Diagramas de Feynman

Un diagrama de Feynman es una representación gráfica de ecuaciones matemáticas que describen las interacciones de las partículas subatómicas en el marco de la teoría cuántica de campos . Esta herramienta fue inventada por el físico estadounidense Richard Feynman a fines de la década de 1940, mientras estaba en la Universidad de Cornell , para realizar cálculos de dispersión de partículas .

La interacción entre partículas subatómicas requiere cálculos complejos que son difíciles de entender intuitivamente. Los diagramas de Feynman proporcionan un sistema de visualización simple para simplificar estas fórmulas. Este sistema revolucionó toda la física teórica, luego se aplicó en la física aplicada .

Los cálculos de amplitud de probabilidad se realizan utilizando integrales de plano complejo de un gran número de variables . Estas integrales particulares tienen una estructura regular que les permite ser representadas como conjuntos de diagramas. El diagrama de Feynman representa la contribución de las trayectorias de partículas que se conectan y luego se separan en este diagrama. Técnicamente, esta es una representación gráfica del término matemático en una serie de teoría de perturbaciones .

A pesar de su apariencia, los diagramas de Feynman no representan fenómenos físicos. Los únicos elementos reales son las partículas, las líneas entrantes y salientes del gráfico , no las interacciones consideradas por el diagrama.

Historia

Los diagramas de Feynman revolucionaron la física de partículas al hacer accesible la computación a través de dibujos simples y conceptos abstractos [2] . Los diagramas se utilizaron más tarde en la física nuclear , en la teoría de la gravedad o en la física del estado sólido : se han generalizado en muchas áreas de la física [3] . Julian Schwinger los comparó con el advenimiento de la computadora [4] [Nota 1] :

Al igual que el microchip de los últimos años, el diagrama de Feynman ha democratizado la informática.

Tal es su importancia que los historiadores de la ciencia los han colocado en una categoría: Andrew Warwick acuñó el término "tecnología teórica" y Ursula Klein acuñó el término "instrumentos de papel" 5] .

Feynman inventó la técnica del diagrama para realizar cálculos de dispersión en electrodinámica cuántica . Para simplificar sus cálculos de amplitudes de probabilidad , conectó términos matemáticos con gráficos que representaban partículas como líneas y sus interacciones como vértices , la intersección de estas líneas [6] . Su primera idea fue crear una notación que le permitiera realizar los engorrosos cálculos necesarios en la electrodinámica cuántica [7] . Cuando los presentó en la primavera de 1948, casi ninguno de los físicos se dio cuenta de su importancia [Nota 2] . Pero en los meses que siguieron, cada uno los aceptó con sus propias convenciones. A pesar del inicio de la estandarización en 1949, se han desarrollado otras familias de diagramas para varios propósitos, reemplazando las herramientas existentes [8] .

Durante los primeros seis años, los diagramas circularon entre un centenar de físicos de boca en boca y en artículos científicos; los primeros libros en inglés sobre este tema aparecieron en 1955 [Nota 3] [9] . Se difundieron principalmente a través del trabajo de Freeman Dyson , quien llegó a Cornell en 1947 para trabajar con Hans Bethe . El colega de Feynman discutió mucho con él acerca de este método gráfico, que facilita el cálculo de las renormalizaciones . También estudió el método puramente algebraico de Julian Schwinger, así como los métodos de Shinichiro Tomonaga , y finalmente demostró que estos tres enfoques son equivalentes, además, creó una guía para la aplicación de los diagramas de Feynman, mientras que este último aún no ha publicado. un artículo sobre este tema [ 10] .

Antes de Feynman, varias representaciones gráficas utilizadas previamente para una comprensión más intuitiva de los conceptos de la mecánica cuántica no eran tan completas. En particular, se utilizó el diagrama de transiciones entre niveles de energía (inspirado en los diagramas de espectroscopia ) y el diagrama inventado por Gregor Wentzel para describir los procesos de intercambio entre partículas [Nota 4] [11] . Feynman también se inspiró en los diagramas de Minkowski utilizados en la relatividad especial [12] .

