Distribución gamma

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Distribución gamma
Densidad de probabilidad
función de distribución
Designacion	$\gamma (k,\theta)$ o [1] ${\ estilo de visualización \ gamma (\ alfa, \ beta)}$
Opciones	$k>0,\;\theta >0$
Transportador	$x\in (0,\infty)$
Densidad de probabilidad	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k))}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta ))))$
función de distribución	${\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Valor esperado	${\ Displaystyle k \ theta}$
Mediana	Sin expresión de cierre explícita
Moda	${\ estilo de visualización (k-1) \ theta}$ a $k\geq 1$
Dispersión	$k\theta^{2}$
Coeficiente de asimetría	${\frac{2}{{\sqrt {k))))$
Coeficiente de curtosis	${\frac{6}{k))$
entropía diferencial	${\begin{alineado}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{alineado))$
Función generadora de momentos	${\displaystyle (1-\theta t)^{-k))$ a $t<{\frac {1}{\theta ))$
función característica	$(1-\theta it)^{-k}$

La distribución gamma en la teoría de la probabilidad es una familia de dos parámetros de distribuciones absolutamente continuas . Si el parámetro toma un valor entero , dicha distribución gamma también se denomina distribución de Erlang . $k$

Definición

Sea la distribución de una variable aleatoria dada por la densidad de probabilidad , que tiene la forma $X$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matriz}x^{{k-1}}{\frac {e^{{-x/\theta }}}{\theta ^{k} \,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matriz}}\right.,

donde es la función gamma de Euler .

\gamma (k)

Entonces se dice que la variable aleatoria tiene una distribución gamma con parámetros positivos y . ellos escriben $X$ $\ theta$ $k$ $X\thicksim\Gamma (k,\theta)$

Comentario. A veces se utiliza una parametrización diferente de la familia de distribuciones gamma. O ingrese el tercer parámetro: cambio.

Momentos

La expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria , que tiene una distribución gamma, tienen la forma $X$

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=k{\theta ))

\mathbb {D} [X]=k{\theta^{2))

Propiedades de la distribución gamma

Si son variables aleatorias independientes tales que , entonces $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n$

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \ Correcto)

Si , y es una constante arbitraria, entonces $X\thicksim\Gamma (k,\theta)$ $a>0$

aX\thicksim\Gamma (k,a\theta)

La distribución gamma es infinitamente divisible .

Relación con otras distribuciones

La distribución gamma es una distribución de Pearson de tipo III [2] .
La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma:

\Gamma (1,1/\lambda )\equiv \mathrm {Exp} (\lambda )

Si son variables aleatorias exponenciales independientes tales que , entonces $X_{1},\ldots,X_{k}$ $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda),\;i=1,\ldots,k$

Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,1/\lambda)

La distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma:

\Gamma \left({\frac {n}{2)),2\right)\equiv \chi ^{2}(n)

De acuerdo con el teorema del límite central , en general, la distribución gamma se puede aproximar mediante la distribución normal : $k$

\Gamma (k,\theta )\approx \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})

en .

k\to\infty

Si son variables aleatorias independientes tales que , entonces $X_{1},X_{2}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2$

{\frac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim {\mathrm {\mathrm{B} }}(k_{1},k_{2})

La distribución de Rayleigh se reduce a la distribución gamma por un cambio de variable.
La distribución habitual de Weibull se reduce a la distribución gamma por un cambio de variable.
La distribución de Nakagami , por cambio de variable, se reduce a la distribución gamma.
Una generalización natural de la distribución gamma es la distribución gamma truncada.

Simulación de valores gamma

Teniendo en cuenta la propiedad de escalar por el parámetro θ mencionado anteriormente, basta con simular el valor gamma para θ = 1. La transición a otros valores del parámetro se realiza mediante una simple multiplicación.

Usando el hecho de que la distribución coincide con la distribución exponencial, obtenemos que si U es una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo (0, 1], entonces . $\gamma(1,1)$ ${-\lnU}\sim\Gamma(1,1)$

Ahora, usando la propiedad k -sum, generalizamos este resultado:

\sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),

donde U i son variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas en el intervalo (0, 1).

Queda por simular el valor gamma para 0 < k < 1 y una vez más aplicar la propiedad de suma de k . Esta es la parte más difícil.

A continuación se muestra el algoritmo sin prueba. Es un ejemplo de muestreo de varianza .

Establecer m igual a 1.
Generan y son variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente en el intervalo (0, 1). $V_{{2m-1}}$ $V_{{2m}}$
Si , donde , vaya al paso 4, de lo contrario vaya al paso 5. $V_{{2m-1}}\leq v_{0}$ $v_{0}={\frac e{e+\delta ))$
poner _ Vaya al paso 6. $\xi _{m}=\left({\frac {V_{{2m-1}}}{v_{0}}}\right)^{{{\frac 1\delta }}},\ \eta _ {m}=V_{{2m}}\xi _{m}^{{\delta -1}}$
poner _ $\xi _{m}=1-\ln {{\frac {V_{{2m-1}}-v_{0}}{1-v_{0}}}},\ \eta _{m}=V_ {{2m}}e^{{-\xi _{m}}}$
Si , aumente m en uno y regrese al paso 2. $\eta _{m}>\xi _{m}^{{\delta -1}}e^{{-\xi _{m}}}$
Aceptar para su implementación . $\xi =\xi _{m}$ ${\ estilo de visualización \ gamma (\ delta, 1)}$

Para resumir:

\theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),

donde [ k ] es la parte entera de k , y ξ se genera mediante el algoritmo anterior para δ = { k } (parte fraccionaria de k ); U i y V l se distribuyen como antes y son independientes por pares.

Notas

↑ Rodionov, 2015 , pág. 29
↑ Korolyuk, 1985 , pág. 134.

Literatura

Lagutín M.B. Estadísticas matemáticas visuales. - M. : Binom, 2009. - 472 p.
Zhukovsky M. E. , Rodionov I. V. Fundamentos de la teoría de la probabilidad. - M. : MIPT, 2015. - 82 p.
Zhukovsky M. E. , Rodionov I. V. , Shabanov D. A. Introducción a la estadística matemática. - M. : MIPT, 2017. - 109 p.
Korolyuk vs. , Portenko N. I. , Skorokhod A.V. , Turbina A.F. Manual de Teoría de la Probabilidad y Estadística Matemática. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula