Poliedro regular

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Un poliedro regular o sólido platónico es un poliedro convexo , que consta de polígonos regulares idénticos y tiene simetría espacial.

Definición

Un poliedro se llama regular si:

es convexo;
todas sus caras son polígonos regulares iguales ;
el mismo número de aristas convergen en cada uno de sus vértices .

Lista de poliedros regulares

En el espacio euclidiano tridimensional , solo hay cinco poliedros regulares [1] (ordenados por el número de caras):

poliedro regular	Número de vértices	Número de aristas	Número de caras	Número de lados en una cara	Número de aristas adyacentes a un vértice	Tipo de simetría espacial
tetraedro	cuatro	6	cuatro	3	3	Td _
hexaedro	ocho	12	6	cuatro	3	oh _
Octaedro	6	12	ocho	3	cuatro	oh _
Dodecaedro	veinte	treinta	12	5	3	Yo h
icosaedro	12	treinta	veinte	3	5	Yo h

El nombre de cada poliedro proviene del nombre griego por el número de sus caras y la palabra "cara".

Historia

Los poliedros regulares se conocen desde la antigüedad. Sus patrones ornamentales se pueden encontrar en bolas de piedra tallada del Neolítico tardío en Escocia , al menos 1000 años antes de Platón . En los dados con los que se jugaba en los albores de la civilización ya se adivinan las formas de los poliedros regulares.

En gran medida, los poliedros regulares fueron estudiados por los antiguos griegos . Algunas fuentes (como Proclus Diadochus ) atribuyen el honor de su descubrimiento a Pitágoras . Otros afirman que sólo le eran familiares el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y el honor de descubrir el octaedro y el icosaedro pertenece a Teeteto de Atenas , contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio una descripción matemática de los cinco poliedros regulares y la primera prueba conocida de que hay exactamente cinco.

Los poliedros regulares son característicos de la filosofía de Platón , por lo que recibieron el nombre de "sólidos platónicos". Platón escribió sobre ellos en su tratado Timeo (360 a. C.), donde comparó cada uno de los cuatro elementos (tierra, aire, agua y fuego) con un determinado poliedro regular. El tetraedro correspondía al fuego, el hexaedro a la tierra, el octaedro al aire y el icosaedro al agua. Estas comparaciones fueron explicadas por las siguientes asociaciones: el calor del fuego se siente clara y agudamente, como pirámides tetraédricas; los componentes de aire más pequeños del octaedro son tan suaves que apenas se pueden sentir; el agua brota cuando se toma en la mano, como si estuviera hecha de muchas bolitas, a las cuales los icosaedros son los más cercanos; en contraste con el agua, los cubos hexaedros, completamente diferentes a la bola, forman la tierra, lo que hace que la tierra se desmorone en las manos, a diferencia del suave flujo del agua. Con respecto al quinto elemento, el dodecaedro, Platón hizo una vaga observación: "... Dios lo definió para el Universo y recurrió a él como modelo".

Aristóteles añadió un quinto elemento, el éter , y postuló que los cielos estaban hechos de este elemento, pero no lo equiparó con el quinto elemento de Platón.

Euclides dio una descripción matemática completa de los poliedros regulares en el último, XIII libro de los Principios . Las proposiciones 13-17 de este libro describen la estructura del tetraedro, el octaedro, el cubo, el icosaedro y el dodecaedro en este orden. Para cada poliedro, Euclides encontró la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud del borde. La Proposición 18 establece que no hay otros poliedros regulares. Andreas Speiser, matemático de la Universidad de Basilea, argumentó que la construcción de cinco poliedros regulares es el objetivo principal del sistema deductivo de la geometría, tal como fue creado por los griegos y canonizado en los Elementos de Euclides [2] . Gran parte de la información del Libro XIII de los Elementos puede haber venido de los escritos de Teeteto.

