Sistema numérico binario

Sistemas numéricos en la cultura
indoárabe
árabe tamil birmano	Khmer Laosiano Mongol Tailandés
asiático del este
Chino Japonés Suzhou Coreano	Palos vietnamitas para contar
Alfabético
Abjadia Armenio Aryabhata Cirílico Griego	Georgiano Etíope Judío Akshara Sankhya
Otro
Babilónico Egipcio Etrusco Romano Danubiano	Ático Kipu Maya Egeo KPPU Símbolos
posicional
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-posicional
simétrico
sistemas mixtos
Fibonacci
no posicional
Singular (unario)

El sistema numérico binario es un sistema numérico posicional con base 2. Debido a su implementación directa en circuitos electrónicos digitales en puertas lógicas , el sistema binario se utiliza en casi todas las computadoras modernas y otros dispositivos informáticos electrónicos .

Notación binaria de números

En el sistema binario, los números se escriben usando dos símbolos ( 0 y 1 ). Para no confundir en qué sistema numérico está escrito el número, está provisto de un puntero en la parte inferior derecha. Por ejemplo, un número en decimal 5 10 , en binario 101 2 . A veces, un número binario se denota con el prefijo 0b o el símbolo & (ampersand) [1] , por ejemplo, 0b101 o respectivamente &101 .

En el sistema numérico binario (como en otros sistemas numéricos excepto el decimal), los caracteres se leen de uno en uno. Por ejemplo, el número 1012 se pronuncia "uno cero uno".

Números naturales

Un número natural, escrito en binario como , tiene el significado: $(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\puntos a_{{1}}a_{0})_{2}$

(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\puntos a_{{1}}a_{0})_{2}=\sum_{{k=0}}^{{n- 1}}a_{k}2^{k},

dónde:

$norte$ - el número de dígitos (caracteres) en el número,
$Alaska}$ — valores de dígitos del conjunto {0,1},
$k$ - número de serie del dígito.

Números negativos

Los números binarios negativos se denotan de la misma manera que los números decimales: con un "-" delante del número. Es decir, un entero negativo escrito en notación binaria tiene el valor: $(-a_{{n-1}}a_{{n-2}}\puntos a_{{1}}a_{0})_{2}$

(-a_{{n-1}}a_{{n-2}}\puntos a_{{1}}a_{0})_{2}=-\sum_{{k=0}}^{{ n-1}}a_{k}2^{k}.

En informática, se usa mucho para escribir números binarios negativos en complemento a dos .

Números fraccionarios

Un número fraccionario, escrito en binario como , tiene un valor: $(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\puntos a_{{1}}a_{{0}},a_{{-1}}a_{{-2}}\puntos a_{ {-(m-1)}}a_{{-m}})_{2}$

( a norte − una a norte − 2 … a una a 0 , a − una a − 2 … a − ( metro − una ) a − metro ) 2 = ∑ k = − metro norte − una a k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\puntos a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\puntos a_{-(m-1)}a_{ -m})_{2}=\sum_{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},}

(a_{n-1}a_{n-2}\puntos a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\puntos a_{-(m-1)}a_{ -m})_{2}=\sum_{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},

dónde:

$metro$ - el número de dígitos de la parte fraccionaria del número,
$Alaska}$ son los valores de los dígitos del conjunto . $\{0,1\}$

Suma, resta y multiplicación de números binarios

tabla de sumar

+	0	una
0	0	una
una	una	0 (transferir 1 a orden superior)

tabla de restas

-	0	una
0	0	una
una	1 (cedido de categoría sénior)	0

Un ejemplo de suma de columnas (la expresión decimal 14 10 + 5 10 = 19 10 en binario parece 1110 2 + 101 2 = 10011 2 ):

+		una	una	una	0
+			una	0	una

	una	0	0	una	una

Tabla de multiplicación

×	0	una
0	0	0
una	0	una

Un ejemplo de multiplicación por una "columna" (la expresión decimal 14 10 * 5 10 \u003d 70 10 en binario parece 1110 2 * 101 2 \u003d 1000110 2 ):

×				una	una	una	0
×					una	0	una

+				una	una	una	0
+		una	una	una	0

	una	0	0	0	una	una	0

Conversiones de números

Para convertir de binario a decimal, utilice la siguiente tabla de potencias en base 2:

1024

512

256

128

dieciséis

ocho

cuatro

una

Comenzando con el número 1, todos los números se multiplican por dos. El punto después de 1 se llama punto binario.

