Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número ( raíz de segundo grado ) es un número que da cuando se eleva al cuadrado [1] : Definición equivalente: la raíz cuadrada de un número es la solución a la ecuación La operación de calcular el valor de la raíz cuadrada de un número se llama "sacar la raíz cuadrada" de este número. $a$ $X$ $a$ $x\cdot x=a.$ $a$ ${\ estilo de visualización x ^ {2} = a.}$ $a$

La mayoría de las veces, y significa números reales , pero también hay generalizaciones para números complejos y otros objetos matemáticos , como matrices y operadores . $X$ $a$

Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas opuestas . Por ejemplo, las raíces cuadradas del número 9 son y ambos números tienen los mismos cuadrados y son iguales a 9. Esto dificulta el trabajo con las raíces. Para garantizar la falta de ambigüedad, se introduce el concepto de raíz aritmética , cuyo valor es siempre no negativo para (y positivo para positivo ); la raíz aritmética de un número se denota por el signo de la raíz (radical) [2] [3] : . ${\ estilo de visualización +3}$ ${\ estilo de visualización -3,}$ $a\geqslant 0$ $a$ $a$ ${\ sqrt {a}}$

Ejemplo para números reales: porque ${\ estilo de visualización {\ sqrt {16}} = 4,}$ ${\ estilo de visualización {\ 4}^ {2} = 16.}$

Si se requiere tener en cuenta la ambigüedad de la raíz, se coloca un signo más o menos antes del radical [2] ; por ejemplo, así se hace en la fórmula para resolver una ecuación cuadrática : $hacha^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Historia

Los primeros problemas relacionados con la extracción de la raíz cuadrada se encuentran en los escritos de los matemáticos babilónicos . Entre tales tareas [4] :

Aplicación del teorema de Pitágoras para encontrar el lado de un triángulo rectángulo dados los otros dos lados conocidos.
Encontrar el lado de un cuadrado cuya área está dada.
Solución de ecuaciones cuadráticas .

La tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 de la colección babilónica de la Universidad de Yale se creó entre 1800 y 1600 a. mi. y demuestra √2 y √2/2 respectivamente en el sistema numérico sexagesimal : 1;24.51.10 y 0;42.25.35 en un cuadrado atravesado por dos diagonales [5] . (1;24,51,10) en base 60 corresponde a 1,41421296, que es el valor correcto con una precisión de 5 decimales: los matemáticos babilónicos (II milenio a. C.) desarrollaron un método numérico especial para extraer la raíz cuadrada [6] conjunto abajo . Problemas y métodos similares se encuentran en el antiguo chino " Mathematics in Nine Books " [7] . ${\ estilo de visualización 1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}=1{,}41421296.}$

Los antiguos griegos hicieron un descubrimiento importante: - un número irracional . Un estudio detallado de Teeteto de Atenas (siglo IV a. C.) mostró que si la raíz de un número natural no se extrae por completo, entonces su valor es irracional [8] . ${\ sqrt {2}}$

Los matemáticos europeos medievales (por ejemplo, Cardano ) denotaron la raíz cuadrada [9] con el símbolo R x , abreviatura de la palabra "radix". La notación moderna fue utilizada por primera vez por el matemático alemán Christoph Rudolph , de la escuela de los cosistas (es decir, algebristas), en 1525 [10] . Este símbolo proviene de la primera letra estilizada de la misma palabra " radix ". La línea sobre la expresión radical estaba ausente al principio; más tarde fue introducido por Descartes (" Geometrías ", 1637) con un propósito diferente (en lugar de corchetes), y esta característica pronto se fusionó con el signo raíz.

Tras la aparición de la fórmula de Cardano (siglo XVI), se inició el uso de los números imaginarios en matemáticas , entendidos como raíces cuadradas de números negativos [11] . Los conceptos básicos para trabajar con números complejos fueron desarrollados en el siglo XVI por Rafael Bombelli , quien también propuso un método original para calcular raíces (utilizando fracciones continuas ). El descubrimiento de la fórmula de Moivre (1707) mostró que siempre es posible extraer una raíz de cualquier grado de un número complejo y no conduce a un nuevo tipo de número [12] .