Descripción

Los diagramas de Feynman son representaciones gráficas de términos utilizados en cálculos perturbativos. Aunque nunca se han estandarizado, existen muchas convenciones, en parte porque tienen aplicaciones muy diferentes más allá de describir interacciones entre partículas [13] . Por su naturaleza, en física cuántica, son una forma elegante de pasar de describir el proceso de interacción entre electrones y fotones a una fórmula matemática que especifica su amplitud de probabilidad [14] . Con el tiempo, los diagramas se han convertido en el lenguaje en el que los físicos pueden hablar sobre sus cálculos [15] .

Estos diagramas, que parecen representar visualmente las interacciones entre partículas, son de hecho una poderosa herramienta matemática. Richard Feynman los creó para realizar cálculos en electrodinámica cuántica [3] . Luego se generalizaron a todas las interacciones en las que participan partículas elementales conocidas, es decir, a las interacciones electromagnéticas , fuertes y débiles . Los fermiones están representados por una línea con flechas, los antifermiones por una línea con una flecha en la dirección opuesta, los bosones de norma tienen diferentes imágenes: un fotón por una línea ondulada, un gluón por una línea en bucle, los bosones W, Z y Higgs por una línea punteada. línea, seguida de símbolos de partículas (W + , W - , Z, H); los bosones portadores de la interacción débil (W + , W - , Z) a veces se representan con la misma línea ondulada que el fotón [16] .

Partículas elementales
fermión
antifermión
fotón
gluón
bosón masivo

Ejemplos de diagramas donde se utilizan varios tipos de partículas.

Las reacciones más probables para la producción del bosón de Higgs [17]

Los espíritus de Fadeev-Popov se dibujan con una línea de puntos [18] .

Apex anti-espíritu-espíritu-gluón

Representación de otras partículas

Debido a que los diagramas de Feynman no están estandarizados ni siquiera para interacciones elementales, algunos de ellos pueden tener representaciones muy diferentes, a menudo adaptadas al contexto que se utiliza. El protón, que es una partícula compuesta, se puede representar como una línea con una flecha seguida de la letra , un círculo, que generalmente representa hadrones [19] , o tres líneas paralelas que representan dos quarks u y un quark d [ 20] [21] [22] . $pags$

Representaciones de hadrones
Átomo de hidrógeno (protón y electrón).
Aniquilación de quarks-antiquarks a partir de dos hadrones.
Desintegración beta de un neutrón a un protón.
Otra forma de desintegración beta.

Convenciones

Un fenómeno luminoso o electrónico representado en un diagrama de Feynman se denomina "secuencia" [23] . Las secuencias ocurren en el espacio-tiempo , representadas en un marco de referencia con el espacio a lo largo de la abscisa, simplificado a una dimensión en lugar de tres, y el tiempo a lo largo de la ordenada [24] . Feynman eligió dirigir el tiempo hacia arriba, una elección puramente arbitraria, pero los físicos de partículas parecen favorecer cada vez más la orientación de izquierda a derecha [Nota 5] [12] [25] .

Convenciones sobre el espacio y el tiempo
El tiempo se dirige hacia arriba: la convención de Feynman
El tiempo se dirige a la derecha - convención generalmente aceptada

Los fermiones están representados por una línea recta con una flecha, y las partículas portadoras de interacciones (bosones), por líneas onduladas o discontinuas. La secuencia de emisión o absorción de un fotón se denomina "acoplamiento" o "enlace"; está representado por un vértice - un punto de conexión de líneas [26] . El acoplamiento nombra radiación o absorción de manera diferente porque ambos fenómenos tienen la misma amplitud, igual a la constante de estructura fina para la electrodinámica cuántica [1] o la constante de acoplamiento de la fuerza nuclear fuerte para la cromodinámica cuántica [27] . $\alfa$ $\alpha_s$

El diagrama está compuesto por tres elementos: vértices donde se conservan la energía y el momento, las líneas exteriores representan partículas reales entrantes y salientes y las líneas interiores representan partículas virtuales [15] . Cada línea o vértice está asociado a un factor que contribuye a la amplitud de probabilidad del proceso descrito, el factor asociado a una partícula virtual (línea interna) se denomina propagador [28] .

