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}\left(\parcial_{\mu}A_{H,\nu }^{a}-\parcial_{\nu }A_{H,\mu }^{a}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\parcial _{\mu }B_{\nu }^{a}- \parcial _{\nu }B_{\mu }^{a}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}M_{ab}^{2}B_{\mu }^{a }B_{\mu }^{b}+{\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }{\widetilde {\phi _{i))}\parcial_{\mu }{\widetilde {\ phi }}^{i}-{\frac {1}{2}}(m^{2})^{kl}{\widetilde {\phi }}_{k}{\widetilde {\phi } }_{l}+{\mathcal {O}}(\varphi ^{3},\varphi ^{2}A,\varphi A^{2},A^{3})

donde , , lo que prueba el teorema de Higgs. ${\displaystyle (M^{2})_{ab}=e^{2}K_{ai}K_{bi))$ ${\displaystyle (m^{2})^{kl}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{j}{ \frac {\parcial ^{2}V(\varphi _{0})}{\parcial \varphi _{i}\varphi _{j))))$

Violación espontánea de la simetría aproximada

En las secciones anteriores, consideramos la situación cuando el Lagrangiano original tiene cierta simetría de grupo , y esta simetría se rompe espontáneamente. Ahora considere el caso cuando se agregan términos pequeños al Lagrangiano con simetría, lo que destruye la simetría (a veces, la presencia de términos pequeños no simétricos, en contraste con la ruptura espontánea de la simetría, se denomina ruptura suave de la simetría). La violación espontánea de la simetría aproximada da lugar a campos sin espín de pequeña masa, llamados pseudo-bosones de Goldstone [19] . $GRAMO$

Deje que la energía potencial tome la forma , donde el término satisface la condición de invariancia con respecto a las transformaciones de grupo : , es una perturbación que destruye la simetría, es un parámetro pequeño. El término cambia el estado de vacío al punto . Entonces la condición mínima se puede escribir como $V(\varphi)=V_{0}(\varphi)+\lambda V_{1}(\varphi)$ $V_{0}(\varfi)$ $GRAMO$ $(T_{a}\varphi _{0})_{i}{\frac {\parcial V_{0}(\varphi _{0})}{\parcial \varphi _{i))}= 0$ ${\ Displaystyle V_ {1} (\ varphi)}$ $\lambda$ ${\ Displaystyle V_ {1} (\ varphi)}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{0}={\varphi }_{0}+\lambda {\varphi }_{0}^{(1)))$

{\frac {\V parcial}{\parcial \varphi _{i))}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)= 0\Rightarrow {\frac {\parcial V_{0}(\varphi _{0})}{\parcial \varphi _{i))}+\lambda \left[{\frac {\parcial V_{1}( \varphi _{0})}{\parcial \varphi _{i))}+{\frac {\parcial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\parcial \varphi _{ i}\parcial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=\lambda \left[{\frac {\parcial V_{1}(\varphi _{ 0})}{\parcial \varphi _{i}}}+{\frac {\parcial ^{2}V_{0}(\varphi _{0})}{\parcial \varphi _{i}\parcial \varphi _{j}}}\varphi _{0,j}^{(1)}\right]=0.

Si multiplicamos la última ecuación por y tenemos en cuenta que el segundo término da (la condición para que el valor del vacío sea invariante bajo transformaciones de grupos gauge, ver la demostración del teorema de Goldstone), obtenemos ${\ estilo de visualización (T_ {a} \ varphi _ {0}) _ {i})$ ${\ estilo de visualización 0}$

(T_{a}\varphi_{0})_{i}{\frac {\parcial V_{1}(\varphi_{0})}{\parcial \varphi_{i))}= 0.

La ecuación resultante se denomina condición de ajuste de vacío [20] . Si esta condición no se cumple, incluso una pequeña perturbación conduce a cambios tan grandes que los términos de expansión en la vecindad no son correcciones pequeñas. Sin embargo, si es un grupo de Lie compacto, esta condición se cumple [3] . Por analogía con la expansión en una serie de Taylor en el párrafo “Prueba del teorema de Goldstone”, se puede obtener la matriz de masa de los pseudo-bosones de Goldstone ${\overline {\varfi}}_{0}$ ${\overline {\varfi}}_{0}$ ${\varfi}_{0}$ $GRAMO$

(m^{2})^{kl}=({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}{\frac {\parcial^{2 }V}{\parcial \varphi _{i}\parcial \varphi _{j}}}\left(\varphi _{0}+\lambda \varphi _{0}^{(1)}\right)= \lambda ({e}^{k})_{i}({e}^{l})_{j}\left[{\frac {\parcial ^{2}V_{1}(\varphi_{1} 0})}{\parcial \varphi _{i}\parcial \varphi _{j))}+{\frac {\parcial ^{3}V_{0}(\varphi _{0})}{\parcial \varphi _{i}\parcial \varphi _{j}\parcial \varphi _{n}}}\varphi _{0,n}^{(1)}\right]

que es definida positiva [3] [19] .

Ruptura de simetría del campo cuántico

En teoría cuántica, la variable de campo deja de ser sólo una función real o compleja de coordenadas, para convertirse en un operador lineal definido sobre el espacio de estados de campo de Hilbert , que en la representación de Fock, o segunda cuantización , tiene la forma [21] [ 22] $\varfi(x)$ ${\widehat {\Phi }}(x)$

|...,n_{\textbf {k}},...\rangle =C(...,n_{\textbf {k}},...)\prod_{\textbf {k }}b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle ,

donde es la constante de normalización, es el operador de creación, que aumenta en 1 el número de partículas con cierto momento ; por ejemplo, para los bosones , , es un estado de vacío en el que no hay partículas (excitaciones). Las cantidades observadas son los promedios de los operadores de campo sobre los estados del campo , donde hay algún operador que es polinomial en los operadores de campo. $C$ $b_{\textbf {k}}^{+}$ ${\textbf {k))$ $b_{\textbf {k}}^{+}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle ={\sqrt {n_{\textbf {k}}+1} }|...,n_{\textbf {k}}+1,...\rangle$ $|0\rango$ $\langle ...,n_{\textbf {k}},...|{\widehat {A}}|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ $\ancho de sombrero {A}$

Sin embargo, se puede demostrar que el promedio del operador sobre estados se puede reescribir en términos del promedio de vacío del operador , que también tiene una forma polinomial con respecto a los operadores de campo. Es conveniente calcular dichos valores esperados de vacío como derivadas funcionales de la llamada funcional generadora, que se denota como la integral funcional. $\ancho de sombrero {A}$ $|...,n_{\textbf {k}},...\rangle$ $\langle 0|{\widehat {B}}|0\rangle$ ${\sombrero ancho {B}}$

Z=\int [d\varphi][d\psi][...]e^{iS[\varphi,\psi,...]},

donde es la acción clásica para campos [22] . El funcional generador es la amplitud de la transición "vacío-vacío". $S$ ${\ estilo de visualización \ varphi, \ psi,...}$

La mayoría de las veces, el funcional generador y sus derivados se calculan expandiéndose en la vecindad de la acción de campos libres que no interactúan (lagrangianos cuadráticos en los campos). Las correcciones a una teoría sin interacciones se calculan convenientemente utilizando diagramas de Feynman .

Como en la mecánica cuántica con respecto a la mecánica clásica, la naturaleza operadora del campo conduce a efectos cuánticos no triviales. A veces, las correcciones cuánticas son insignificantes, pero en general pueden tener una contribución significativa (potencialmente infinita). Para un campo cuántico, a menudo hay anomalías cuánticas, violaciones fundamentales de algunas simetrías inherentes a la teoría clásica en el sistema cuántico correspondiente. Por lo tanto, la imagen física de ruptura de simetría para el campo clásico presentada en la sección anterior no puede extrapolarse directamente al caso cuántico, y no se puede afirmar a priori que los teoremas de Goldstone o Higgs también se cumplirán en el caso cuántico.

Simetría de calibre global

El teorema de Goldstone en el caso cuántico se puede formular fácilmente usando la acción efectiva (potencial). Este enfoque introduce corrientes clásicas adicionales que interactúan con campos escalares . La funcional generatriz se puede reescribir como ${\ estilo de visualización J_ {i} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {i} (x)}$

Z[J]=\exp {(iW[J])},

donde el valor es la suma de todos los diagramas de vacío conectados , y los diagramas que se forman entre sí permutando vértices no se consideran diferentes. Los valores medios de vacío de los operadores de campo en corrientes clásicas dadas se reescriben en términos de derivadas variacionales de ${\ estilo de visualización W[J]}$ ${\displaystyle \varphi _{J}^{i}(x)=\langle \Phi ^{i}(x)\rangle _{0,J))$ ${\ estilo de visualización J_ {i} (x)}$ ${\ estilo de visualización W[J]}$

\varphi _{J}^{i}(x)={\frac {\delta }{\delta J_{i}(x)))W[J].

Denotamos la corriente para la cual el promedio del campo de vacío es igual al campo predeterminado . La transformación de Legendre conduce a la acción efectiva cuántica [23] ${\ estilo de visualización J_ {i} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {J}^ {i} = \ varphi ^ {i}}$ ${\ estilo de visualización W[J]}$ ${\ estilo de visualización \ gamma [\ varphi]}$

\Gamma [\varphi ]=-\int d^{4}x\varphi ^{i}(x)J_{i,\varphi }(x)+W[J].