Las raíces complejas de grado arbitrario fueron estudiadas en profundidad por Gauss a principios del siglo XIX , aunque los primeros resultados se deben a Euler [13] . Un descubrimiento extremadamente importante ( Galois ) fue la prueba del hecho de que no todos los números algebraicos ( raíces de polinomios ) se pueden obtener de los números naturales usando cuatro operaciones aritméticas y extracción de raíces [14] .

Raíces cuadradas de números

Números racionales

Para números racionales, la ecuación no siempre se puede resolver en números racionales . Además, tal ecuación, incluso para positivo , es resoluble en números racionales si y solo si tanto el numerador como el denominador del número representado como una fracción irreducible son números cuadrados . $a$ $x ^ 2 = un$ $a$ $a$

La fracción continua para la raíz de un número racional es siempre periódica (posiblemente con un preperíodo), lo que permite, por un lado, calcular fácilmente buenas aproximaciones racionales a números racionales usando recursiones lineales y, por otro lado, limita la precisión. de la aproximación: , donde depende de [ 15] [16] . También es cierto que cualquier fracción continua periódica es una irracionalidad cuadrática . $|{\raíz cuadrada {r}}-p/q|>{\frac{1}{Cq^{2}}}$ $C$ $r$

Ejemplos de desarrollo de raíces de números naturales del 2 al 10 en fracciones continuas:

${\ sqrt {2}}$	= [1; 2, 2, ...]
$\sqrt{3}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\ estilo de visualización {\ sqrt {4}}}$	= [2]
${\ sqrt {5}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\ sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\ estilo de visualización {\ sqrt {7}}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\ estilo de visualización {\ sqrt {8}}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\ estilo de visualización {\ sqrt {9}}}$	= [3]
${\ sqrt {10}}$	= [3; 6, 6, ...]

Números reales (reales)

Para cualquier número positivo, hay exactamente dos raíces reales que son iguales en valor absoluto y de signo opuesto [17] . $a$

Una raíz cuadrada no negativa de un número no negativo se llama raíz cuadrada aritmética y se denota usando el signo radical [3] : . $a$ ${\ sqrt a}$

Las principales propiedades de la raíz cuadrada real (todos los valores bajo el signo de la raíz se consideran positivos):

${\sqrt {a^{2))}=|a|:$
${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$ (la raíz del producto es igual al producto de las raíces de los factores);
${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\quad (b\neq 0);$

Para los números complejos, dado que la raíz tiene dos valores, todas estas propiedades son inaplicables (consulte a continuación un ejemplo de un error).

Números complejos

Siempre hay exactamente dos raíces cuadradas de cualquier número complejo distinto de cero, son de signo opuesto. Para las raíces en el dominio complejo, el concepto de raíz aritmética no se introduce, el signo del radical generalmente no se usa o no denota la función de la raíz, sino el conjunto de todas las raíces. En este último caso, para evitar errores, no se debe utilizar el signo radical en las operaciones aritméticas. Error común:

-1=({\raíz cuadrada {-1}})^{2}={\raíz cuadrada {(-1)^{2}}}={\raíz cuadrada {1}}=1

(que por supuesto no es cierto)

El error surgió porque la raíz cuadrada compleja es una función de dos valores y no se puede usar en aritmética.

Para extraer la raíz cuadrada de un número complejo, es conveniente utilizar la notación exponencial de un número complejo: si

{\displaystyle a=|a|e^{i\phi ))

entonces (ver fórmula De Moivre )

{\sqrt {a}}={\sqrt {|a|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi k)/2}

donde la raíz del módulo se entiende en el sentido de un valor aritmético, y k puede tomar los valores k = 0 y k = 1 , por lo que al final se obtienen dos resultados diferentes.