Conversión de números binarios a decimales

Digamos que se da el número binario 110001 2 . Para convertir a decimal, escríbalo como una suma sobre los dígitos de la siguiente manera:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Lo mismo un poco diferente:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Puede escribir esto en forma tabular de la siguiente manera:

512	256	128	64	32	dieciséis	ocho	cuatro	2	una
				una	una	0	0	0	una
				+32	+16	+0	+0	+0	+1

Mover de derecha a izquierda. Debajo de cada unidad binaria, escribe su equivalente en la línea de abajo. Suma los números decimales resultantes. Así, el número binario 110001 2 es equivalente al número decimal 49 10 .

Conversión de números binarios fraccionarios a decimal

Necesitas convertir el número 1011010.101 2 al sistema decimal. Escribamos este número así:

1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 −1 + 0 * 2 −2 + 1 * 2 −3 = 90,625

Lo mismo un poco diferente:

1 *64 + 0 *32 + 1 *16 + 1 *8 + 0 *4 + 1 *2 + 0 *1 + 1 *0,5 + 0 *0,25 + 1 *0,125 = 90,625

O según la tabla:

64	32	dieciséis	ocho	cuatro	2	una		0.5	0.25	0.125
una	0	una	una	0	una	0	,	una	0	una
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0.5	+0	+0.125

Transformación de Horner

Para convertir números de binario a decimal con este método, debe sumar los números de izquierda a derecha, multiplicando el resultado obtenido anteriormente por la base del sistema (en este caso, 2). El método de Horner generalmente se convierte de binario a decimal. La operación inversa es difícil, ya que requiere las habilidades de suma y multiplicación en el sistema numérico binario.

Por ejemplo, el número binario 1011011 2 se convierte a decimal de la siguiente manera:

0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91

Es decir, en el sistema decimal, este número se escribirá como 91.

Traducción de la parte fraccionaria de números por el método de Horner

Los números se toman del número de derecha a izquierda y se dividen por la base del sistema numérico (2).

Por ejemplo 0.1101 2

(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125

Respuesta: 0,1101 2 = 0,8125 10

Conversión de decimal a binario

Digamos que necesitamos convertir el número 19 a binario. Puede utilizar el siguiente procedimiento:

19/2 = 9 con resto 1
9/2 = 4 con resto 1
4/2 = 2 sin resto 0
2/2 = 1 sin resto 0
1/2 = 0 con resto 1

Entonces dividimos cada cociente por 2 y escribimos el resto al final de la notación binaria. Continuamos la división hasta que el cociente sea 0. Escribimos el resultado de derecha a izquierda. Es decir, el dígito inferior (1) será el más a la izquierda, y así sucesivamente, como resultado, obtenemos el número 19 en notación binaria: 10011 .

Conversión de números decimales fraccionarios a binarios

Si hay una parte entera en el número original, entonces se convierte por separado de la parte fraccionaria. La conversión de un número fraccionario del sistema numérico decimal a binario se realiza de acuerdo con el siguiente algoritmo:

La fracción se multiplica por la base del sistema numérico binario (2);
En el producto resultante se asigna la parte entera, que se toma como el dígito más significativo del número en el sistema numérico binario;
El algoritmo termina si la parte fraccionaria del producto resultante es igual a cero o si se alcanza la precisión de cálculo requerida. De lo contrario, los cálculos continúan sobre la parte fraccionaria del producto.

Ejemplo: desea convertir el número decimal fraccionario 206,116 en un número binario fraccionario.

La traducción de la parte entera da 206 10 =11001110 2 según los algoritmos descritos anteriormente. Multiplicamos la parte fraccionaria de 0.116 por la base 2, poniendo las partes enteras del producto en los dígitos después del punto decimal del número binario fraccionario deseado:

0.116 • 2 = 0.232 0.232 • 2 = 0.464 0.464 • 2 = 0.928 0.928 • 2 = 1.856 0.856 • 2 = 1.712 0.712 • 2
= 1.424 0.424 • 2 = 0.848 0.848 • 2 = 1.696 0.696 • 2 = 1.392 0.392 • 2 = 0.784 etc.