La cantidad es la suma de todos los diagramas irreducibles de una sola partícula acoplados en presencia de una corriente . Se puede demostrar que ${\ estilo de visualización \ gamma [\ varphi]}$ ${\ estilo de visualización J_ {i} (x)}$

{\frac {\delta \Gamma [\varphi]}{\delta \varphi ^{i}(x)))=-J_{i}(x).

En ausencia de corrientes externas , y los valores de los valores esperados de vacío se determinan como puntos estacionarios del funcional $J_{i}(x)=0$

{\frac {\delta \Gamma [\varphi]}{\delta \varphi ^{i}(x)))=0.

La acción efectiva tiene en cuenta las correcciones cuánticas de todos los órdenes, al tiempo que proporciona un tratamiento clásico del campo de los valores esperados de vacío de los operadores de campo. Si asumimos que el vacío es invariante bajo las transformaciones del grupo no homogéneo de Lorentz , entonces podemos mostrar que la acción efectiva se escribe como ${\ estilo de visualización \ gamma [\ varphi]}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {i} (x)}$

\Gamma [\varphi ]=-{\mathcal {V}}_{4}V(\varphi ),

donde es el volumen del espacio-tiempo, y es la función habitual, que se denomina potencial efectivo [3] . ${\mathcal {V}}_{4}$ ${\ estilo de visualización V (\ varphi)}$

De acuerdo con las identidades de Slavnov-Taylor [24] [25] , la acción efectiva es invariante bajo transformaciones infinitesimales de campos de vacío (aquí por cualquier campo, no solo uno escalar). Para una amplia clase de las llamadas transformaciones infinitesimales lineales, que incluyen transformaciones de calibre, ${\displaystyle \delta _{\varepsilon}\varphi ^{i}(x)=\varepsilon \langle F^{i}(x)\rangle _{J))$ ${\ estilo de visualización \ varphi ^ {i} (x)}$

F^{i}(x)=s^{i}(x)+A_{j}^{i}\varphi^{j}(x),

donde es una matriz constante, la acción efectiva es invariante bajo las mismas simetrías que la acción clásica original [3] . Por lo tanto, si tal simetría no se rompe en el nivel clásico, entonces no se romperá con las correcciones cuánticas en ningún orden de la teoría de la perturbación . ${\displaystyle A_{j}^{i))$

Usando el potencial efectivo, la demostración del teorema de Goldstone en el caso cuántico se puede realizar usando casi las mismas consideraciones que para los campos clásicos (hasta reemplazar el potencial por el potencial efectivo y los campos clásicos por los valores esperados de vacío de los operadores de campo). En la teoría cuántica de campos, el valor de las masas de los bosones al cuadrado después de la ruptura de la simetría está determinado por los valores propios de la matriz de masas . Y dado que, como se mencionó anteriormente, la simetría de la acción efectiva (potencial) con respecto a las transformaciones de calibre es la misma que la de la acción original, el número de valores propios cero de la matriz de masa cuántica es el mismo que para el clásico, y el teorema de Goldstone también es válido en el caso cuántico. ${\displaystyle (m^{2})_{ij}={\frac {\parcial ^{2}V}{\parcial \varphi ^{i}\parcial \varphi ^{j))))$

Simetría de calibre local

En la teoría cuántica de campos, el teorema de Higgs sigue siendo válido, aunque por las razones dadas al comienzo de la sección, el tratamiento matemático del problema es difícil. Para eliminar los modos de Goldstone "no físicos" al considerar la violación de la simetría de calibre local del campo clásico, se utilizó el calibre unitario. Sin embargo, al aplicar un calibre unitario en la teoría cuántica de campos, resulta que el propagador del campo de calibre tiene un comportamiento asintótico y, por lo tanto, no es posible verificar la renormalizabilidad de la teoría de una manera simple (contando grados). En la teoría cuántica de campos se utiliza el denominado -gauge, que depende de un parámetro real, que es una generalización del calibre unitario [26] [27] [28] . La ventaja de la familia de estos calibres es el comportamiento asintótico del propagador del campo de calibre. ${\mathcal {O}}(1)={\mathcal {O}}(k^{0})$ $\xi$ ${\ Displaystyle R_ {\ xi}}$ ${\mathcal {O}}(k^{-2})$

De una forma u otra, la elección de la calibración impone condiciones adicionales sobre las variables de campo que deben tenerse en cuenta al cuantificar. En la teoría de campos, tales condiciones se tienen en cuenta en el marco del método de Faddeev-Popov [29] . Considere el Lagrangiano

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi {\mathcal {D}}^{\mu }\varphi - V(\varphi)-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}.

Expandiendo los campos escalares en la vecindad del mínimo , podemos reescribirlo como una función y : . En este caso, la norma está fijada por la condición , y la matriz se introdujo en la sección anterior al considerar la demostración del teorema de Higgs en el caso clásico. Todas esas condiciones . Introduzcamos funciones que tendrán en cuenta las calibraciones. En el ancho de vía pasa al ancho de vía Landau . El gálibo unitario se obtiene en el límite . ${\ estilo de visualización \ varphi (x) = \ varphi _ {0} + \ phi (x)}$ $A$ $\fi$ ${\mathcal {L}}(A,\phi )$ $\parcial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi e\phi _{i}(K^{-1})^{ai}=0$ ${\displaystyle K^{ai))$ ${\ estilo de visualización \ dim G-\ dim H}$ $G^{a}={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}(\parcial ^{\mu }A_{\mu }^{a}-\xi g\phi _{i }(K^{-1})^{ai})$ ${\ estilo de visualización \ xi \ flecha derecha 0}$ ${\ Displaystyle R_ {\ xi}}$ $\parcial_{\mu}A_{a}^{\mu}=0$ ${\ estilo de visualización \ xi \ flecha derecha \ infty}$

La teoría se cuantiza usando el funcional generador

Z=C\int ({\mathcal {D}}A)({\mathcal {D}}\phi )\exp \left[i\int d^{4}x({\mathcal {L} }(A,\phi )-{\frac {1}{2}}G^{2})\right]\det \left({\frac {\delta G}{\delta \alpha }}\right) ,

donde están los parámetros de calibre de las simetrías rotas. Como resultado, la cuadrática lagrangiana en campos toma la forma $\alfa$

{\mathcal {L}}\approx -{\frac {1}{2}}A_{\mu }^{a}\left(\delta ^{ab}\left[-\eta ^{\ mu \nu }\parcial ^{2}+(1-{\frac {1}{\xi }}\parcial ^{\mu }\parcial ^{\nu })\right]-\eta ^{\mu \nu }(m_{A}^{2})_{ab}\right)A_{\nu }^{b}+{\frac {1}{2))(\parcial _{\mu }\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{G}^{2})_{ij}\phi _{i}\phi _{j}+{\frac {1}{ 2}}(\parcial _ {\mu }{\widetilde {\phi }})^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{H}^{2})_{ij}{ \widetilde {\phi }}_{i}{\widetilde {\phi }}_{j},

donde las matrices toman la forma , , . ${\displaystyle (m_{A}^{2})_{ab}=g^{2}K_{ai}K_{bi))$ ${\displaystyle (m_{G}^{2})_{ij}=\xi g^{2}K_{ia}K_{ja))$ $(m_{H}^{2})_{ij}=({\widetilde {e}}^{k})_{i}({\widetilde {e}}^{l})_{ j}{\frac {\parcial ^{2}V(\varphi _{0})}{\parcial \varphi _{i}\varphi _{j))}+\xi g^{2}K_{ia }K_{ja}$

El determinante bajo la integral se puede tener en cuenta sumando al Lagrangiano del sistema de Lagrangianos fantasma de Faddeev-Popov : . ${\mathcal {L}}_{gh}={\overline {c}}\left(-\parcial ^{2}-\xi m_{A}^{2}{\frac {\phi ( x)}{\varphi _{0}}}\right)c$

La presencia de las masas de los bosones de Goldstone (que, sin embargo, son proporcionales a ) y la -dependencia de las masas de los bosones de Higgs dependen del calibre, lo que significa que no son físicos. Si no se tienen en cuenta, las matrices de masa resultantes muestran un acuerdo total entre los teoremas cuántico y clásico de Higgs. Sin embargo, los valores de masa en sí mismos pueden cambiar un poco debido a la presencia de correcciones cuánticas. ${\ estilo de visualización \ sim {\ sqrt {\ xi))}$ $\xi$

Pi mesones como pseudogoldstones

Como ejemplo de ruptura de simetría en la teoría cuántica de campos, considere romper la simetría quiral de la cromodinámica cuántica con quarks sin masa . El Lagrangiano fermiónico de los quarks sin masa tiene la forma $SU(2)\times SU(2)$

{\mathcal {L}}=i{\overline {u}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }u+i{\overline {d}}\gamma ^{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }d,

donde la barra sobre el campo significa conjugación de Dirac , y los espinores corresponden a - y -quarks. En términos generales, los espinores de quarks forman tripletes de colores, pero no los escribiremos explícitamente aquí. Tal lagrangiano sin masa es invariante bajo las transformaciones del grupo doblete isospín ${\overline {u}}=u^{\daga}\gamma^{0}$ ${\ estilo de visualización u, \, d}$ $tu$ $d$ $SU(2)\times SU(2)$

\left|\left|{\begin{array}{c}u\\d\end{array}}\right|\right|\rightarrow \exp {\left(i\alpha _{V}^ {a}{\frac {\sigma _{a}}{2}}+i\alpha _{A}^{a}\gamma^{5}{\frac {\sigma _{a}}{2} }\right)}\left|\left|{\begin{matriz}{c}u\\d\end{matriz}}\right|\right|,

donde , y son matrices de Pauli . Esta simetría corresponde a las corrientes de simetría vectorial y axial $t_{a}={\frac {\sigma_{a}}{2}}$ $\sigma _{a}$