También hay una representación puramente algebraica para la raíz de ; ambos valores de raíz son de la forma donde: $a+bi$ ${\ estilo de visualización \ pm (c + di)}$

{\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}))){2))))

{\displaystyle d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))))

Aquí sgn es la función "signo" . La fórmula se verifica fácilmente elevando al cuadrado [18] . ${\ estilo de visualización c + di}$

Ejemplo: para la raíz cuadrada de la fórmula se dan dos valores: ${\ estilo de visualización 3+4i}$ $2+i;\;-2-i.$

La raíz cuadrada como función elemental

La raíz cuadrada es una función elemental y un caso especial de una función de potencia con . La raíz cuadrada aritmética es suave en cero, pero es correcta , continua pero no diferenciable [19] . ${\ estilo de visualización x ^ {\ alfa}}$ $\alpha=1/2$ ${\ estilo de visualización x> 0,}$

La derivada de la función raíz cuadrada se calcula mediante la fórmula:

{\frac {d({\sqrt {x}})}{dx}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

Como función de una variable compleja, una raíz es una función de dos valores cuyas dos hojas están conectadas en cero (ver Análisis complejo para más detalles ).

En geometría elemental

Las raíces cuadradas están estrechamente relacionadas con la geometría elemental : si se da un segmento de longitud 1, entonces, con la ayuda de un compás y una regla , se pueden construir aquellos y solo aquellos segmentos cuya longitud se escribe mediante expresiones que contienen números enteros, signos de cuatro operaciones. de aritmética , raíces cuadradas y nada más [20] .

En informática

En muchos lenguajes de programación de nivel funcional (así como lenguajes de marcado como LaTeX ), la función de raíz cuadrada se denota como sqrt (del inglés raíz cuadrada "raíz cuadrada").

Aplicación

Las raíces cuadradas se utilizan en matemáticas y ciencias, por ejemplo:

( métodos numéricos ) en fórmulas para calcular las raíces de una ecuación cuadrática , así como las raíces de una ecuación de tercer y cuarto grado ;
(geometría) en la definición de la norma euclidiana en el espacio euclidiano , así como en generalizaciones como los espacios de Hilbert ;
( teoría de la probabilidad y estadística ) para determinar la desviación estándar de una variable aleatoria ;
( física ) Las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial implican el factor ${\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))));$
( mecánica celeste ) el período de revolución de un planeta alrededor del Sol está relacionado con el semieje mayor de su órbita por la razón: (una consecuencia de la tercera ley de Kepler ). $T$ $A$ ${\ Displaystyle T = k {\ sqrt {A ^ {3}}}}$

Algoritmos para encontrar la raíz cuadrada

Expansión de la serie de Taylor

{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)( n!)^{2}(4^{n))}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^ {2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\puntos,

en .

{\ estilo de visualización | x | \ inclinado 1}

Estimación aproximada

Muchos algoritmos para calcular las raíces cuadradas de un número real positivo S requieren algún valor inicial. Si el valor inicial está demasiado lejos del valor real de la raíz, los cálculos se ralentizan. Por lo tanto, es útil tener una estimación aproximada que puede ser muy imprecisa pero que es fácil de calcular. Si S ≥ 1 , sea D el número de dígitos de S a la izquierda del punto decimal. Si S < 1 , sea D el número de ceros consecutivos a la derecha de la coma decimal, tomados con signo menos. Entonces una estimación aproximada se ve así:

Si D es impar, D = 2 n + 1 , entonces use

{\sqrt {S}}\aprox. 2\cdot 10^{n}.

Si D es par, D = 2 n + 2 , entonces usamos

{\sqrt {S}}\aprox. 6\cdot 10^{n}.