Así 0.116 10 ≈ 0.0001110110 2

Obtenemos: 206.116 10 ≈ 11001110.0001110110 2

Aplicaciones

En dispositivos digitales

El sistema binario se usa en dispositivos digitales porque es el más simple y cumple con los requisitos:

Cuantos menos valores existan en el sistema, más fácil será crear elementos individuales que operen sobre estos valores. En particular, dos dígitos del sistema numérico binario se pueden representar fácilmente mediante muchos fenómenos físicos: hay corriente (la corriente es mayor que el valor umbral) - no hay corriente (la corriente es menor que el valor umbral), el magnético la inducción del campo es mayor que el valor umbral o no (la inducción del campo magnético es menor que el valor umbral), etc.
Cuanto menor sea el número de estados de un elemento, mayor será la inmunidad al ruido y más rápido podrá funcionar. Por ejemplo, para codificar tres estados en términos de voltaje, corriente o inducción de campo magnético, debe ingresar dos valores de umbral y dos comparadores .

En informática, se usa mucho para escribir números binarios negativos en complemento a dos . Por ejemplo, el número -5 10 podría escribirse como -101 2 pero se almacenaría como 1111111111111111111111111111011 2 en una computadora de 32 bits .

Generalizaciones

El sistema numérico binario es una combinación de un sistema de codificación binaria y una función de peso exponencial con una base igual a 2. Un número se puede escribir en código binario , y el sistema numérico puede no ser binario, pero con una base diferente. Ejemplo: Codificación BCD , en la que los dígitos decimales se escriben en binario y el sistema numérico es decimal.

Historia

Un conjunto completo de 8 trigramas y 64 hexagramas , análogos a los dígitos de 3 y 6 bits, se conocía en la antigua China en los textos clásicos del Libro de los Cambios . El orden de los hexagramas en el Libro de los Cambios , ordenados de acuerdo con los valores de los dígitos binarios correspondientes (del 0 al 63), y el método para obtenerlos fue desarrollado por el científico y filósofo chino Shao Yong en el siglo 11 Sin embargo, no hay evidencia que demuestre que Shao Yong entendió las reglas de la aritmética binaria, colocando tuplas de dos caracteres en orden lexicográfico .
El matemático indio Pingala ( 200 a. C. ) desarrolló el marco matemático para describir la poesía utilizando la primera aplicación conocida del sistema binario [2] [3] .

El prototipo de las bases de datos que fueron ampliamente utilizadas en los Andes Centrales ( Perú , Bolivia ) para fines estatales y públicos en el I-II milenio d.C. e., había una escritura anudada de los Incas - kipu , que constaba de entradas numéricas en el sistema decimal [4] y entradas no numéricas en el sistema de codificación binaria [5] . El quipu utilizaba claves primarias y secundarias, números posicionales, codificación por colores y la formación de series de datos repetitivos [6] . Kipu se utilizó por primera vez en la historia de la humanidad para aplicar un método de contabilidad como la partida doble [7] .
Los africanos utilizaron conjuntos que son combinaciones de dígitos binarios en la adivinación tradicional (como Ifa ) junto con la geomancia medieval .
En 1605, Francis Bacon describió un sistema en el que las letras del alfabeto podían reducirse a secuencias de dígitos binarios, que a su vez podían codificarse como sutiles cambios de fuente en cualquier texto aleatorio. Un paso importante en el desarrollo de la teoría general de la codificación binaria es la observación de que este método puede usarse para cualquier objeto [8] (ver el cifrado de Bacon ).

El sistema binario moderno fue completamente descrito por Leibniz en el siglo XVII en Explication de l'Arithmétique Binaire [9] . El sistema numérico de Leibniz usaba los dígitos 0 y 1, al igual que el sistema binario moderno. Como persona fascinada por la cultura china, Leibniz conocía el Libro de los Cambios y notó que los hexagramas corresponden a números binarios del 0 al 111111. Admiró el hecho de que esta exhibición es evidencia de los principales logros chinos en las matemáticas filosóficas de esa época [10] .