V_{a}^{\mu }=i{\overline {q))\gamma ^{\mu }t_{a}q,\quad A_{a}^{\mu }=i{\overline {q}}\gamma^{\mu}\gamma_{5}t_{a}q,

con las correspondientes ecuaciones de continuidad , donde denota el doblete del quark isospin. Las cargas de simetría correspondientes son generadores de isospín y simetrías residuales. Actuando sobre campos de quarks, estos operadores inducen transformaciones $\parcial_{\mu}V_{a}^{\mu}=0,\,\parcial_{\mu}A_{a}^{\mu}=0$ ${\displaystyle q=||u,d||^{T))$ ${\widehat {I}}_{a}=\int d^{3}xV_{a}^{0},\;{\widehat {X}}_{a}=\int d^{ 3}xA_{a}^{0}$

[{\widehat {I}}_{a},q]=-t_{a}q,\;[{\widehat {X}}_{a},q]=-\gamma ^{5 }t_{a}q

Si la simetría no se rompe, entonces cada hadrón corresponde a su análogo con los mismos números cuánticos ( espín , carga bariónica ), pero con la paridad opuesta . Sin embargo, no se observa degeneración de paridad del espectro hadrónico, por lo que se debe suponer que la simetría quiral con generadores está rota. $SU(2)\times SU(2)$ $X_{a}$

Sin embargo, debe notarse que debido a la presencia de términos de masa en el Lagrangiano, la simetría es aproximada. Por lo tanto, como se mostró en la sección anterior, los bosones pseudo-Goldstone de baja masa aparecen en el espectro de partículas. Deben ser sin espín, tener carga bariónica cero, isospín igual a 1 y paridad negativa. Los más ligeros entre todos los hadrones son precisamente los -mesones ; además, tienen los números cuánticos necesarios. Se puede demostrar [3] que el cuadrado de la matriz de masas del -mesón da la masa del -mesón 140 MeV a 10 MeV, lo que corresponde a la realidad. $-m_{u}{\overline {u}}u-m_{d}{\overline {d}}d$ $SU(2)\times SU(2)$ $\Pi$ $\Pi$ $m_{\pi }^{2}\sim (m_{u}+m_{d})$ $\Pi$ $m_{u}+m_{d}\sim$

El campo de Higgs y la ruptura de la simetría dinámica

La ruptura de simetría dinámica [30] [31] [32] consiste en la ruptura de simetría por efectos cuánticos de polarización del vacío. Tales efectos de polarización rompen la simetría de calibre clásica original del grupo , reduciéndolo a una simetría con un grupo pequeño . La polarización del vacío puede conducir a la adquisición de masa por parte de partículas inicialmente sin masa [33] . En tal ideología, el bosón de Higgs se introduce en la teoría de la siguiente manera [34] . Sea un sistema de campos de material y calibre, que denotaremos por conveniencia con una sola letra . Deje que la acción correspondiente sea invariante bajo transformaciones del grupo de calibre . Introduzcamos en el sistema el clásico campo de Higgs externo , que reduce la simetría de norma a un pequeño grupo . Escribamos la acción de tal sistema . Escribimos el funcional generador de la siguiente forma (con integración solo sobre los campos , suponiendo que se da el campo): $GRAMO$ $H$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización S [\ varphi]}$ $GRAMO$ $\sigma$ $H$ ${\ estilo de visualización S [\ varphi, \ sigma]}$ $\varphi$ $\sigma$

Z_{\sigma }=\int [d\varphi ]e^{iS[\varphi ,\sigma ]}

Ahora agreguemos una acción de "semilla" para el campo de Higgs a la acción y agreguemos integración sobre los campos en la generación funcional : ${\ estilo de visualización S [\ varphi, \ sigma]}$ ${\ Displaystyle S_ {\ sigma}}$ $\sigma$

Z=\int [d\varphi][d\sigma]e^{iS[\varphi,\sigma]+iS_{\sigma}}

La integración de campos genera alguna acción efectiva para el campo de Higgs: $\varphi$

Z=\int [d\varphi][d\sigma]e^{iS[\varphi,\sigma]+iS_{\sigma}}=\int [d\sigma]e^{iS_{eff} +iS_{\sigma))

La ventaja de este enfoque es obtener una contribución no trivial al campo de Higgs, que proviene del sistema inicial de campos . Por métodos análogos en electrodinámica cuántica , se obtienen correcciones no lineales al Lagrangiano [35] . $\varphi$

Ruptura de simetría en física estadística

Varios sistemas estadísticos se pueden representar como algunos campos cuantificados. Así, un sistema de partículas de Bose (por ejemplo, 4 He) es un campo escalar complejo, un sistema de Fermi ( 3 He) se representa como un campo de espinor . Sin embargo, la mayoría de las veces, los lagrangianos en física estadística cuántica son efectivos y fenomenológicos, y los campos correspondientes describen ciertas excitaciones en el sistema ( la teoría de Ginzburg-Landau [36] , plasmones , fonones , excitones , etc.).

El aparato matemático de la teoría cuántica de campos se aplica al estudio de sistemas estadísticos de muchas partículas. Al mismo tiempo, en física estadística, los términos de la teoría cuántica de campos tienen sus análogos. Entonces, por ejemplo, el análogo de la funcional generatriz es la suma estadística , que se representa como una integral funcional

Z=e^{-\beta F[\varphi ]}=\int ({\mathcal {D))\varphi )\exp {\left(-\beta \int d^{3}x\left [e(x)-\mu (T)\varphi ^{\dagger }\varphi \right]\right)},

donde es la energía libre de Helmholtz , que tiene el significado de un análogo de la acción clásica en la teoría cuántica de campos, es el conjunto de campos modelo, es la temperatura recíproca, es la densidad de energía en la vecindad del punto , es el potencial químico . $F$ $\varphi$ ${\ estilo de visualización \ beta = 1/T}$ $ex)$ $X$ $\mu$

Es claro que, como en el caso de la teoría cuántica de campos, al cuantificar un sistema estadístico surgen correcciones cuánticas, que pueden tener algún efecto sobre el sistema. Sin embargo, por analogía con el apartado anterior, podemos introducir un potencial efectivo, que es conveniente utilizar para estudiar el sistema. Si esto es suficiente, entonces es posible trabajar en la aproximación de campo medio, dentro de la cual se supone que

F\approx E=\int d^{3}x\left[e(x)-\mu \varphi ^{\dagger }\varphi \right].

Transiciones de fase como ruptura de simetría espontánea

Cuando la temperatura cambia, tanto la densidad de energía del sistema (debido a un cambio en el potencial de interacción) como el potencial químico cambian; por tanto, puede ocurrir que a temperaturas por encima de una determinada temperatura crítica, la energía mínima se encuentre en una configuración del sistema, y por debajo en otra. El sistema pasa de un estado que ya no es estable a una temperatura dada a un nuevo estado estable. Macroscópicamente, se observa una transición de fase . $T_{c}$

Los campos de desviación del estado de vacío se identifican con fluctuaciones termodinámicas. Con la ruptura espontánea de la simetría en la física estadística, además de los escalares masivos, siempre surgen modos de fluctuación sin masa, que se denominan bosones de Goldstone (a menudo Nambu-Goldstone). La presencia de modos de Goldstone sin masa conduce a un espectro de energía sin espacios del sistema ( el teorema de Hugenholtz-Pines [37] ). El modo Goldstone también es responsable de las fluctuaciones correlacionadas en todo el sistema (el llamado orden de largo alcance fuera de la diagonal; por ejemplo, en el caso de una mezcla de Bose, un condensado de Bose). En la física de la materia condensada, los modos vibratorios masivos a veces se denominan incorrectamente bosones de Higgs.

Casi todas las transiciones de fase pueden interpretarse como rupturas de simetría espontáneas. Sin embargo, hay estados de la materia que no pueden representarse como configuraciones de campo perturbadas espontáneamente. Dichos estados incluyen líquidos de espín, así como gas de electrones en el efecto Hall cuántico fraccional [38] .

Superfluidez

Como ejemplo de ruptura espontánea de la simetría en la teoría de las transiciones de fase, se considera la transición de un estado líquido a un estado superfluido . Como se indicó anteriormente, un líquido de Bose se puede describir mediante un solo campo complejo . En la teoría de un líquido Bose superfluido, asumiendo que los átomos del líquido son bolas sólidas que interactúan solo en colisiones directas ( interacción-), y no hay interacciones de largo alcance, la densidad de energía se puede escribir como [39] $^{4}Él$ $\psi$ $\delta$

e(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2M}}|\nabla \psi |^{2}+{\frac {g}{2}}|\psi |^{ cuatro},

donde es el campo complejo correspondiente a la función de onda de los átomos líquidos, M es la masa de los átomos líquidos y g es el parámetro de interacción. El potencial químico tiene la forma . Esta expresión para la densidad de energía corresponde al Lagrangiano en la teoría de Ginzburg-Landau [36] sin un campo magnético externo. La primera consideración de campo cuántico de la superfluidez fue realizada por Pitaevskii [40] . A temperaturas superiores a las críticas, la energía tiene un mínimo de . Al mismo tiempo, cuando la temperatura cae por debajo del valor crítico, el mínimo se alcanza en . El estado fundamental se vuelve infinitamente degenerado con respecto a la fase . La energía libre específica (es decir, energía libre por unidad de volumen) por encima de la temperatura crítica es cero: . Sin embargo, por debajo de la temperatura crítica (independientemente del valor de la fase) , donde . Capacidad calorífica por unidad de volumen $\psi$ $\mu =-\mu _{0}\left(T/T_{c}-1\right)$ ${\ estilo de visualización \ psi = 0}$ $|\psi |=a={\sqrt {-\mu _{0}(T/T_{c}-1)/V))$ ${\ estilo de visualización \ phi = \ arg {\ psi}}$ $f(T>T_{C})=0$ $f(T<T_{C})=-f_{0}\left(T/T_{c}-1\right)^{2}$ $f_{0}={\frac {\mu _{0}^{2}}{2V}}$

c=-T{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial T^{2}}}=\left\{{\begin{array}{c}0,\;T>T_ {c};\\{\frac {\mu _{0}^{2}}{V}}{\frac {T}{T_{c}^{2}}},\;T>T_{c }.\end{matriz}}\right.

