Matriz de transposición

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Una matriz de transposición ( -matriz) es una matriz cuadrada de tamaño ( , ), cuyos elementos se obtienen a partir de los elementos de un vector -dimensional dado mediante la fórmula: ${\ estilo de visualización Tr}$ $n\veces n$ ${\ estilo de visualización n = 2 ^ {m}}$ ${\ estilo de visualización m \ en N}$ $norte$ ${\ estilo de visualización X = (x_ {i})}$

{\displaystyle Tr(X)_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1))

donde el símbolo denota la operación bit a bit " suma módulo 2 ". Las filas y columnas de una matriz de transposición son permutaciones del vector ; cada fila y columna contiene todos los elementos del vector sin repetición. -la matriz es bisimétrica : y para cualquier y . $\oplus$ $X$ $Tr(X)$ $X$ ${\ estilo de visualización Tr}$ $Tr_{i,j}=Tr_{j,i})$ ${\displaystyle Tr_{i,j}=Tr_{n-j+1,n-i+1))$ $i$ $j$

Por ejemplo, la matriz de transposición obtenida a partir de un vector: $Tr(X)$

X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8} \\\end{matrix}}

parece:

Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\ x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{ 2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{ 6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_ {2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_ {7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5 }&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{matriz}}

Propiedad de cuádruples

Un par arbitrario de filas, filas (o un par de columnas) de la matriz de transposición contiene cuatro de los elementos con valores iguales de los elementos diagonales. Por ejemplo, si y son dos elementos seleccionados al azar de una columna de la matriz , entonces esta propiedad implica que la matriz contiene cuatro de los elementos para los cuales se satisfacen las ecuaciones y . Esta propiedad "propiedad de cuatro" es específica de -matrices. $n/2$ ${\ Displaystyle Tr_ {p, q}}$ ${\ Displaystyle Tr_ {u, q}}$ $q$ ${\ estilo de visualización Tr}$ ${\ estilo de visualización Tr}$ $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$ ${\displaystyle Tr_{p,q}=Tr_{u,v))$ ${\displaystyle Tr_{u,q}=Tr_{p,v))$ ${\ estilo de visualización Tr}$

Matriz de transposición con filas mutuamente ortogonales

La propiedad de los cuatros permite obtener una matriz con filas mutuamente ortogonales a partir de una matriz de transposición cambiando el signo de un número impar de elementos en cada uno de los cuatros . Existe un algoritmo para construir una matriz utilizando el producto por componentes de una matriz y una matriz de Hadamard bidimensional , cuyas filas (excepto la primera) se permutan de tal manera que las filas de la matriz resultante son mutuamente ortogonales . : ${\ estilo de visualización Tr}$ $Trs$ $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$ ${\ estilo de visualización p, q, u, v \ en [1, n]}$ $Trs$ ${\ estilo de visualización Tr}$ $norte$ ${\ estilo de visualización H = (h_{ij})}$ $Trs$

Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)

{\displaystyle Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n))

dónde:

" " - el producto de Hadamard,

\circ

En}

es la matriz identidad,

{\ estilo de visualización H (R)}

- -matriz de Hadamard dimensional con permutación de filas , que cambia el signo de un número impar de elementos en cada uno de los cuatros;

norte

R=[1,r_{2},...r_{n}]^{T},r_{2},...r_{n}\en [2,n]

X

es el vector del que se derivan los elementos de la matriz .

{\ estilo de visualización Tr}

El orden de las filas de la matriz de Hadamard se obtuvo experimentalmente para matrices de tamaños 2, 4 y 8. El orden de las filas de la matriz de Hadamard (en relación con la matriz de Sylvester-Hadamard) no depende del vector . Se probó [1] que si es un vector unitario ( ), entonces . $R$ $Trs$ $R$ $X$ $X$ ${\ estilo de visualización \ paralelo X \ paralelo = 1}$ $det(Trs)=-1$

Un ejemplo de obtención de la matriz Trs

Una matriz de transposición con filas mutuamente ortogonales en , se obtiene a partir de un vector mediante la fórmula: $Trs(X)$ $n=4$ $X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix))$

Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\ end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_ {3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{ 1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&- x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{matrix}}

donde es la matriz obtenida del vector , H(R) es la matriz de Hadamard con desplazamiento de fila en el orden dado R, para la cual las filas de la Matriz Trs resultante son mutuamente ortogonales. La primera fila de la matriz resultante contiene los elementos del vector sin permutaciones ni cambios de signo. Dado que las filas de la matriz son mutuamente ortogonales: $Tr(X)$ ${\ estilo de visualización Tr}$ $X$ $Trs(X)$ $X$ $Trs$

{\displaystyle Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T))

por lo tanto, la matriz gira el vector del que se deriva en la dirección del eje . El orden de las filas de la matriz de Hadamard no depende del vector . Se han publicado ejemplos de generación de matrices para . Sigue siendo una pregunta abierta si es posible crear matrices Trs de tamaño superior a 8. $Trs$ $X$ $x_{1}$ $R$ $X$ ${\ estilo de visualización Tr}$ $Trs$ ${\ estilo de visualización n = 2,4,8}$

Notas

↑ Zhelezov OI Determinación de un caso especial de matrices simétricas y sus aplicaciones. Temas Actuales de Matemáticas y Ciencias de la Computación vol. 6, 29-45 ISBN= 978-93-91473-89-1

Literatura

Bellman R. Introducción a la teoría de matrices . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Gantmakher F. R. Teoría de la matriz. - 5ª ed. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 p. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2ª ed.). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Cálculos matriciales. — M .: Mir, 1999. — 548 p. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Curso de álgebra superior. - 9ª ed. - M. : Nauka, 1968. - 432 p.

Enlaces

http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
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