En 1854, el matemático inglés George Boole publicó un trabajo fundamental que describe los sistemas algebraicos aplicados a la lógica , que ahora se conoce como álgebra booleana o álgebra de la lógica . Su cálculo lógico estaba destinado a desempeñar un papel importante en el desarrollo de los circuitos electrónicos digitales modernos.
En 1937, Claude Shannon presentó su tesis doctoral , Análisis simbólico de circuitos de relés y conmutación en el MIT , en la que se aplicaron el álgebra booleana y la aritmética binaria a relés e interruptores electrónicos. Esencialmente, toda la tecnología digital moderna se basa en la disertación de Shannon .
En noviembre de 1937, George Stiebitz , quien más tarde trabajó en Bell Labs , construyó una computadora basada en relés "Modelo K" (de la cocina inglesa " Cocina " donde se realizaba el ensamblaje) que realizaba sumas binarias. A fines de 1938, Bell Labs lanzó un programa de investigación dirigido por Stibitz. La computadora creada bajo su liderazgo, completada el 8 de enero de 1940, pudo realizar operaciones con números complejos . Durante una demostración en la conferencia de la American Mathematical Society en Dartmouth College el 11 de septiembre de 1940, Stiebitz demostró la capacidad de enviar comandos a una calculadora remota de números complejos a través de una línea telefónica utilizando un teletipo . Este fue el primer intento de usar una computadora remota a través de una línea telefónica. Entre los asistentes a la conferencia que presenciaron la demostración se encontraban John von Neumann , John Mauchly y Norbert Wiener , quienes más tarde escribieron al respecto en sus memorias.

Véase también

Notas

↑ Popova Olga Vladimirovna. Libro de texto de informática . Consultado el 3 de noviembre de 2014. Archivado desde el original el 3 de noviembre de 2014. (indefinido)
↑ Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), Programación de microcontroladores: el microchip PIC , Boca Raton, Florida: CRC Press, p. 37, ISBN 0-8493-7189-9
↑ WS Anglin y J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
↑ Ordish George, Hyams, Edward. El último de los Incas: el ascenso y la caída de un imperio americano. - Nueva York: Barnes & Noble, 1996. - Pág. 80. - ISBN 0-88029-595-3 .
↑ Expertos 'descifran' cuerdas incas . Archivado desde el original el 18 de agosto de 2011. (indefinido)
↑ Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus (neopr.) . - S. 49.
↑ Dale Buckmaster. El Quipu Inca y la Hipótesis de Jacobsen // Journal of Accounting Research : diario. - 1974. - vol. 12 , núm. 1 . - pág. 178-181 .
↑ Bacon, Francis , El avance del aprendizaje , vol. 6, Londres, pág. Capítulo 1 , < http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch1.html > Archivado el 18 de marzo de 2017 en Wayback Machine .
↑ http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Archivado el 11 de febrero de 2021 en Wayback Machine Leibniz Translation.com EXPLICACIÓN DE LA ARITMÉTICA BINARIA
↑ Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography , Taylor & Francis, p. 245–8, ISBN 0-85274-470-6

Enlaces

Cálculo binario // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
Libro de texto "Fundamentos aritméticos de computadoras y sistemas". Parte 1. Sistemas numéricos
Hexadecimal Decimal Binary Octal Converter para programadores Archivado el 21 de febrero de 2011 en Wayback Machine .
Conversor de números enteros y fraccionarios de binario a decimal .
Fomin SV Sistemas de numeración . — M .: Nauka , 1987. — 48 p. - ( Clases populares de matemáticas ). (enlace alternativo), (enlace alternativo al sitio web de RSL)
Sistemas numéricos: pautas y tareas para el trabajo independiente en la disciplina "Informática" para estudiantes de todas las especialidades . - Saratov: Estado de Saratov. universidad técnica , 2009. - 24 p.
Lyubomudrov A.A. Sistemas numéricos. Métodos para convertir números de un sistema de numeración posicional con base p1 a un sistema de numeración posicional con base p2 . — M .: NRNU MEPhI , 2009. — 28 p.
Andreeva E.V. Sistemas numéricos y aritmética informática: libro de texto. tolerancia. - ed. 3ro . - M. : Binom. Laboratorio. conocimiento, 2004. - 254 p.
Sistemas numéricos (16 de septiembre de 2014)
MGIU: Informática. Tema 1. Sistemas numéricos. (21 de febrero de 2014)
Sistema numérico binario : una explicación visual del principio de funcionamiento de los sistemas numéricos posicionales (en particular, binario)

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran noruego Brockhaus y Efron Pequeño Brockhaus y Efron Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4150805-1 NDL : 00568548