Este comportamiento de la capacidad calorífica corresponde a una transición de fase de segundo orden . Expandiendo los campos y en la vecindad del vacío, obtenemos ${\ estilo de visualización | \ psi (x) | = a + \ rho (x)}$ ${\ estilo de visualización \ phi (x) = \ phi _ {0} + \ gamma (x)}$

\epsilon =\int d^{3}x\left[{\frac {1}{2}}\left((\nabla \rho (x))^{2}+(-2m^{2 })\rho (x)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}a^{2}(\nabla \gamma (x))^{2}\right]

donde , . Desviación del vacío, estando en equilibrio los valores corresponden a los campos de excitación. Como puede ver, hay dos modos de oscilación: el modo masivo y el modo Goldstone sin masa . Los modos de oscilación se caracterizan por una longitud de correlación , que establece la ley de amortiguamiento exponencial de las excitaciones con la distancia . Por encima del punto crítico, hay dos modos con una longitud de correlación $\epsilon =2ME/\hbar^{2}$ $m^{2}=-\mu 2M/h^{2}>0$ $\rho$ $\gama$ ${\ estilo de visualización \ xi _ {\ varphi} = 1/m_{\ varphi}}$ ${\displaystyle e^{-|x|/\xi ))$

{\displaystyle \xi _{\psi }={\frac {1}{m}}={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu_{0}}}}{\frac {1}{\sqrt {T/T_{c}-1))))

Por debajo del punto crítico para los modos sin masa de Goldstone, la longitud de la correlación es infinita (esto significa, de hecho, un comportamiento de las excitaciones no exponencial, sino de ley de potencia), que corresponde a la correlación de las fluctuaciones de fase en todo el sistema (por ejemplo, un condensado de Bose). Para un modo masivo en el estado superfluido, tenemos la dependencia de la temperatura de la longitud de correlación en la vecindad del punto crítico de transición de fase

\xi _{\rho }={\frac {1}{\sqrt {2|m^{2}|}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2M\mu _{0)))){\frac {1}{\sqrt {1-T/T_{c))))

Unificación de interacciones fundamentales

El modelo Glashow-Weinberg-Salam

El modelo Glashow-Weinberg-Salam [41] [42] [43] describe la interacción electrodébil unificada con un grupo de simetría de calibre y cuatro bosones vectoriales de calibre , donde el índice en la parte superior indica la carga eléctrica del bosón. A medida que la energía disminuye, el grupo de simetría se descompone en el grupo electrodinámico con un bosón de norma , el fotón . Tenga en cuenta que el grupo no perturbado es el grupo del campo de hipercarga y no el campo electromagnético. Además, aparece en la teoría un campo escalar, que se transforma según la representación fundamental del grupo , por lo que tiene la forma de un complejo escalar de dos componentes . Además, hay campos de material en el modelo, que no tendremos en cuenta por simplicidad. El Lagrangiano de los campos de norma (más precisamente, del sector bosónico) tiene la forma ${\displaystyle SU(2)_{L}\veces U(1)_{Y))$ $B^{0},\;W^{0},\;W^{+},\;W^{-}$ ${\displaystyle SU(2)_{L}\veces U(1)_{Y))$ ${\displaystyle U(1)_{\gamma ))$ $U(1)_{Y}$ $SU(2)$ ${\ estilo de visualización \ varphi =|| \ varphi _ {1}, \ varphi _ {2} ||^ {T}}$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{Y}^{\mu \nu })^{2}-{\frac {1}{4}} (F_{L}^{a,\mu \nu })^{2}+{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi ^{\dagger }{\mathcal {D}}_{\mu }\varphi -\lambda \left(\varphi ^{\dagger }\varphi -a^{2}\right)^{2},

donde la derivada covariante de se escribe como $\varphi$

{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\parcial ^{\mu }\varphi +{\frac {i}{2}}e_{Y}Z_{U(1)}^ {\mu}\varphi +ie_{L}W_{SU(2)}^{a,\mu }{\frac {\sigma _{a}}{2}}\varphi ,

donde y son las constantes de interacción de los campos correspondientes, y es la combinación de la matriz identidad y las matrices de Pauli . Elegimos el estado de vacío en la forma . Obviamente, el vacío es invariante bajo la acción de los elementos del pequeño grupo , cuyo generador es la matriz . Es este grupo el que corresponde a las transformaciones de calibre de la electrodinámica. Es conveniente introducir un triple de matrices , y también reescribir los parámetros y en términos de los nuevos parámetros y $e_{Y}$ $e_{L}$ $\sigma _{a}$ $\sigma_i$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {0} = || 0, a ||^ {T}}$ ${\displaystyle U(1)_{\gamma ))$ $t_{A}=\left({\begin{matriz}{cc}1&0\\0&0\end{matriz}}\right)$ $t_{i}=\sigma _{i}/2$ $e_{Y}$ $e_{L}$ $mi$ ${\mathcal {\theta}}_{W}$

e=e_{Y}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}=e_{L}\sin {\mathcal {\theta }}_{W},

además, el parámetro resulta ser igual a la carga eléctrica elemental, y el parámetro se llama ángulo de Weinberg . En este caso, la derivada covariante se escribirá de la forma $mi$ ${\mathcal {\theta}}_{W}$

{\mathcal {D}}^{\mu }\varphi =\parcial ^{\mu }\varphi +ie\left(A^{\mu }-{\rm {tg}}{\mathcal { \theta }}_{W}Z^{\mu }\right)t_{A}\varphi +i\left({\frac {e_{2}}{\cos {\mathcal {\theta }}_{ W))}Z^{\mu }t_{3}+e_{2}W_{+}^{\mu }t_{1}+e_{2}W_{-}^{\mu }t_{2} \derecha)\varphi,

donde , , . ${\begin{pmatrix}A_{\mu }\\Z_{\mu }\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W}&\sin \theta _{W }\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{\mu }\\W_{\mu }^{3}\ fin{pmatrix}}$ ${\displaystyle W_{\mu}^{+}=W_{\mu}^{1))$ ${\displaystyle W_{\mu}^{-}=W_{\mu}^{2))$

En calibre unitario , donde está el campo escalar real correspondiente al bosón de Higgs , descubierto experimentalmente en 2012. En la aproximación cuadrática, el Lagrangiano con simetría rota se puede escribir como ${\displaystyle \varphi =||0,a+\phi ||^{T))$ $\fi$

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(\parcial _ {\mu }A_{\nu }-\parcial _{\nu }A_{\mu })^ {2}-{\frac {1}{4}}(\parcial _ {\mu }Z_{\nu }-\parcial _{\nu }Z_{\mu })^{2}+m_{Z} ^{2}Z^{2}-\sum_{i=\pm}\left[{\frac {1}{4}}(\parcial_{\mu}W_{\nu}^{i}- \parcial _{\nu}W_{\mu}^{i})^{2}+m_{W}^{2}(W^{i})^{2}\right]+(\parcial_{ \mu }\phi )^{2}-m_{\phi }^{2}\phi ^{2},

donde , , . ${\displaystyle m_{W}={\frac {e_{2}a}{\sqrt {2))))$ $m_{Z}={\frac {e_{2}a}{{\sqrt {2}}\cos {\mathcal {\theta }}_{W}}}$ $m_{\phi }=2{\sqrt {\lambda }}a$

Debe agregarse que las correcciones cuánticas conducen a un cambio en las masas de los bosones y la dependencia energética de las constantes de interacción.