Propiedades

La interacción se describe mediante un conjunto de diagramas de Feynman y está determinada por las partículas entrantes (iniciales) y salientes (finales). Se pueden medir las propiedades de estas partículas, como su energía o su momento, y verificar que se ajustan a la ecuación de equivalencia masa-energía de Einstein ,

E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}\,

en su versión relativista ( conservación de 4 momentos ) [29] . Se dice que las partículas observadas de esta manera están en la capa de masa [30] [31] .

Por otro lado, todas las líneas que están en el medio no son medibles: denotan partículas virtuales , que no obedecen a la relación de equivalencia masa-energía, y no están limitadas por la velocidad de la luz , y tampoco tienen que seguir la flecha del tiempo . Se dice que están fuera de la cáscara [32] [31] .

Para analizar un proceso físico cuyas partículas entrantes y salientes se conocen, los diagramas de Feynman permiten imaginar un número infinito de posibles procesos que ocurren entre estas líneas exteriores. Cada diagrama corresponde, gracias a las reglas de Feynman, a un número complejo [Nota 6] , y la suma de todos estos números, hasta un factor, es igual a la amplitud de dispersión de la reacción [31] . La eficacia de este método radica en que a cada vértice se le asocia un coeficiente proporcional a la constante de acoplamiento , que tiene un valor muy pequeño. Por ejemplo, en electrodinámica cuántica existe una constante de estructura fina [1] :

\alpha ={\frac {e^{2}}{\hbar c}}\approx {\frac {1}{137}}\,.

Dado que los multiplicadores del diagrama se multiplican para obtener su amplitud, todos los diagramas con una gran cantidad de vértices tienen una contribución despreciable; por lo tanto, los diagramas con más de cuatro vértices rara vez se utilizan en electrodinámica cuántica [31] , ya que se obtiene una buena aproximación con seis cifras significativas [33] .

Ejemplos de diagramas de cuatro vértices

Estos procesos, que incluyen cuatro vértices, tienen un bucle, por lo que se denominan de bucle único . Los diagramas sin bucles se denominan diagramas de árbol . Si un diagrama usa n bucles, entonces el diagrama correspondiente se llama diagrama de n bucles. Los diagramas de bucle describen las correcciones radiativas , que desaparecen en el límite clásico en [31] . ${\ estilo de visualización \ hbar \ flecha derecha 0 \,}$

En casos especiales, es necesario aumentar la precisión de los cálculos a órdenes superiores. Por ejemplo, en 2012, para calcular el valor de la constante de estructura fina, un grupo de físicos utilizó el momento magnético anómalo de un electrón medido previamente para compararlo con un cálculo teórico de la teoría de la perturbación de décimo orden que involucraba 12 672 diagramas de Feynman. El error resultante para estimar la constante de estructura fina fue menos de una milmillonésima [34] .

Interacciones fundamentales

Los diagramas de Feynman se utilizan para describir las tres fuerzas fundamentales además de la gravedad .

Electrodinámica cuántica

En esta teoría, tres reglas básicas permiten generar todos los fenómenos físicos que están asociados con la luz y los electrones [23] :

el fotón va de un punto a otro;
un electrón se mueve de un punto a otro;
Un electrón emite o absorbe un fotón.

En un enfoque más general, la electrodinámica cuántica se ocupa de las interacciones entre partículas cargadas (incluidos los electrones y sus antipartículas , los positrones ) y un campo electromagnético (cuyos vectores de fuerza son los fotones ); en los diagramas de Feynman, un electrón está representado por una flecha que apunta a lo largo del eje del tiempo, un positrón por una flecha que apunta en la dirección opuesta y un fotón por una línea ondulada [Nota 7] [35] [36] .

Las interacciones entre estas tres partículas se reducen a un solo patrón en el vértice , que consta de una flecha entrante, una flecha saliente y una conexión con un fotón. Dependiendo de la orientación de este vértice en el tiempo, existen seis posibles interacciones [37] [15] .

