Hipótesis de Bateman-Horn

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La conjetura de Bateman-Horn es una afirmación de teoría numérica sobre la frecuencia de los números primos entre los valores de un sistema de polinomios . Formulado por Paul Bateman y Roger Horn en 1962. Es una generalización de la conjetura de Hardy-Littlewood sobre la densidad de los primos gemelos y la conjetura sobre los números primos de la forma n 2 + 1; y es también un reforzamiento de la hipótesis H.

Definición

La hipótesis de Bateman-Horn proporciona[ aclarar ] la supuesta densidad de enteros positivos tales que todos los polinomios dados tienen valores primos. Para un conjunto de m polinomios irreducibles distintos ƒ 1 , …, ƒ m con coeficientes enteros, una condición necesaria obvia para que los polinomios generen simultáneamente valores primos infinitamente a menudo es que satisfagan la propiedad de Bunyakovsky , que no existe un número primo p que divide su producto f ( n ) por cada entero positivo n . Porque si existiera tal número primo p , entonces tener todos los valores polinómicos primos simultáneamente para un n dado significaría que al menos uno de ellos debe ser igual a p , lo que solo puede suceder para un número finito de valores de n , de lo contrario habrá un polinomio con infinito el número de raíces, mientras que la conjetura es cómo especificar las condiciones bajo las cuales los valores son simultáneamente primos para un número infinito n .

Un entero n es un primo generador para un sistema dado de polinomios si cada polinomio ƒ i ( n ) produce un número primo cuando se le da n como argumento. Si P ( x ) es el número de enteros que generan primos entre los enteros positivos menores que x , entonces la conjetura de Bateman-Horn establece que

P(x)\sim {\frac {C}{D}}\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\log t)^{m}}},\,

donde D es el producto de las potencias de los polinomios y C es el producto de los primos p .

C=\prod _{p}{\frac {1-N(p)/p}{(1-1/p)^{m))}\

con el número de soluciones para ${\ estilo de visualización N (p)}$

f(n)\equiv 0{\pmod {p)).\

La propiedad de Bunyakovsky implica para todos los números primos p , por lo que todo factor en el producto infinito C es positivo. Entonces uno esperaría intuitivamente que la constante C sea en sí misma positiva, y con algo de trabajo esto se puede probar. (Se necesita trabajo porque algunos productos infinitos de números positivos son cero). ${\ estilo de visualización N (p) <p}$

Números negativos

Como se dijo anteriormente, la conjetura es falsa: el único polinomio ƒ 1 ( x ) = − x solo da números negativos cuando se le da un argumento positivo, por lo que la proporción de números primos entre sus valores siempre es cero. Hay dos formas igualmente válidas de refinar la hipótesis para evitar esta dificultad:

Se puede exigir que todos los polinomios tengan coeficientes principales positivos, de modo que solo un número constante de sus valores pueda ser negativo.
Alternativamente, se pueden permitir coeficientes principales negativos, pero considerar un número primo negativo si su valor absoluto es primo.

Es razonable permitir que los números negativos se consideren primos como un paso hacia la formulación de supuestos más generales aplicables a otros sistemas numéricos distintos de los enteros, pero al mismo tiempo es fácil simplemente negar los polinomios y, si es necesario, reducirlos al caso en que el los coeficientes principales son positivos.

Ejemplos

Si el sistema de polinomios consta de un solo polinomio ƒ 1 ( x ) = x , entonces los valores de n para los cuales ƒ 1 ( n ) son números primos son en sí mismos números primos, y la conjetura se convierte en una reformulación del número primo teorema _

Si el sistema de polinomios consta de dos polinomios ƒ 1 ( x ) = x y ƒ 2 ( x ) = x + 2, entonces los valores de n para los cuales tanto ƒ 1 ( n ) como ƒ 2 ( n ) son primos números, entonces este es simplemente el más pequeño de los dos números primos en cada par de gemelos . En este caso, la conjetura de Bateman-Horn se reduce a la conjetura de Hardy-Littlewood sobre la densidad de los primos gemelos, según la cual el número de pares de primos gemelos menores que x es

\pi _{2}(x)\sim 2\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2))}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}\aprox. 1,32{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.

Un análogo para polinomios sobre un campo finito

Cuando los números enteros son reemplazados por el anillo polinomial F [ u ] para un campo finito F , uno puede preguntarse con qué frecuencia el conjunto finito de polinomios f i ( x ) en F [ u ][ x ] toma simultáneamente valores irreducibles en F [ u ] cuando reemplazamos x elementos de F [ u ]. Las conocidas analogías entre los números enteros y F [ u ] ofrecen una analogía de la conjetura de Bateman-Horn sobre F [ u ], pero la analogía es incorrecta. Por ejemplo, los datos muestran que el polinomio

{\ estilo de visualización x^{3}+u\,}

en F 3 [ u ][ x ] toma (asintóticamente) el número esperado de valores irreducibles cuando x pasa por polinomios en F 3 [ u ] de grado impar , pero parece tomar (asintóticamente) el doble de valores irreducibles como se esperaba cuando x corre sobre polinomios de grado 2 módulo 4, mientras que (probablemente) no toma ningún valor irreducible cuando x corre sobre polinomios no constantes con grado divisible por 4. Un análogo de la conjetura de Bateman-Horn sobre F [ u ], que corresponde a datos numéricos, utiliza un factor asintótico adicional que depende del valor de d módulo 4, donde d es el grado de los polinomios en F [ u ] sobre los que se muestrea x .

Enlaces

Bateman Paul Trevier, Horne Roger Alan (1962), Una fórmula asintótica heurística para la distribución de números primos , Matemáticas de la computación V. 16 (79): 363–367 , DOI 10.2307/2004056
Guy, Richard Kennett (2004), Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.), Springer Publishing , ISBN 978-0-387-20860-2
Friedlander John, Granville Andrew (1991), Restricciones en la distribución uniforme de números primos. IV. , Actas de la Royal Society A T. 435 (1893): 197–204 , doi 10.1098/rspa.1991.0138 .
Soren Laing Aletia-Zomlefer, Lenny Fukshsky, Stefan Ramon Garcia (25 de julio de 2018), UNA HIPÓTESIS PARA GOBERNARLAS A TODAS: BATEMAN–HORN , p. 1–45

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