Modelo SU(5) del Gran Unificado Georgie-Glashow

A altas energías (~10 14 GeV), las interacciones nucleares electrodébiles y fuertes se combinan en un solo campo con algún grupo de simetría de calibre, que a energías más bajas se descompone espontáneamente en el grupo del modelo estándar . En esta sección, considere el modelo de Georgie-Glashow] con el grupo de indicadores más pequeño que permite una gran unificación ${\displaystyle SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y))$ $SU(5)$

En esta teoría, todos los fermiones se combinan en tres generaciones de multipletes de 15 componentes , que consisten en multipletes de 5 y 10 componentes, que corresponden a las dimensiones más pequeñas de representaciones de grupos irreducibles . El sector de 5 componentes del multiplete de 15 componentes incluye el triplete de color de la derecha de quarks de tipo - (un componente para cada color) y el doblete de isospin de leptones de la izquierda ( electrón y neutrino ): . El sector de 10 componentes contiene los tripletes de quarks izquierdo y derecho , el triplete de quarks izquierdo y el electrón derecho: . $SU(5)$ $d$ $5=||d_{R};e_{L}^{-},\nu _{L}||$ $tu$ $d$ $10=||u;d_{L};e_{R}^{-}||$

Con simetría exacta, el grupo contiene bosones de calibre sin masa. Hay tres bosones responsables de las transiciones en el quinteto de leptones y relacionados por el grupo , así como un bosón correspondiente al grupo . Como en el Modelo Estándar , el fotón y el bosón son superposiciones ortogonales de los campos y . También hay 8 gluones que hacen transiciones entre quarks de tres colores y son generadores de grupos . Los doce bosones de calibre restantes son trillizos de cuatro colores y . Los bosones y son responsables de las interacciones , , y , , respectivamente. $SU(5)$ ${\ estilo de visualización 5 \ veces 5-1 = 24}$ ${\ estilo de visualización W^{+},Z^{0},W^{-}}$ $SU(2)_{L}\subconjunto SU(5)$ ${\ estilo de visualización B^{0))$ $U(1)_{Y}$ $Z^0$ ${\ estilo de visualización W^{0))$ ${\ estilo de visualización B^{0))$ ${\displaystyle SU(3)_{C))$ ${\displaystyle X_{\pm 4/3))$ ${\displaystyle Y_{\pm 4/3))$ $X$ $Y$ ${\ estilo de visualización \ nu _ {e} -d_ {R}}$ $e_{R}^{-}-u_{L}$ $d_{L}-u_{R}$ $e_{L}-d_{R}$ $e_{R}-d_{L}$ ${\ Displaystyle u_ {L}-u_ {R}}$

A medida que la energía disminuye, la simetría se rompe hasta . En este caso, los bosones de norma y de norma adquieren masas de 10 14 GeV. $SU(5)$ ${\displaystyle SU(3)_{C}\times SU(2)_{L}\times U(1)_{Y))$ $X$ $Y$

Además, es posible introducir neutrinos diestros masivos en el modelo (como singlete ). Dichos neutrinos pueden interactuar con el quinteto utilizando bosones de Higgs, que se producen por la ruptura espontánea de la simetría Gran Unificada. $SU(5)$ $SU(5)$

El modelo de Georgi-Glashow predice una vida útil del protón de ~10 29 años [45] , sin embargo, los experimentos modernos en Super-Kamiokanda dan una estimación más baja para la vida útil del protón de 10 32 años, eliminando por completo la posibilidad de realizar la simetría en la versión más simple . del modelo $SU(5)$

Modelo SO(10) y modelos con grupos de calibre más altos

El siguiente grupo de calibre mínimo que puede describir la Gran Unificación es el grupo [46] , donde los fermiones forman un multiplete de 16 componentes: un neutrino izquierdo se agrega a 15 fermiones. Se puede demostrar que hay un total de bosones de calibre que pueden adquirir masa a través de la ruptura espontánea de la simetría . Tal modelo también se descarta debido a la ausencia de desintegración de protones. ${\ estilo de visualización SO (10)}$ $SU(5)$ ${\ estilo de visualización 10 \ veces 9/2 = 45}$ ${\ estilo de visualización SO (10)}$

No obstante, también se consideran grupos superiores y (por ejemplo, , etc.), así como modelos en los que el grupo de calibre es el producto de dos o más grupos simples: [47] , etc. Se presta especial atención a la cadena de excepcionales grupos $Sol)$ ${\ estilo de visualización SO (n)}$ $SU(8)$ ${\ estilo de visualización SO (16)}$ $SU(4)\times SU(4)$ $SU(3)\times SU(3)\times SU(3)$

E_{4}=SU(5)\subconjunto E_{5}=SO(10)\subconjunto

Mi 6 Mi 8 .

{\ estilo de visualización \ subconjunto E_ {7} \ subconjunto}

que surgen en las teorías de la gravedad multidimensional y la teoría de cuerdas . Los grupos , E 8 son lo suficientemente grandes para acomodar diferentes generaciones de partículas. $E_7$

A pesar de la gran cantidad de campos en grupos de orden superior, el mecanismo de ruptura espontánea de la simetría en las teorías correspondientes es el mismo que el descrito anteriormente.

Ruptura espontánea de la supersimetría

La ruptura espontánea de la supersimetría (en contraste con la suave y dinámica) consiste en obtener una teoría no supersimétrica (explícitamente) en la vecindad del vacío con la supersimetría. La ruptura de la supersimetría es un proceso necesario para evitar conflictos entre los modelos supersimétricos y el experimento. El hecho es que la supersimetría exacta supone que los supercompañeros (cuyo número coincide con el número de partículas ordinarias) tienen la misma masa que sus compañeros (partículas ordinarias), lo que no se observa en el experimento. Durante la ruptura de la supersimetría, los supercompañeros adquieren una masa adicional significativa y, por lo tanto, se vuelven inalcanzables en los experimentos hasta el momento.

En cuanto a la excitación de la simetría de calibre, se puede demostrar que las correcciones cuánticas no rompen la supersimetría si no se rompe en el nivel clásico [48] . Sin embargo, la diferencia esencial entre la ruptura de la supersimetría y la simetría de calibre es la afirmación del siguiente teorema:

Teorema [48] . En cualquier teoría con supersimetría, o se rompen todas las supersimetrías, o no se rompe ninguna.

Criterios para romper la supersimetría

Promedios de vacío distintos de cero

La supersimetría se rompe si y solo si las sobrealimentaciones no destruyen el estado de vacío: . Para el promedio de vacío de la variación del campo, se puede escribir . En otras palabras, la supersimetría se rompe si y solo si el valor esperado de vacío de algún campo no es igual a 0. Esto requiere la invariancia de Lorentz del vacío. $Q_{un}$ $Q_{a}|0\rangle\neq 0$ $\varphi$ $\langle \delta \varphi \rangle _{0}=\langle \left[\varphi ,Q_{\alpha }\right]\rangle _{0}\neq 0$

Por ejemplo, para el modelo de Wess-Tsumino [49]

S=\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}(\parcial_{\mu}A)^{2}-{\frac {1}{2 }}(\parcial _ {\mu }B)^{2}-{\frac {1}{2}}\chi ^{\daga}\gamma ^{\mu }\parcial_{\mu }\chi +{\frac {1}{2}}D^{2}+{\frac {1}{2}}F^{2}\right)

con campos bosónicos y el fermión de Majorana . Los campos son complementarios y desaparecen en la capa de masa; su presencia es necesaria para la igualdad de los grados de libertad bosónicos y fermiónicos en la capa de masa y fuera de ella. Para este modelo, teniendo en cuenta el requisito de la invariancia de Lorentz del vacío, se sigue que , , . La media distinta de cero de la variación del campo tiene la forma . Por lo tanto, la supersimetría se rompe si y solo si los valores esperados de vacío de los campos adicionales no son iguales a 0. ${\ estilo de visualización A, B, D, F}$ $\ chi$ ${\ estilo de visualización D, F}$ $\langle \chi _{\alpha }\rangle =0$ $\langle \parcial _{\mu}A\rangle =0$ $\langle \parcial _{\mu}B\rangle =0$ $\langle \delta_{\varepsilon}\chi_{\alpha}\rangle =((\langle F\rangle +i\gamma_{5}\langle D\rangle)\varepsilon)_{\alpha }$

Valor potencial cero

El hamiltoniano de la teoría supersimétrica con supercargas se escribe como $Q_{un}$

H=\sum_{a}(Q_{a}Q_{a}^{\daga}+Q_{a}^{\daga}Q_{a})

Y esto, a su vez, lleva a la siguiente afirmación: el estado de vacío supersimétrico debe tener energía cero; si la energía del vacío es positiva, la supersimetría se rompe. De hecho, la expectativa de vacío hamiltoniana satisface la desigualdad

\langle H\rangle =\sum _{a}(||Q_{a}|0\rangle ||^{2}+||Q_{a}^{\dagger }|0\rangle || ^{2})\geqslant 0

Aquí, la igualdad se logra solo en el caso de supersimetría ininterrumpida . $Q_{a}|0\rangle =0$

Esta es la diferencia fundamental entre la ruptura espontánea de la supersimetría y la ruptura espontánea de la simetría de norma. Para este último es importante la invariancia del mínimo del potencial, y para la supersimetría, el valor de su mínimo. Por lo tanto, la ruptura de la simetría de calibre es, en cierto sentido, independiente de la ruptura de la supersimetría. Si el mínimo del vacío roto con respecto a la simetría de calibre tiene energía cero, entonces la supersimetría no se rompe.

Goldstino y Higgsino

Cuando se rompe la supersimetría del supercampo quiral , donde , son las coordenadas de Grassmann del superespacio, se produce la llamada ruptura de supersimetría de tipo cuando el valor esperado de vacío del escalar dinámico y los campos adicionales es . Cuando se rompe la supersimetría del supercampo vectorial , y se dice que la ruptura de la supersimetría correspondiente es de tipo -. $\Phi (x,\theta ,{\overline {\theta )))=\varphi (y)+\theta \chi (y)+\theta \theta F(y),$ $y=xi\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}$ $\theta ,\;{\overline {\theta ))$ $F$ ${\ estilo de visualización \ langle F \ rangle _ {0} \ neq 0}$ ${\ estilo de visualización \ langle D \ rangle _ {0} \ neq 0}$ $D$

En ambos tipos de ruptura de la supersimetría existe un espinor que, bajo la acción de las transformaciones supersimétricas, adquiere un término no homogéneo

\delta _{\varepsilon}\lambda _{\alpha}=-2\varepsilon _{\alpha}\langle D\rangle +o(\varepsilon),\qquad \delta_{\varepsilon}\chi _{\alpha}=-2\varepsilon_{\alpha}\langle F\rangle +o(\varepsilon ).