Un electrón emite un fotón: $e^{-}\toe^{-}+\gamma$
Un electrón absorbe un fotón: ${\displaystyle e^{-}+\gamma \to e^{-))$
Un positrón emite un fotón: $e^{+}\to e^{+}+\gamma$
Un positrón absorbe un fotón: ${\displaystyle e^{+}+\gamma \to e^{+))$
Un positrón y un electrón se aniquilan en un fotón: $e^{+}+e^{-}\to \gamma$
Un fotón crea un electrón y un positrón: ${\displaystyle \gamma \to e^{-}+e^{+))$

Todas las interacciones entre las partículas cargadas y la luz se construyen a partir de estos bloques de construcción básicos, y solo de ellos, porque están sujetos a las leyes de conservación , en particular, la conservación de la energía , la conservación del impulso y la conservación de la carga eléctrica . Cualquier interacción más compleja es una combinación de estos seis vértices [38] .

Cromodinámica cuántica

En 1968, Richard Feynman demostró que sus diagramas también podían aplicarse a la fuerza fuerte , por lo que permitieron describir la cromodinámica cuántica añadiendo nuevas reglas. Así, un proceso fundamental análogo a la reacción electrón-fotón en electrodinámica es la reacción quark- gluón , en la que se conserva la carga de color (pero no el sabor ). Los gluones, que llevan cargas de color como los quarks (a diferencia de los fotones, que son neutros), tienen vértices que contienen solo gluones [39] .

El pináculo de la cromodinámica cuántica
Gluón quark vértice QCD
Vértice 3 del gluón QCD
Vértice 4 del gluón QCD

El estudio de interacciones fuertes con diagramas de Feynman es posible gracias a la propiedad de libertad asintótica , que permite aplicar la teoría de perturbaciones a quarks y gluones: a muy corta distancia, esta interacción se vuelve débil [40] [41] . Luego se determina la constante de acoplamiento de interacción fuerte para el vértice, marcada como - este es el equivalente de la constante de estructura fina en la electrodinámica cuántica. La complejidad de la cromodinámica cuántica surge del hecho de que los quarks se ven fuertemente afectados por fuerzas no perturbativas. Fijado a niveles de momento muy altos, donde el acoplamiento es débil, el valor permite calcular el resultado del proceso de dispersión a altas energías [42] . $\alpha_s$ $\alpha_s$

Interacción débil

La interacción débil involucra tres de sus bosones de norma , el bosón W en sus dos estados, y , así como el bosón [43] . Estos portadores suelen estar representados por una línea punteada u ondulada (igual que la de un fotón) con la letra del bosón correspondiente. La línea recta con flechas continúa aquí hasta los quarks y otros leptones , con sus símbolos correspondientes [44] . $W^+$ $W^-$ $Z^0$

Pináculo de la interacción electrodébil (sin símbolos)

Significado

Los diagramas de Feynman no son una representación de la trayectoria de las partículas. Matemáticamente, son una forma gráfica de mostrar el contenido del teorema de Wick [45] [46] . De hecho, bajo cuantización canónica , la estimación de la teoría cuántica de campos corresponde al término de expansión de Wick en la teoría de perturbaciones para la evolución de la matriz de dispersión [47] .

Cálculo de amplitud en teoría de perturbaciones

Ningún método permite calcular las soluciones exactas de las ecuaciones que definen el estado de un sistema cuántico, por lo que es necesario recurrir a aproximaciones denominadas series de teoría de perturbaciones . Los diagramas de Feynman permiten visualizar y sistematizar fácilmente los miembros de estas series [48] .