En el siglo XVI, el astrónomo alemán Johannes Kepler trató de encontrar una conexión entre los cinco planetas del sistema solar conocidos en ese momento (excluyendo la Tierra) y los poliedros regulares. En El secreto del mundo , publicado en 1596, Kepler expuso su modelo del sistema solar. En él se colocaron cinco poliedros regulares uno dentro de otro y separados por una serie de esferas inscritas y circunscritas. Cada una de las seis esferas correspondía a uno de los planetas ( Mercurio , Venus , Tierra , Marte , Júpiter y Saturno ). Los poliedros se dispusieron en el siguiente orden (de interior a exterior): octaedro, seguido de icosaedro, dodecaedro, tetraedro y finalmente el cubo. Así, la estructura del sistema solar y la relación de distancias entre los planetas estaban determinadas por poliedros regulares. Más tarde, la idea original de Kepler tuvo que ser abandonada, pero el resultado de su búsqueda fue el descubrimiento de dos leyes de la dinámica orbital, las leyes de Kepler, que cambiaron el curso de la física y la astronomía, así como los poliedros estrellados regulares ( cuerpos de Kepler-Poinsot ). .

Propiedades combinatorias

Euler derivó una fórmula que relaciona el número de vértices (B), caras (G) y aristas (P) de cualquier poliedro convexo mediante una relación simple : C + D = P + 2.

La razón del número de vértices de un poliedro regular al número de aristas de una de sus caras es igual a la razón del número de caras del mismo poliedro al número de aristas que salen de uno de sus vértices. Para el tetraedro esta relación es 4:3, para el hexaedro y el octaedro es 2:1, y para el dodecaedro y el icosaedro es 4:1.

Un poliedro regular se puede describir combinatoriamente mediante el símbolo de Schläfli { p , q }, donde: p es el número de aristas en cada cara; q es el número de aristas que convergen en cada vértice.

Los símbolos de Schläfli para poliedros regulares se dan en la siguiente tabla:

Poliedro	picos	costillas	facetas	Símbolo Schläfli
tetraedro	cuatro	6	cuatro	{3, 3}
hexaedro (cubo)	ocho	12	6	{4, 3}
octaedro	6	12	ocho	{3, 4}
dodecaedro	veinte	treinta	12	{5, 3}
icosaedro	12	treinta	veinte	{3, 5}

Otra característica combinatoria de un poliedro, que se puede expresar en términos de los números p y q , es el número total de vértices (B), aristas (P) y caras (G). Dado que cualquier borde conecta dos vértices y se encuentra entre dos caras, se cumplen las siguientes relaciones: $p\Gamma =2{\mbox{P}}=q{\mbox{B}}.$

A partir de estas relaciones y de la fórmula de Euler, podemos obtener las siguientes expresiones para V, P y G:

{\mbox{B}}={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2))),\quad {\mbox{P}}={\frac {2pq}{4-( p-2)(q-2))),\quad \Gamma ={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2))).

Propiedades geométricas

Ángulos

Cada poliedro regular tiene asociados ciertos ángulos que caracterizan sus propiedades. El ángulo diedro entre caras adyacentes de un poliedro regular {p, q} viene dado por:

$\sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p))).$

A veces es más conveniente usar la expresión a través de la tangente :

\operatorname {tg}\,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h))),

donde toma los valores 4, 6, 6, 10 y 10 para el tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, respectivamente. $h$

El defecto de esquina en el vértice de un poliedro es la diferencia entre 2π y la suma de los ángulos entre las aristas de cada cara en ese vértice. Defecto en cualquier vértice de un poliedro regular: $\delta$

\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).

Según el teorema de Descartes , es igual a dividido por el número de vértices (es decir, el defecto total de todos los vértices es igual a ). $4\pi$ $4\pi$

El análogo tridimensional de un ángulo plano es el ángulo sólido . El ángulo sólido Ω en el vértice de un poliedro regular se expresa en términos del ángulo diedro entre caras adyacentes de este poliedro mediante la fórmula:

\Omega =q\theta -(q-2)\pi .