Tal espinor se llama fermión de Goldstone o goldstino.

Por analogía con el mecanismo de Higgs, donde el bosón vectorial "come" al bosón de Goldstone y se vuelve masivo, en supergravedad el gravitino "come" al goldstino (el supermultiplete vectorial "come" al quiral) y se vuelve masivo. Este mecanismo se denomina mecanismo de super-Higgs [50] [51] .

El modelo de O'Reiferty

Considere las violaciones de la supersimetría utilizando el ejemplo del modelo de O'Reiferty [52] con supermultipletes quirales , que viene dado por el Lagrangiano $norte$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {i}}$

\int d^{2}\theta d^{2}{\overline {\theta }}\sum _{i}{\overline {\Phi }}_{i}\Phi ^{i}+ \int d^{2}\theta W(\Phi )+hc,

donde la barra sobre el campo significa el Dirac o conjugación compleja, denota el término conjugado hermitiano y el superpotencial $hc$

W(\Phi )=a_{i}\Phi ^{i}+{\frac {1}{2}}m_{ij}\Phi ^{i}\Phi ^{j}+{\frac {1}{3}}\lambda _{ijk}\Phi ^{i}\Phi ^{j}\Phi ^{k}

Ahora, al variar la acción, obtenemos una ecuación para el campo adicional . Sustituyendo la solución obtenida, obtenemos la energía potencial ${\overline {F}}_{i}=-{\frac {\parcial W}{\parcial \varphi ^{i}}}=-(a_{i}+m_{ij}\varphi ^ {j}+\lambda _{ijk}\varphi^{j}\varphi^{k})$

V=\sum_{i}{\overline {F}}_{i}F^{i}=\sum_{i}\left|-{\frac {\parcial W}{\parcial \ varphi ^{i}}}\right|^{2}=\sum _{i}|a_{i}+m_{ij}\varphi ^{j}+\lambda _{ijk}\varphi ^{j} \varfi ^{k}|^{2}.

La supersimetría en este modelo se rompe si es imposible encontrar tal conjunto para todos los componentes. ${\ estilo de visualización \ langle \ varphi _ {i} \ rangle}$ $\langle F^{i}\rangle =0$

Vacíos no invariantes

Al considerar la violación de la simetría del campo cuántico, asumimos que la configuración de vacío del campo es invariante bajo las transformaciones del grupo de Lorentz no homogéneo (rotaciones, impulsos y traslaciones). Esta es una restricción irrazonable muy fuerte en las configuraciones de vacío, lo que lleva al hecho de que el campo de vacío es el mismo en todos los puntos del espacio. Sin embargo, resulta que las configuraciones dependientes de coordenadas no triviales del vacío de campo son posibles. Además, tales configuraciones pueden ser importantes en el cálculo del funcional generatriz, ya que su influencia no es pequeña (por ejemplo, la contribución de instanton [53] en cromodinámica cuántica ). Tales vacíos no triviales son también monopolos magnéticos [54] [55] , cuerdas cósmicas [56] y paredes de dominio [57] , que en principio pueden estar presentes en el Universo y tratarse como defectos topológicos del espacio-tiempo con calibre electrodébil ininterrumpido. simetría o simetría de Gran Unificación. Tales estados de vacío no invariantes realizan el extremo funcional de la acción y son estables con respecto a las excitaciones.

Tales configuraciones son bien conocidas en la física de la materia condensada. Por ejemplo, las paredes de dominio entre regiones del universo con diferentes rupturas de simetría son análogas a las paredes de dominio en ferromagnetos (de ahí su nombre), y las cuerdas cósmicas son similares a las líneas de vórtice en un superconductor .

Algunas configuraciones con vacío no invariante que son consideradas por los teóricos se dan a continuación.

Modelo mecánico de Unruh

A continuación se muestra un modelo mecánico simple propuesto por Unruh. Considere un conjunto de lápices que se colocan uno al lado del otro sobre una mesa y sus extremos afilados están conectados entre sí por bandas elásticas. Dicho sistema se encuentra en un estado de equilibrio inestable: cualquier perturbación hará que los lápices se caigan y pasen de un estado inestable a un estado de vacío estable. Sin embargo, la dirección de caída es aleatoria. La imagen del estado de equilibrio tiene muchas variantes diferentes. Por supuesto, es posible que los lápices caigan en una dirección. Sin embargo, también puede suceder que alrededor de cierto lápiz todos los demás lápices caigan en direcciones opuestas. Entonces, las mismas fuerzas de tensión de las bandas elásticas de los lápices que ya han caído actúan isotrópicamente sobre el lápiz central desde todos los lados. Dado que la fuerza de tensión actúa uniformemente, el estado de vacío previamente inestable en el punto elegido se estabiliza y el lápiz no se cae. Surge un punto que difiere de los otros puntos donde la simetría no se rompe.

Configuraciones de vacío con simetría de calibre localmente ininterrumpida

En cuanto al modelo mecánico, si se rompe la simetría de calibre, son posibles estados estables con simetría puntual ininterrumpida. Estas soluciones se denominan monopolos de Polyakov-t'Hoft [54] [55] .

Cuando la simetría de ciertos grupos (por ejemplo, ) se rompe al grupo de simetría de calibre electromagnético , el campo del monopolo de Polyakov-t'Hoft es similar a un campo magnético, por lo que se identifica con monopolos magnéticos . En este caso, se puede demostrar que el monopolo tiene una carga magnética múltiplo de , donde es la carga eléctrica elemental. También son posibles las configuraciones de monopolo con una gran carga magnética, pero se descomponen en monopolos con una carga magnética elemental [58] . La configuración de campos escalares y de calibre para el monopolo Polyakov - t'Hoft se puede elegir en el calibre en la forma $GRAMO$ $SU(2)$ $tu(1)$ $g={\frac {\pm 1}{e}}$ $mi$ $gramo$ ${\ estilo de visualización A_ {a0} = 0}$ $\varphi _{i}={\textbf {e}}_{i}\langle \varphi \rangle F(r),$ $A_{ai}={\frac {\varepsilon _{ail}{\textbf {e}}_{l}}{er}}G(r)$ ${\textbf {e}}_{i}={\frac{x_{i}}{r}}$ $\varepsilon_{ijk}$ $a$ ${\ estilo de visualización F (r), \, G (r)}$

El campo del monopolo de Polyakov-t'Hoft en la norma para campos escalares, donde está el símbolo delta de Kronecker , tiene la forma ${\ estilo de visualización \ varphi _ {i} = \ varphi \ delta _ {i3}}$ $\delta _{{ij}}$

B_{i}={\frac {1}{2}}\varepsilon_{ijk}(\parcial_{j}A_{k}^{3}-\parcial_{k}A_{j} ^{3})=-{\frac {{\textbf {e}}_{i}}{er^{2}}}.

El número de monopolos que deberían formarse como resultado de la violación de la simetría de la Gran Unificación es un monopolo por 10 3 nucleones, lo que contradice los datos observados. La ausencia de monopolios se explica por la inflación . Se cree que se formaron antes de la transición de fase del campo con la simetría Gran Unificada a la simetría del Modelo Estándar , y la inflación que acompaña a esta transición condujo a la licuefacción del gas de los monopolos [59] . Además, la ausencia de monopolos magnéticos se considera uno de los argumentos en apoyo de la teoría inflacionaria de la evolución del Universo.

También hay configuraciones de campos de vacío puntuales: diones, que tienen cargas eléctricas y magnéticas [60] .

También son posibles configuraciones de campo con simetría de calibre ininterrumpida localmente de grandes dimensiones: estas son cuerdas cósmicas unidimensionales [56] y paredes de dominio [57] .

Instantones

Para las teorías de campos no lineales (por ejemplo, la cromodinámica cuántica ), son posibles configuraciones de campo no triviales en el espacio (1 + 3), que se denominan instantones [53] . Son una generalización de un solitón al espacio de (1 + 3) dimensiones. Tales configuraciones realizan la acción extrema. No son perturbativos (no se pueden obtener en ningún orden de la teoría de perturbaciones).

Sin embargo, la contribución de los instantones y las fluctuaciones en la vecindad del estado de los instantones a la generación funcional es significativa. Los instantons resuelven el problema de la ruptura de la simetría quiral [61] . En la teoría de las interacciones electrodébiles, son las configuraciones instantónicas del campo débil las que explican la violación de los números bariónico y leptónico [62] . Los estados de Instanton también juegan un papel importante en la descomposición de un falso vacío (ver más abajo) [63] [64] . $tu(1)$ ${\displaystyle SU(2)_{L))$

Skyrmiones

Las teorías de campo efectivas con un Lagrangiano de tipo sigma lineal describen bien el comportamiento del mesón de baja energía. Sin embargo, por consistencia en el cálculo de los parámetros de interacción de los mesones a altas energías, es necesario complementar el Lagrangiano con términos con potencias más altas en derivadas de campo:

{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\sigma }(\varphi )+f_{abcd}{\varphi }\parcial _{\mu }\varphi ^{a}\ parcial ^{\mu }\varphi ^{b}\parcial _ {\nu }\varphi ^{c}\parcial ^{\nu }\varphi ^{d}+....

La presencia de grados más altos de derivados puede permitir una configuración de campo de vacío no trivial estable, que se llama skyrmions [65] .