Dos y seis se usan porque y ${\sqrt {\sqrt {1\cdot 10}}}={\sqrt[{4}]{10}}\aprox. 2$ ${\sqrt {{\sqrt {10\cdot 100))))={\sqrt[ {4}]{1000}}\approx 6\,.$

Cuando se trabaja en un sistema binario (como dentro de las computadoras), se debe usar una estimación diferente (aquí D es el número de dígitos binarios). $2^{{\izquierda\lpiso D/2\derecha\rpiso}}$

Extracción de raíz cuadrada geométrica

Dado que los triángulos y son similares en términos de la similitud de los triángulos en 2 ángulos iguales, de donde y ${\ estilo de visualización \ Delta ABH}$ ${\ estilo de visualización \ Delta BCH}$ ${\frac {|AH|}{|BH|}}={\frac {|BH|}{|HC|}},~$ $|BH|^{2}=|AH|\cdot |HC|$ $|BH|={\sqrt {|AH|\cdot |HC|}}.$

En particular, si , y , entonces [21] . ${\ estilo de visualización | AH | = 1}$ ${\ estilo de visualización | HC | = x}$ $|BH|={\raíz cuadrada {x}}$

Algoritmo analítico iterativo

Este método ya era conocido en la Antigua Babilonia . Le permite encontrar el valor aproximado de la raíz cuadrada con cualquier precisión,

Las aproximaciones sucesivas se calculan mediante la fórmula: entonces ${\begin{casos}x_{0}=a\\x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_ {n}}}\right)\end{casos}}$ $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}={\sqrt {a}}$

Este método converge muy rápidamente. Por ejemplo, si tomamos la aproximación inicial para , obtenemos: ${\ sqrt {5}}$ ${\ estilo de visualización x_ {0} = 2,}$

x_{1}={\frac {9}{4}}=2{,}25;\ x_{2}={\frac {161}{72}}=2{,}23611\dots ; \ x_{3}={\frac{51841}{23184}}=2{,}2360679779\puntos

En el valor final, todos los números dados son correctos, excepto el último.

Columna

Este método le permite encontrar el valor aproximado de la raíz de cualquier número real con una precisión predeterminada. Las desventajas del método incluyen la creciente complejidad del cálculo con un aumento en el número de dígitos encontrados.

Para extraer manualmente la raíz, se utiliza una notación similar a la división de columnas . Se escribe el número cuya raíz buscamos. A la derecha del mismo, obtendremos gradualmente los números de la raíz deseada. Deje que la raíz del número N se extraiga con un número finito de lugares decimales. Para empezar, mentalmente o con etiquetas, dividimos el número N en grupos de dos dígitos a la izquierda ya la derecha del punto decimal. Si es necesario, los grupos se rellenan con ceros: la parte entera se rellena a la izquierda, la fracción a la derecha. Entonces, 31234.567 se puede representar como 03 12 34.56 70 . A diferencia de la división, la demolición se realiza en grupos de 2 dígitos.

