Isomorfismo


Un ejemplo de dos gráficos isomorfos. El isomorfismo asocia los vértices de un gráfico con los vértices de otro gráfico del mismo color: dos vértices están conectados por una arista en un gráfico si y solo si los vértices del mismo color están conectados por una arista en otro gráfico.

Isomorfismo (del otro griego ἴσος - igual, idéntico, similar y μορφή - forma) - la relación entre objetos matemáticos, expresando la generalidad de su estructura; Se utiliza en diversas ramas de las matemáticas y en cada una de ellas se determina en función de las propiedades estructurales de los objetos objeto de estudio. Usualmente, el isomorfismo se define para conjuntos dotados de alguna estructura , por ejemplo, para grupos , anillos , espacios lineales ; en este caso se define como una aplicación invertible (una biyección) entre dos conjuntos con una estructura que conserva esta estructura, es decir, muestra que los objetos están “dispuestos de la misma manera” en el sentido de esta estructura. Si hay un isomorfismo entre los objetos, se dice que son isomorfos . Un isomorfismo siempre define una relación de equivalencia en la clase de tales estructuras.

Por ejemplo, dos grafos se denominan isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos: es decir, los vértices de un grafo se pueden asociar con los vértices de otro grafo, de modo que los vértices conexos del primer grafo correspondan a los vértices conexos del grafo. segundo gráfico y viceversa. En otras palabras, dos gráficos son isomorfos si son "iguales" (hasta el cambio de nombre del vértice).

Otro ejemplo clásico de sistemas isomorfos es el conjunto de todos los números reales con la operación de suma definida en él, y el conjunto de números reales positivos con la operación de multiplicación definida en él. El mapeo en este caso es un isomorfismo. $\matemáticas {R}$ ${\matemáticas R}_{+}$ $x\mapsto\exp(x)$

El concepto de isomorfismo surgió en matemáticas en relación a los grupos , posteriormente trasladado a otras clases de objetos.

Álgebra general

En álgebra general, un isomorfismo es una aplicación invertible que es un homomorfismo .

Por ejemplo, para grupos y una biyección se llama isomorfismo si . Si los grupos son topológicos , entonces se agrega la condición de homeomorfismo de los espacios topológicos correspondientes [1] . $GRAMO$ $H$ $f\dos puntos G\to H$ $a,\;b\en sol$ $f(a)f(b)=f(ab)$

Para campos y una biyección se llama isomorfismo si conserva ambas operaciones de campo, es decir, para cualquiera se cumple: $F_{1}$ $F_{2}$ $f\dos puntos F_{1}\to F_{2}$ $a,b\en F_{1}$

$f(a)+f(b)=f(a+b)$ ,
$f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)$ .

Por ejemplo, el anillo de cociente para un anillo de polinomio con coeficientes reales módulo el polinomio es un campo isomorfo [2] al campo de los números complejos : $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $\matemáticas {C}$

\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbb {C}

Para campos con estructura adicional ( campos ordenados , topológicos ), se puede agregar la condición de que la biyección también conserve estas estructuras adicionales.

La definición más general de isomorfismo está en la teoría de categorías : los objetos de una categoría son isomorfos si hay un morfismo invertible entre ellos, es decir, un morfismo para el cual existe un morfismo tal que las composiciones y son morfismos idénticos. Las definiciones de la categoría de grupos, la categoría de anillos, la categoría de espacios vectoriales y otras estructuras están construidas de tal manera que las definiciones clásicas de isomorfismo de grupos, anillos, espacios vectoriales coinciden con la definición general de isomorfismo en una categoría. . Al mismo tiempo, también se introduce el concepto de isomorfismo de categoría , es decir , una correspondencia biunívoca entre categorías con funtores invertibles. $\varphi$ $\varfi ^{{-1}}$ $\varphi ^{{-1}}\circ \varphi$ $\varphi \circ \varphi ^{{-1}}$

Teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos, cualquier biyección es un isomorfismo.

Por ejemplo, dos conjuntos parcialmente ordenados son isomorfos si entre ellos existe una biyección que conserva el orden [3] .