El ángulo sólido subtendido por una cara de un poliedro regular, con su vértice en el centro de este poliedro, es igual al ángulo sólido de la esfera completa ( estereorradián) dividido por el número de caras. También es igual al defecto angular del poliedro dual al dado. $4\pi$

En la siguiente tabla se dan varios ángulos de poliedros regulares. Los valores numéricos de los ángulos sólidos se dan en estereorradianes . La constante es la proporción áurea . $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Poliedro	ángulo diedro θ	$\operatorname {tg}{\frac {\theta}{2}}$	Ángulo plano entre aristas en el vértice	Defecto de esquina (δ)	Ángulo sólido del vértice (Ω)		Ángulo sólido restado por una cara
tetraedro	70,53°	${1 \ sobre {{\ sqrt 2}}}$	60°	$\Pi$	$\arcos \left({\frac {23}{27}}\right)$	$\aprox. 0,551286$	$\Pi$
cubo	90°	una	90°	${\ pi \ sobre 2}$	${\ frac {\ pi} {2}}$	$\aprox. 1,57080$	${2\pi\sobre 3}$
octaedro	109.47°	√2	60°, 90°	${{2\pi } \sobre 3}$	$4\arcsin \left({1 \over 3}\right)$	$\aprox. 1,35935$	${\ pi \ sobre 2}$
dodecaedro	116,57°	$\varphi$	108°	${\pi \más de 5}$	$\pi -\nombre del operador {arctg}\left({\frac {2}{11}}\right)$	$\aprox. 2,96174$	${\pi \más de 3}$
icosaedro	138.19°	$\varfi^{2}$	60°, 108°	${\pi \más de 3}$	$2\pi -5\arcsen \left({2 \over 3}\right)$	$\aprox. 2,63455$	${\pi \más de 5}$

Radios, áreas y volúmenes

Tres esferas concéntricas están asociadas con cada poliedro regular:

La esfera circunscrita que pasa por los vértices del poliedro;
Esfera mediana tocando cada uno de sus bordes en el medio;
Una esfera inscrita tangente a cada una de sus caras en su centro.

Los radios de las esferas circunscritas ( ) e inscritas ( ) vienen dados por las fórmulas: $R$ $r$

R={a \over 2}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\pi }{q))\cdot \operatorname {tg}{\frac {\theta}{2))

r={a \over 2}\cdot \operatorname {ctg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\theta }{2)),

donde θ es el ángulo diedro entre caras adyacentes del poliedro. El radio de la esfera central viene dado por la fórmula:

\rho ={\frac{a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h))),

donde h es el valor descrito anteriormente al determinar los ángulos diedros (h = 4, 6, 6, 10 o 10). Las razones de los radios circunscritos a los radios inscritos son simétricas con respecto a p y q:

{R \over r}=\operatorname {tg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\pi }{q}}.

El área superficial S de un poliedro regular {p, q} se calcula como el área de un p-ágono regular multiplicado por el número de caras Г:

S=\left({a \over 2}\right)^{2}\Gamma p\,\operatorname {ctg}{\frac {\pi }{p)).

El volumen de un poliedro regular se calcula como el volumen de una pirámide regular multiplicado por el número de caras , cuya base es un p-ágono regular, y la altura es el radio de la esfera inscrita r:

V={1\sobre 3}rS.

La siguiente tabla contiene una lista de varios radios, áreas de superficie y volúmenes de poliedros regulares. El valor de la longitud del borde a en la tabla es igual a 2.

Poliedro ( a = 2)	Radio de la esfera inscrita ( r )	Radio medio de la esfera (ρ)	Radio de la esfera circunscrita ( R )	Superficie ( S )	Volumen ( V )
tetraedro	${1 \ sobre {{\ sqrt 6}}}$	${1 \ sobre {{\ sqrt 2}}}$	${\sqrt {3 \sobre 2}}$	$4{\sqrt 3}$	${\frac {2{\sqrt 2}}{3}}$
cubo	$una$	${\ sqrt {2}}$	${\ sqrt {3}}$	${\ estilo de visualización 24}$	$ocho$
octaedro	${\sqrt {2 \sobre 3}}$	$una$	${\ sqrt {2}}$	$8{\sqrt 3}$	${\frac {8{\sqrt 2}}{3}}$
dodecaedro	${\frac{\varfi^{2}}{\xi}}$	$\varfi^{2}$	${\sqrt 3}\,\varfi$	$60{\frac{\varfi}{\xi}}$	$20{\frac{\varphi^{3}}{\xi^{2}}}$
icosaedro	${\frac {\varphi ^{2}}{{\raíz cuadrada 3}}}$	$\varphi$	$\xi \varphi$	$20{\sqrt 3}$	${\frac{20\varfi^{2}}{3}}$

Las constantes φ y ξ vienen dadas por las expresiones

\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5} ={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}={\sqrt {3-\varphi } }.