Escriba el número N (en el ejemplo, 69696 ) en una hoja de papel.
Encuentre , cuyo cuadrado sea menor o igual que el grupo de dígitos iniciales del número N (el grupo más alto es el de más a la izquierda, distinto de cero), y cuyo cuadrado sea mayor que el grupo de dígitos iniciales del número. Escriba lo que se encuentra a la derecha de N (este es el siguiente dígito de la raíz deseada). (En el primer paso del ejemplo , a ). $a$ $un+1$ $a$ $a^{2}=2^{2}=2\cdot 2=4<6$ $(a+1)^{2}=3^{2}=3\cdot 3=9>6$
Escribe un cuadrado debajo del grupo de dígitos más alto. Realice una resta del grupo más alto de dígitos N del cuadrado escrito del número y escriba el resultado de la resta debajo de ellos. $a$ $a$
A la izquierda de este resultado de resta, dibuja una línea vertical y, a la izquierda de la línea, escribe un número igual a los dígitos del resultado ya encontrado (los escribimos a la derecha de N ), multiplicado por 20 . Llamemos a este número . (En el primer paso del ejemplo, este número es simplemente , en el segundo, ). $b$ $b=2\cdot 20=40$ $b=26\cdot 20=520$
Demoler el siguiente grupo de dígitos, es decir, sumar los siguientes dos dígitos del número N a la derecha del resultado de la resta. Llamemos al número obtenido al combinar el resultado de la resta y el siguiente grupo de dos dígitos. (En el primer paso del ejemplo este número es , en el segundo es ). Si el primer grupo se derriba después del punto decimal del número N , entonces debe colocar un punto a la derecha de los dígitos ya encontrados de la raíz deseada. $C$ $c=296$ $c=2096$
Ahora necesitamos encontrar algo que sea menor o igual que , pero mayor que . Anote encontrado a la derecha de N como el siguiente dígito de la raíz deseada. Es muy posible que sea igual a cero. Esto no cambia nada: escribimos 0 a la derecha de los dígitos raíz ya encontrados. (En el primer paso del ejemplo, este número es 6 , ya que , pero ) Si el número de dígitos encontrado ya satisface la precisión deseada, detenemos el proceso de cálculo. $a$ $(b+a)\cdot a$ $C$ $(b+(a+1))\cdot (a+1)$ $C$ $a$ $a$ $(40+6)\cdot 6=46\cdot 6=276<296$ $(40+7)\cdot 7=47\cdot 7=329>296$
Escribe el número debajo . Resta una columna de números y escribe el resultado de la resta debajo de ellos. Vaya al paso 4. $(b+a)\cdot a$ $C$ $(b+a)\cdot a$ $C$

Descripción visual del algoritmo:

Variaciones y generalizaciones

La raíz cuadrada de se define como una solución a una ecuación y, en principio, se puede definir no solo para números, sino también en cualquier lugar donde dicha ecuación tenga sentido. En álgebra general , se aplica la siguiente definición formal: $a$ $x^{2}=a,$

Sea un grupoide y . El elemento se llama raíz cuadrada de if . $(G,\cdot)$ $a \ en G$ $x \ en G$ ${\ estilo de visualización \ a,}$ $\x\cdot x=a$

Muy a menudo, tales generalizaciones se consideran en anillos algebraicos .

Si el anillo es un dominio de integridad , entonces puede haber dos o ninguna de las raíces cuadradas de un elemento distinto de cero. De hecho, si hay dos raíces , entonces de dónde: , es decir, debido a la ausencia de divisores de cero , . Más generalmente, cuando el anillo tiene divisores de cero o no es conmutativo , puede haber cualquier número de raíces. $un, b,$ ${\ estilo de visualización a^{2}=b^{2},}$ ${\ estilo de visualización (ab) (a + b) = 0}$ ${\ estilo de visualización a = \ pm b}$

En teoría de números , se considera un módulo de anillo de residuo finito : si la comparación tiene una solución, entonces el número entero se llama residuo cuadrático (de lo contrario, no residuo cuadrático ). La solución de esta comparación es bastante similar a extraer la raíz cuadrada en el anillo de residuos [22] . $metro$ $x^{2}\equiv a{\pmod {m))$ $a$

Las raíces de los cuaterniones tienen mucho en común con las complejas, pero también tienen características significativas. La raíz cuadrada del cuaternión generalmente tiene 2 valores, pero si la expresión de la raíz es un número real negativo, entonces hay una cantidad infinita de valores. Por ejemplo, las raíces cuadradas de forman una esfera tridimensional definida por la fórmula [23] : $-una$

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}\,.

Para el anillo de matrices cuadradas , se prueba que si la matriz es definida positiva , entonces la raíz cuadrada definida positiva de la matriz existe y es única [24] . Para matrices de otros tipos, puede haber cualquier número de raíces (incluso ninguna).

Las raíces cuadradas también se introducen para funciones [25] , operadores [26] y otros objetos matemáticos.

Véase también

Notas

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↑ 1 2 Matemáticas elementales, 1976 , p. 49.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas, 1970 , p. 33.
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Literatura

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Enlaces

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diccionarios y enciclopedias	Gran danés Britannica (en línea)