Espacios lineales

Dos espacios lineales y sobre el mismo campo se denominan isomorfos si es posible establecer una correspondencia biunívoca entre los vectores y de tal forma que se cumplan las condiciones [4] : ${\ estilo de visualización V' (F)}$ ${\ estilo de visualización V'' (F)}$ $F$ ${\ estilo de visualización x'\ en V'}$ ${\ estilo de visualización x''\ en V''}$

si vector corresponde a vector , y vector corresponde a vector , entonces vector corresponde a vector . $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {y} ''\in V''$ $\mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'$ $\mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''$
si un vector corresponde a un vector , y es un elemento del campo , entonces el vector corresponde a un vector . $\mathbf {x} '\in V'$ $\mathbf {x} ''\in V''$ $\lambda$ $F$ $\lambda \mathbf {x} '\in V'$ $\lambda \mathbf {x} ''\in V''$

Espacios normados

Para espacios normados, un mapeo de uno de ellos al otro se llama isomorfismo de espacio normado , si es lineal , continuo y biyectivo , y el mapeo inverso también es continuo. En este sentido, un isomorfismo conserva la estructura espacial lineal y la topología , pero no necesariamente conserva la norma. Si un isomorfismo también conserva la norma, entonces se le llama isomorfismo isométrico o isometría [5] .

Teoría de grafos

Un grafo se llama isomorfo a un grafo si existe una biyección del conjunto de vértices del grafo al conjunto de vértices del grafo , que tiene la siguiente propiedad: si el grafo tiene una arista de vértice a vértice , entonces el grafo debe tener una arista de vértice a vértice y viceversa; si el gráfico tiene una arista de vértice a vértice , entonces el gráfico debe tener una arista de vértice a vértice . En el caso de un grafo dirigido , esta biyección también debe conservar la orientación de la arista. En el caso de un gráfico ponderado, la biyección también debe conservar el peso de la arista. $GRAMO$ $H$ $F$ $GRAMO$ $H$ $GRAMO$ $A$ $B$ $H$ $fa)$ $pensión completa)$ $H$ $A$ $B$ $GRAMO$ $f^{-1}(A)$ $f^{-1}(B)$

En la teoría de la complejidad computacional , la cuestión de la complejidad del problema de isomorfismo de grafos sigue abierta . Por el momento, no se ha probado ni su pertenencia a la clase $PAGS$ ni su integridad . $notario público$

Definiciones relacionadas

Un isomorfismo de un sistema algebraico sobre sí mismo se llama automorfismo . El conjunto de todos los automorfismos de algún sistema algebraico con la operación de composición y el mapeo de identidad como elemento neutro forma un grupo . El grupo de automorfismos de un sistema algebraico se denota por . El ejemplo más simple de automorfismo es un automorfismo de conjuntos , es decir, una permutación de los elementos de este conjunto. $k$ $\operatorname {Aut}K$

Cualquier elemento del grupo define el siguiente automorfismo, que se llama automorfismo interno : cada elemento del grupo está asociado con su elemento conjugado : $gramo$ $X$ ${\displaystyle gxg^{-1))$

{\ Displaystyle f (x) = gxg ^ {-1))

Teoremas de isomorfismo

Los teoremas de isomorfismo en álgebra son una serie de teoremas que relacionan los conceptos de factor , homomorfismo y objeto anidado . El enunciado de los teoremas es un isomorfismo de algún par de grupos , anillos , módulos , espacios lineales , álgebras de Lie u otras estructuras algebraicas (dependiendo de la aplicación). Por lo general, hay tres teoremas de isomorfismo , llamados el Primero (también el teorema fundamental del homomorfismo ), el Segundo y el Tercero. Aunque tales teoremas se derivan con bastante facilidad de la definición del factor y nadie es particularmente acreditado por su descubrimiento, se cree que Emmy Noether dio las formulaciones más generales .

Notas

↑ L. S. Pontryagin Grupos continuos. S 392
↑ Faddeev D.K. Conferencias sobre álgebra. - M. : Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 pág.
↑ Vereshchagin N. K., Shen A. Conferencias sobre lógica matemática y teoría de algoritmos. Parte 1. Inicios de la teoría de conjuntos. página 48
↑ Shilov G. E. Introducción a la teoría de los espacios lineales. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - p. 70
↑ Pyotr Borodin, A. Savchuk, I. Sheipak. Problemas de Análisis Funcional . - MTSNMO, 2017. - S. 28. - 337 p. — ISBN 9785040485147 .

Literatura

Van der Waerden B. L. Álgebra. San Petersburgo: Lan, 2004, 624 páginas, ISBN 5-8114-0552-9 .
Pontryagin, Lev Semionovich . Grupos continuos. — M .: URSS , 2004. — 520 p. — ISBN 5-354-00957-X .
Isomorfismo - artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . O. A. Ivanova, D. M. Smirnov

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	J9U : 987007565408405171 LCCN : sh85068654