Los skyrmions también pueden surgir en la física estadística [66] y en la ruptura dinámica de la simetría.

Diagonalizaciones del hamiltoniano instantáneo

Para los vacíos no invariantes, no hay una comprensión clara de qué exactamente deben considerarse partículas y si es posible hablar de partículas en el caso de una configuración de vacío arbitraria. En la teoría cuántica de campos, el operador de campo se representa en función de los operadores de creación y aniquilación , que satisfacen ciertas relaciones de (anti)conmutación, cuya forma depende del lagrangiano y del tipo de campo (fermiónico o bosónico). Si el hamiltoniano correspondiente de la teoría es diagonal con respecto a estos operadores, entonces el concepto de partícula tiene una interpretación sencilla. El estado de vacío se determina a partir de la ecuación y corresponde al estado con el valor propio más pequeño del hamiltoniano, es decir, el estado sin partículas. El estado se considera que es una partícula con momento . ${\widehat {\Phi ))$ $b_{\textbf {k}}^{+},\,b_{\textbf {k}}$ $b_{\textbf {k}}|0\rangle =0$ ${\textbf {k))$ $|1_{\textbf {k}}\rangle =b_{\textbf {k}}^{+}|0\rangle$

Sin embargo, en el caso de la dependencia del hamiltoniano (y, en consecuencia, de los estados de vacío y excitado) con el tiempo, resulta que el estado, que en un momento dado del tiempo se interpreta como una partícula, ya no será un partícula en momentos posteriores del tiempo. Sin embargo, es posible desarrollar un formalismo simple en el caso de un vacío no estacionario, el método de diagonalización del hamiltoniano instantáneo [67] . Según este método, se supone que en algún momento, por ejemplo, se diagonaliza el hamiltoniano y se encuentran los operadores de creación y aniquilación ; aquí el índice denota todos los números cuánticos del campo. La búsqueda de tal vacío se puede llevar a cabo considerando campos que no interactúan e incluyendo adiabáticamente la interacción (parámetros de interacción) usando el factor . $t_{0}=-\infty$ $b_{A}^{+}(t_{0}),\,b_{A}(t_{0})$ $A$ $t=-\infty$ ${\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow +0}e^{\lambda t))$

Los operadores de nacimiento y aniquilación en todos los momentos de tiempo subsiguientes se obtienen usando las transformaciones de Bogolyubov

b_{A}(t)=u_{A}^{B}(t)b_{B}(t_{0})+v_{A}^{B}(t)b_{B}^{ +}(t_{0})

y transformaciones obtenidas a partir de la conjugación dada (hermítica o compleja). Las funciones se determinan a partir de la condición de cumplimiento de las correspondientes relaciones de conmutación y de la diagonalización del hamiltoniano en un momento dado . En este formalismo, debido a la no equivalencia del vacío, en diferentes momentos de la evolución del sistema, se observarán nacimientos y aniquilaciones de partículas (análogo al efecto Unruh ). El número de partículas que nacerán en el momento del tiempo es igual a ${\ estilo de visualización u (t), \, v (t)}$ $t$ $t$

N_{0}(t)=\sum_{A}\langle t_{0}|a_{A}^{+}(t)a_{A}(t)|t_{0}\rangle .

Tal interpretación corpuscular de los vacíos no invariantes no es la única posible.

La gravedad como campo de Higgs-Goldstone

Por primera vez sobre la posibilidad de tratar un gravitón como una piedra de oro[ aclarar ] Geisenberg e Ivanenko señalaron . Posteriormente, esta idea fue desarrollada desde diferentes puntos de vista [68] [69] [70] [71] [72] [73] . Esta sección proporciona una breve introducción al problema.

Medir la gravedad

Según los puntos de vista modernos, los campos de interacciones fundamentales surgen de la necesidad de la invariancia de la función de Lagrange del campo de materia con respecto a las transformaciones locales de calibre. Como se mostró anteriormente, para incluir la interacción entre el campo de materia y el campo de calibre, la derivada ordinaria del campo se reemplaza por una derivada covariante . Además, el campo de calibre cambia de cierta manera bajo la acción de las transformaciones de calibre. Las transformaciones de calibre forman un grupo de Lie compacto .

Desde un punto de vista geométrico, los campos de gauge son conexiones en un espacio fibroso en el caso de simetrías de gauge internas, en un espacio con un haz localmente trivial . El espacio fibrado generaliza el concepto de paquete tangente , reemplazando el espacio tangente en cada punto de la variedad con un espacio vectorial arbitrario , por ejemplo, el espacio complejo en el caso de un campo de Klein-Gordon cargado o el espacio de un par de leptones . ( ). Así, la geometría de la teoría de los campos de medida es muy similar a la teoría de la relatividad . ${\ estilo de visualización e, \, \ nu _ {e))$

Por otro lado, el campo gravitatorio debe ser considerado como un campo de norma con cierto grupo de simetría . Sin embargo, resulta que hay dos simetrías de calibre para el campo gravitatorio. La primera viene dada por transformaciones covariantes generales de cantidades tensoriales

{T'}_{\nu _{1}...\nu _{n))^{\mu _{1}...\mu _{m))={\frac {\parcial x'^{\mu _{1))}{\parcial x^{\alpha _{1))))\cdot ...\cdot {\frac {\parcial x'^{\mu _{m} }}{\parcial x^{\alpha _{m}}}}{\frac {\parcial x^{\beta _{1}}}{\parcial x'^{\nu _{1}}}} \cdot ...\cdot {\frac {\parcial x^{\beta _{n))}{\parcial x'^{\nu _{n))))T_{\beta _{1}.. .\beta _{n}}^{\alpha _{1}...\alpha _{m}},

que constituyen el reflejo matemático del principio general de la relatividad de Einstein . Estas transformaciones forman un grupo . ${\ estilo de visualización GL (4, R)}$

Sin embargo, el principio de la relatividad en sí mismo no fija la estructura pseudo-euclidiana de (1 + 3) dimensiones del espacio-tiempo de ninguna manera. Además, las transformaciones covariantes generales no tienen en cuenta una simetría más en la teoría de la relatividad general, a saber, la simetría bajo rotaciones, impulsos y traslaciones en marcos de referencia locales (espacios múltiples de espacio-tiempo). Para tener en cuenta estos hechos, se introduce en la teoría el tensor métrico . Es conveniente representar el tensor métrico en forma de tétrada , donde los índices denotados por letras latinas reflejan los índices locales de Lorentz, las tétradas definen la transición entre la covariante general y los índices locales de Lorentz, y es el tensor de Minkowski. ${\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$ ${\displaystyle g^{\mu \nu }=\eta ^{ab}e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu ))$ $e_{a}^{\mu }$ ${\displaystyle \eta ^{ab}={\rm {diag}}{(1,-1,-1,-1)))$

El campo de la simetría covariante general de gauge se puede identificar fácilmente con la conexión del campo gravitacional ( símbolos de Christoffel ) . De hecho, las expresiones para la derivada covariante y las transformaciones de calibre de la conexión se asemejan a expresiones similares para el campo de Yang-Mills. ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {\ mu \ beta} ^ {\ alfa}}$

\nabla _{\mu }A_{\beta }=\parcial_{\mu }A_{\beta }-\Gamma _{\mu \beta }^{\alpha }A_{\alpha },

{\Gamma '}_{\mu \beta }^{\alpha }={\frac {\parcial x'^{\alpha }}{\parcial x^{\gamma }}}\left(\ Gamma _ {\nu \sigma }^{\gamma }{\frac {\parcial x^{\nu }}{\parcial x'^{\mu }}}\right){\frac {\parcial x^{ \sigma }}{\parcial x'^{\beta }}}+{\frac {\parcial x'^{\alpha }}{\parcial x^{\gamma }}}\parcial '_{\mu } {\frac {\parcial x^{\gamma }}{\parcial x'^{\beta }}}.

Al mismo tiempo, no existe una expresión análoga para el tensor métrico (campo de tétrada) y su estado de calibre sigue sin estar claro.

Métrica como un campo de Higgs-Goldstone

Esta idea fue desarrollada en gran medida por Ivanenko y Sardanashvili [72] [74] . En esta sección presentamos su esencia principal.