La teoría permite predecir los valores de las secciones transversales de dispersión de los procesos ; estos valores se comparan con los resultados de experimentos de física de partículas para evaluar la confiabilidad de un modelo teórico dado. Un diferencial de uso común de esta sección transversal efectiva es una función del módulo cuadrático de la amplitud de dispersión , denotado como : ${\ matemáticas {M}}$

\mathrm {d} \sigma ={\frac {1}{E^{2}}}\,|{\mathcal {M}}|^{2}\mathrm {d} \Omega \,,

donde es la supuesta energía igual de cada uno de los dos haces de partículas que participan en el experimento [49] . $mi$

No existe una fórmula general para calcular la amplitud , pero la serie de la teoría de la perturbación puede aproximarse al valor exacto [50] . ${\ matemáticas {M}}$

Los diagramas de Feynman son representaciones pictóricas de los términos de una serie infinita que se utilizan para realizar estos cálculos en la teoría de perturbaciones . Cada diagrama representa uno de los términos algebraicos de la serie de perturbaciones [51] . Esta suma algebraica, la expansión de amplitud de dispersión , es equivalente a una serie de diagramas de Feynman. Así, cada miembro está asociado a un gráfico que ofrece un escenario de comportamiento en términos de partículas y sus interacciones, estando cada escenario asociado al otro por sus líneas de entrada y salida [52] . Pasar de una representación a otra permite realizar los cálculos en la forma que parezca más sencilla o apropiada [53] .

Uno de los primeros resultados principales de estos diagramas es que proporcionan una herramienta gráfica para calcular los elementos de la matriz de dispersión en cualquier orden de la teoría de perturbaciones [54] .

Cumbre

La carga de un electrón es muy pequeña: su valor en unidades correctamente elegidas [Nota 8] . Cuando se calcula la contribución de la interacción con un solo fotón, es proporcional a , con dos fotones - es proporcional a , con tres - surge un factor que es unas 10.000 veces menor que . Si bien esta idea parece conducir a una eliminación muy rápida de la contribución de interacciones insignificantes, su cálculo práctico es extremadamente difícil: un alumno de Werner Heisenberg intentó calcular la contribución de dos fotones (en ), pero terminó con cientos de términos. [1] . $mi$ $e^{2}\approx {\tfrac {1}{137))$ ${\ estilo de visualización e ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización e^{4))$ ${\ estilo de visualización e ^ {6}}$ ${\ estilo de visualización e ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización e^{4))$

En el diagrama de Feynman, la contribución del término perturbativo es obvia: el vértice da una contribución igual a , entonces todos los factores se pueden clasificar según su contribución, , , etc. [55] . Para encontrar la probabilidad de cambiar el estado cuántico del fenómeno en estudio, solo queda calcular aquellos términos que son necesarios para la precisión deseada, excluyendo un número infinito de otros casos posibles [56] . $mi$ ${\ estilo de visualización e ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización e^{4))$ ${\ estilo de visualización e ^ {6}}$

Partículas virtuales

En los albores de la electrodinámica cuántica en la década de 1930, los cálculos en los casos más simples, como conocer la probabilidad de dispersión de dos electrones, a menudo daban valores infinitos: solo eran posibles aproximaciones, pero tan pronto como queríamos encontrar valores más precisos, entonces apareció el infinito. Esto se debe a que los fotones virtuales intercambiados entre partículas cargadas en esta interacción pueden tener una energía muy alta si la usan durante un tiempo muy corto. Además de energías ilimitadas, el número de partículas virtuales también es ilimitado: las ecuaciones algebraicas requieren un número de términos, que crece exponencialmente con el número de fotones [57] .

El cálculo de la integral de trayectoria , que da la probabilidad de que una partícula cuántica se mueva de un punto a otro, requiere sumar las contribuciones de todas las trayectorias posibles entre estos dos puntos, así como tener en cuenta las contribuciones de las trayectorias imposibles [58] . No es posible un cálculo exacto, porque sería necesario sumar un número infinito de estados intermedios [59] . Los diagramas de Feynman permiten encontrar la probabilidad deseada entre esta infinidad de posibilidades, y con la ayuda de reglas extremadamente simples [60] .

Propagadores

En los diagramas de Feynman, los propagadores son las contribuciones de las partículas virtuales. Su nombre proviene del hecho de que describen la propagación de estas partículas, que se mueven libremente, excepto en los puntos de emisión o absorción [61] . Richard Feynman aplicó las funciones de Green a las partículas elementales en forma de un operador especial de la teoría cuántica de campos, al que llamó propagador [62] .

