Número de intersecciones (teoría de nudos)

En la teoría de nudos, el número de intersección de un nudo  es el número más pequeño de intersecciones en cualquier diagrama de nudos. El número de intersecciones es el nudo invariante .

Ejemplos

Como ejemplo, el nudo trivial tiene cruces por cero, el trébol tiene tres cruces y el ocho tiene cuatro cruces. No hay más nodos con uniones de cuatro o menos, y solo dos nodos con uniones de cinco, pero el número de nodos con uniones específicas crece rápidamente a medida que aumenta el número de uniones.

Tablas

Las tablas de nudos simples se indexan tradicionalmente por el número de intersecciones, con una descripción adicional de qué nudo del conjunto de nudos con un número dado de intersecciones se entiende (esta ordenación no se basa en ninguna propiedad, a excepción de los nudos toroidales , para los cuales los nudos torcidos se enumeran primero). La lista comienza con 3 1 (trébol), 4 1 (ocho), 5 1 , 5 2 , 6 1 , y así sucesivamente. Este orden no ha cambiado significativamente desde que Tait publicó la tabla en 1877 [1] .

Aditividad

Hay muy poco progreso en la comprensión del comportamiento del número de intersección en las operaciones elementales en los nodos. La gran pregunta abierta es si el número de intersecciones es aditivo con respecto a la operación de concatenación . También se espera que el nodo satélite del nodo K tenga más intersecciones que K , pero esto no ha sido probado.

La aditividad del número de intersecciones de una concatenación de nudos ha sido probada para casos especiales, por ejemplo, si los nudos originales son alternos [2] o si los nudos originales son tóricos [3] [4] . Mark Luckenbay ha dado una prueba de que existe una constante N  > 1 tal que , pero su método usando superficies normales no puede mejorar N a 1 [5] .

Aplicación en bioinformática

Existe una extraña relación entre el número de cruces de nudos y el comportamiento físico de los nudos de ADN . Para nudos de ADN simples, el número de cruces es un buen predictor de la velocidad relativa del nudo de ADN por electroforesis en gel de agarosa. Básicamente, un mayor número de cruces da como resultado una mayor velocidad relativa [6] .

Invariantes relacionados

Hay conceptos relacionados del número medio de intersecciones y el número asintótico de intersecciones. Ambos conceptos definen los límites del número estándar de intersecciones. Existe la conjetura de que el número asintótico de intersecciones es igual al número de intersecciones.

Otras invariantes de nudos numéricos incluyen el número de puentes , el factor de enlace , el número de segmentos y el número de desenredado .

Notas

  1. ↑ Tait, 1898 , pág. 273-347.
  2. ↑ Adams, 2004 , pág. 69.
  3. ↑ Gruber, 2003 .
  4. ↑ Diao, 2004 , pág. 857–866.
  5. ↑ Lackenby, 2009 , pág. 747-768.
  6. ↑ Jonathan, 1996 , pág. 39-58.

Literatura