En ausencia de un campo gravitatorio, la variedad espacio-temporal, así como la acción de los campos materiales, son invariantes bajo las transformaciones del grupo no homogéneo de Lorentz . Sin embargo, cuando se activa la gravedad, se viola la invariancia de Lorentz del sistema. Hay una ruptura de simetría donde el campo de Higgs-Goldstone está asociado con la métrica . ${\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$

Sin embargo, como en el caso de la violación de las simetrías internas de calibre, el componente de Higgs invariante de Lorentz, el tensor de Minkowski, se puede distinguir en la métrica . Las desviaciones de la métrica de Minkowski (o, de manera equivalente, tétradas ) juegan el papel de los componentes de Goldstone. Sin embargo, en contraste con la imagen de ruptura de simetría de campo de Yang-Mills, los campos gravitatorios de Goldstone pueden anularse en cada punto del espacio-tiempo mediante alguna elección de calibre (como se dijo, el calibre unitario anula los modos de Goldstone solo para grupos compactos de calibre de mentira) . La razón geométrica de esto es que las transformaciones locales en espacios tangentes actúan sobre derivadas como sobre vectores sólo en un espacio plano, para el cual el espacio tangente es igual a sí mismo. En un espacio curvilíneo, los vectores con respecto a las transformaciones locales son las cantidades . Por lo tanto, un intento de describir todo el espacio-tiempo curvilíneo exclusivamente por la métrica de Minkowski Higgs solo conduce a una transición al formalismo de tétrada [74] . ${\ Displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu ))$ $e_{a}^{\mu }$ $\parcial_\mu$ ${\displaystyle e_{a}^{\mu }\parcial _{\mu ))$

La gravedad como efecto de la polarización del vacío

Un indicio de que el campo gravitatorio se puede interpretar de manera similar al bosón de Higgs es la posibilidad de obtener el Lagrangiano del campo gravitacional teniendo en cuenta la polarización del vacío [75] , tal como se obtuvo anteriormente el Lagrangiano efectivo para el campo de Higgs. Considere un sistema de campos en un espacio curvilíneo. Si estos son campos escalares que no interactúan, entonces la acción correspondiente tiene la forma $\varphi$

S_{m}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{2}}\parcial ^{\mu }\varphi \parcial_{ \mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi ^{2}+\xi R\varphi ^{2}\right),

donde es el determinante del tensor métrico ; _ Si introducimos un determinado término semilla y agregamos integración sobre el campo métrico , y luego integramos sobre campos escalares, entonces podemos obtener una acción efectiva , de la cual podemos seleccionar una forma independiente de Lagrangian ${\ sqrt {-g))$ $R$ $\xi$ ${\ estilo de visualización \ xi = 1/6}$ $gramo$ ${\ Displaystyle S_ {ef}}$ $\varphi$

{\mathcal {L}}_{gr}={\sqrt {-g}}\left[-A+BR+CR_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \ mu \nu }+DR_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+E\parcial ^{2}R+FR+GC_{\alpha \beta \mu \nu }C^{\alpha \beta \mu \nu }\derecho],

donde son algunas constantes cuyos valores dependen del tipo , es el tensor de curvatura de Riemann , es el tensor de Ricci , es el tensor de Weil . En el caso de los campos escalares , , , , , la constante se expresa en términos del espín del campo, las constantes no están limitadas cuando se elimina la regularización de la constante, pero pueden renormalizarse y expresarse en términos de la constante cosmológica y la constante gravitatoria . ${\ estilo de visualización A, \, B, \, C, \, D, \, E, \, F, \, G}$ $\varphi$ ${\ Displaystyle R_ {\ alfa \ beta \ mu \ nu}}$ $R_{\mu\nu}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta \mu \nu ))$ $C={\frac{a}{180}}$ $D=-{\frac{a}{180}}$ $E={\frac {a}{5}}\left(\xi -{\frac {1}{6}}\right)$ $F={\frac {a}{2}}\left(\xi -{\frac {1}{6}}\right)^{2}$ ${\ estilo de visualización G = 0}$ $a$ ${\ estilo de visualización A, \, B}$

También es interesante que para un determinado conjunto de constantes, el campo gravitatorio libre ( ) se puede cuantificar y la teoría correspondiente es renormalizable [76] . ${\ estilo de visualización A, \, B, \, C, \, D, \, E, \, F, \, G}$ $R_{\mu\nu}=0$

Ruptura del falso vacío

A menudo, la energía potencial (potencial efectivo en el caso cuántico) no tiene un mínimo, sino varios. Diferentes vacíos corresponden a diferentes energías. El vacío con la energía más baja se llama verdadero, y todos los demás se llaman falsos (falso). Si, después de romper la simetría y formar vacíos adicionales, el estado del sistema, que era un vacío real, se vuelve falso, el sistema no entrará inmediatamente en un vacío verdadero (por ejemplo, un potencial de doble pozo con un pequeño orificio en el punto donde se encuentra el sistema). Si el pozo es poco profundo, las fluctuaciones externas lo suficientemente intensas pueden transferir el sistema a un vacío vecino con menos energía. Si el pozo de potencial es lo suficientemente profundo, entonces la transición del sistema de un falso vacío metaestable a uno verdadero ocurre debido a la tunelización cuántica . $\varfi=0$

La dinámica de decaimiento es la siguiente. En cierto punto del espacio, se forma un verdadero vacío, lo que conduce a la formación del mismo verdadero vacío en todos los puntos vecinos: la burbuja comienza a crecer a la velocidad de la luz hasta que se encuentra con el frente de expansión de otra burbuja. La densidad de energía se concentra principalmente en el borde de las burbujas, y por dentro están vacías.

Matemáticamente, al calcular la amplitud de la transición, se elige dicho contorno de integración de modo que sea posible tener en cuenta la configuración del instante existente , que da el factor exponencial prevaleciente para la amplitud de la transición , donde es el valor de la acción para el instante [ 63] . ${\ estilo de visualización \ varphi _ {inst}}$ ${\ estilo de visualización \ exp {(-S [\ varphi _ {inst}])))$ $S[\varphi_{inst}]>0$

La inflación como el colapso de un falso vacío

Decenas de factores indican la presencia en la etapa temprana de la evolución del Universo de la fase de expansión- inflación exponencial . Por otra parte, del modelo cosmológico de Friedman se sigue que la aceleración que recibe el cuerpo bajo la acción de la gravedad de la materia es igual a $a$

a=-{\frac {4}{3}}\pi G(\varepsilon +3P)R,

donde es la constante gravitacional , es la densidad de energía y la presión de la materia en el Universo, es el radio de la esfera que contiene la materia (radio del Universo). Teniendo la ecuación de estado de la materia, que relaciona presión y densidad, se puede calcular la aceleración. Para todos los campos de la materia, la presión y la energía son valores positivos, por lo tanto , y el Universo se está contrayendo. $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon, \, P}$ $R$ $un<0$

Para el vacío físico, en el cual ocurren procesos continuos de creación y aniquilación de pares virtuales partícula-antipartícula, la presión es negativa e igual en módulo a la densidad de energía: . En este caso, en ausencia de campos de materia ${\displaystyle P_{vac}=-\varepsilon _{vac))$

a={\frac {8\pi G\varepsilon _{vac}}{3}}R={\frac {\Lambda }{3}}R.

Entonces se puede demostrar que , es decir, el universo se está expandiendo exponencialmente ( expansión de De Sitter ). $R(t)=R_{0}\exp {({\sqrt {\Lambda /3}}t)}$

Sin embargo, durante el enfriamiento del Universo caliente en el período anterior a la inflación, se llenó con cuantos de los campos de la Gran Unificación (por ejemplo, el campo ) con una densidad de g/cm 3 , es decir, no estaba vacío en absoluto. Pero en este momento el Universo ya se había enfriado lo suficiente como para que este vacío fuera falso (ver figura) y comenzaron a formarse en él burbujas de verdadero vacío de ~ 10 −20 cm de tamaño, cuyo radio aumentó con la velocidad de la luz. Como la burbuja está vacía por dentro, su expansión fue exponencial. Al final de la inflación, el tamaño de la burbuja era de 10 32 - 10 40 cm (el tamaño del Universo visible ahora es de 10 28 cm, es decir, vivimos completamente en una de esas burbujas) [77] [78] . $SU(5)$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {vac} / c ^ {2} \ aproximadamente 10 ^ {74}}$

Premios Nobel por la investigación sobre la ruptura espontánea de la simetría

A continuación se muestra una lista de ganadores del Premio Nobel cuya investigación está relacionada o directamente relacionada con la ruptura de simetría espontánea (2008, 2013).

1979 - Sheldon Glashow , Steven Weinberg y Abdus Salam - "por sus contribuciones a la teoría unificada de interacciones débiles y electromagnéticas entre partículas elementales, incluida la predicción de corrientes neutras débiles" [79] .
1982 - Kenneth Wilson - "para la teoría de los fenómenos críticos en relación con las transiciones de fase" [80] .
1999 - Gerard 't Hooft y Martinus Veltman - "por dilucidar la estructura cuántica de las interacciones electrodébiles" [81] .
2008 - Yoichiro Nambu - "por el descubrimiento del mecanismo de ruptura espontánea de la simetría en la física subatómica "; y Makoto Kobayashi y Toshihide Masukawa "por su descubrimiento de la fuente de ruptura de la simetría, que hizo posible predecir la existencia de al menos tres generaciones de quarks en la naturaleza" [82] .
2013 - François Engler y Peter Higgs - "por el descubrimiento teórico de un mecanismo que nos ayuda a comprender el origen de la masa de las partículas subatómicas , confirmado recientemente por el descubrimiento de la partícula elemental predicha en los experimentos ATLAS y CMS en el Gran Colisionador de Hadrones en el CERN [83] .

Notas

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clasificaciones de partículas
Velocidad relativa a la velocidad de la luz	Tardiones ( o bradiones) luxones Hipotético: Taquiones sobrebradyones
Por la presencia de estructura interna y separabilidad.	Partícula elemental ( Partícula fundamental ) partícula compuesta
Fermiones por la presencia de una antipartícula	Fermiones de Dirac Fermiones Mejorana
Formado durante la desintegración radiactiva	α β γ d ε norte
Candidatos para el papel de partículas de materia oscura	ENDEBLE Wimpzilla LSP NLSP
En el modelo inflacionario del universo	inflado curvatón
Por la presencia de una carga eléctrica.	partícula cargada partícula neutra
En las teorías de la ruptura espontánea de la simetría	bosón de Goldstone Fermión de Goldstone ( o goldstino)
por tiempo de vida	partículas estables partículas inestables
Otras clases	partícula virtual partícula subatómica antipartículas Verdaderas partículas neutras partículas libres Partículas idénticas ellos y cuasipartículas Partículas hipotéticas resonancias