Para un bosón libre , la ecuación de Klein-Gordon da la ecuación de movimiento:

{\ estilo de visualización (p^{2}-m^{2})\psi (p)=0\,,}

donde es una función de onda escalar. La función de Green es la solución de la siguiente ecuación en el espacio de cantidad de movimiento [63] : ${\ estilo de visualización \ psi (p)}$ ${\ estilo de visualización G (p)}$

(p^{2}-m^{2})G(p)=\delta ^{4}(p)\,,

donde el símbolo denota la distribución de Dirac , con $\delta$ $\delta ^{4}(p)=\delta (p_{0})\delta (p_{1})\delta (p_{2})\delta (p_{3})\,.$

G(p)={\frac {\delta ^{4}(p)}{p^{2}-m^{2))}\,.

Feynman interpretó como la amplitud de probabilidad asociada con un bosón que se propaga con cuatro impulsos , que se incluye en la expresión [61] : ${\ estilo de visualización G (p)}$ $pags$

{\frac{i}{p^{2}-m^{2))}\,.

De manera similar, define un operador para los vértices (responsable de la emisión o absorción de un bosón), lo que conduce a las reglas de Feynman, que permiten calcular las amplitudes descritas por sus diagramas [62] .

Presentación

Según el principio de incertidumbre de Heisenberg , no podemos asignar una trayectoria a una partícula. Niels Bohr lo interpreta radicalmente, argumentando que los fenómenos cuánticos no se pueden imaginar [6] . Los diagramas de Feynman parecen contradecir esta afirmación, mostrando directamente lo que puede suceder a nivel atómico. La analogía con las huellas que dejan las partículas en las cámaras de burbujas refuerza esta idea [64] . Sin embargo, estos diagramas de ninguna manera representan eventos físicos [65] . Incluso pueden ser engañosos porque contradicen el fenómeno que ilustran: por ejemplo, en la dispersión de Baba, un electrón y un positrón se atraen entre sí, mientras que en su diagrama las líneas eventualmente se separan y las partículas parecen repelerse entre sí. [33] .

Desde un punto de vista físico, un diagrama de Feynman corresponde a un conjunto infinito de eventos, la suma de todos los caminos posibles e imposibles, representados por una integral de camino . Además, no tiene escala, sus vértices y líneas no son ni partículas ni distancias [65] . Matemáticamente, los diagramas utilizados en la teoría cuántica de campos son solo los términos de la suma de las amplitudes de probabilidad , una aproximación en la serie de la teoría de perturbaciones . Tal diagrama corresponde a eventos no observables llamados " partículas virtuales " [66] .

Richard Feynman advirtió contra el uso figurativo de sus diagramas. Los consideró solo como una ayuda en la interpretación de las ecuaciones de la teoría de campos [11] . También los encontró divertidos cuando comenzó a dibujarlos, y no eran intuitivos cuando los presentó a otros físicos [67] .

Sin embargo, su éxito se debe al hecho de que han demostrado ser una valiosa ayuda para la visualización y manipulación de series de perturbaciones, especialmente porque cada término algebraico tiene un diagrama de Feynman correspondiente [52] . Así, Julian Schwinger destacó sus virtudes educativas y no físicas [68] .

Para simplificar lo más posible, podemos decir que los diagramas de Feynman muestran la dispersión de electrones y fotones en forma abstracta. Pero la mayoría de los físicos evitan usar esta analogía [69] .

Estos diagramas a veces se confunden con los diagramas anteriores a Feynman Minkowski que describen intuitivamente las propiedades del espacio-tiempo en la relatividad especial [70] .

Reglas de Feynman

Las reglas de Feynman traducen el diagrama directamente en una contribución , asignan un factor algebraico a cada elemento, y el producto de estos factores da el valor de esta contribución (la suma de las contribuciones da un valor aproximado de ) [50] . ${\ matemáticas {M}}$ ${\ matemáticas {M}}$

Para las fórmulas algebraicas posteriores se utiliza el sistema de unidades naturales , donde la constante de Planck reducida y la velocidad de la luz son unidades, por tanto: . $\hbar$ $C$ ${\ estilo de visualización \ hbar = c = 1}$