Entre los poliedros regulares, tanto el dodecaedro como el icosaedro representan la mejor aproximación a una esfera. El icosaedro tiene el mayor número de caras, el ángulo diedro más grande y está más presionado contra su esfera inscrita. Por otro lado, el dodecaedro tiene el defecto angular más pequeño, el ángulo sólido más grande en el vértice y llena su esfera circunscrita tanto como sea posible.

En dimensiones superiores

Hay seis poliedros regulares (poliedros) en el espacio de cuatro dimensiones :

cinco celdas	teseracto	celda hexadecimal	veinticuatro celda	120 celdas	seiscientas celdas

Hay tres poliedros regulares ( politopos ) en cada uno de los espacios de dimensiones superiores : $n>4$

símplex regular n-dimensional
hipercubo n-dimensional
hiperoctaedro n-dimensional

Véase también

Notas

↑ Selivanov D. F .,. Cuerpo geométrico // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
↑ Hermann Weil. "Simetría". Traducción del inglés por B. V. Biryukov y Yu. A. Danilov, editada por B. A. Rosenfeld. Editorial "Ciencia". Moscú. 1968. pág. 101

Enlaces

Smirnov E. Yu. Grupos de Coxeter y poliedros regulares // Escuela de verano "Matemáticas modernas". — Dubná, 2008.
Weisstein, Eric W. Platonic Solids (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Aficionados a las matemáticas/geometría . (Inglés)
Modelos en papel de poliedros regulares . (Inglés)
Ciencias/Geometría/Sólidos platónicos y de Arquímedes . (Inglés)
Sólidos platónicos, de Arquímedes, prismas, sólidos de Kepler-Poinsot y sólidos de Kepler-Poinsot truncados . (Inglés)
M. Wenninger . modelos de poliedros. - Moscú: Mir, 1974. - 236 p.
Gonchar VV Modelos de poliedros . - Moscú: Akim, 1997. - 64 p. — ISBN 5-85399-032-2 .
Gonchar V. V., Gonchar D. R. Modelos de poliedros . - Rostov del Don: Phoenix, 2010. - 143 p. — ISBN 978-5-222-17061-8 .

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4046302-3

poliedros

Correcto

Tridimensional (sólidos platónicos)	tetraedro regular Cubo Octaedro Dodecaedro icosaedro
4D	cinco celdas teseracto celda hexadecimal veinticuatro celda 120 celdas seiscientas celdas
Dimensión mayor (indicada entre paréntesis)	Símplex regular Hipercubo ( Penteract (5) hexadecimal (6) Hepteracto (7) Octeracto (8) Enneract (9) Despreciar (10) ) hiperoctaedro

regular
no convexo

Tridimensional por el número de
caras (indicado entre paréntesis)

Monoedro (1)
diedro (2)
Triedro (3)
tetraedro (4)
Pentaedro (5)
Hexaedro (6)
Heptaedro (7)
Octaedro (8)
Eneaedro (9)
Decaedro (10)
Endecaedro (11)
Dodecaedro (12)
Tridecaedro (13)
Tetradecaedro (14)
Pentadecaedro (15)
Hexadecaedro (16)
Heptadecaedro (17)
Octadecaedro (18)
Eneadecaedro (19)
Icosaedro (20)
Icosotetraedro (24)
Triacontaedro (30)
Hexacontaedro (60)
Eneacontaedro (90)
Hectotriadioedro (132)
Apeiroedro (∞)

convexo

sólidos de Arquímedes

cuerpos catalanes

prismas
prisma triangular prisma cuadrangular prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octogonal Prisma de nueve ángulos prisma decagonal Prisma de once ángulos Prisma dodecagonal

poliedros de johnson

Fórmulas ,
teoremas ,
teorías

Otro