Matriz lambda

La matriz lambda ( matriz λ , matriz de polinomios ) es una matriz cuadrada cuyos elementos son polinomios sobre algún cuerpo numérico . Si hay algún elemento de la matriz que es un polinomio de grado , y no hay elementos de la matriz de grado mayor que , entonces es el grado de la matriz λ. $\l$ $\l$ $\l$

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{ 21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{ n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}},\qquad a_{ij}(\lambda )=a_{ij}^{(l)}\lambda ^{l }+a_{ij}^{(l-1)}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{ij}^{(1)}\lambda +a_{ij}^{(0)}.

Usando las operaciones habituales en matrices , cualquier matriz λ se puede representar como:

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}.

Si el determinante de la matriz es distinto de cero, entonces la matriz λ se llama regular. ${\ estilo de visualización \ A_ {l}}$

Un ejemplo de una matriz λ irregular:

A\left(\lambda \right)={\begin{bmatrix}\lambda ^{4}+\lambda ^{2}+\lambda -1&\lambda ^{3}+\lambda ^{2} +\lambda +2\\2\lambda ^{3}-\lambda &2\lambda ^{2}+2\lambda \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} }\lambda ^{4}+{\begin{bmatrix}0&1\\2&0\end{bmatrix}}\lambda ^{3}+{\begin{bmatrix}1&1\\0&2\end{bmatrix}}\lambda ^ {2}+{\begin{bmatrix}1&1\\-1&2\end{bmatrix}}\lambda +{\begin{bmatrix}-1&2\\0&0\end{bmatrix}}.

Álgebra de λ-matrices

Adición y multiplicación

Las matrices λ del mismo orden se pueden sumar y multiplicar entre sí de la forma habitual, y el resultado es otra matriz λ.

Sean y λ-matrices de orden y respectivamente, y , entonces ${\ estilo de visualización A \ izquierda (\ lambda \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización B \ izquierda (\ lambda \ derecha)}$ $\l$ $\metro$ ${\ estilo de visualización \ k = máximo (l, m)}$

A\left(\lambda \right)=A_{k}\lambda ^{k}+A_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}

;

B\left(\lambda \right)=B_{k}\lambda ^{k}+B_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +B_{1}\lambda +B_ {0}

donde al menos una de las matrices es distinta de cero, tenemos ${\ estilo de visualización \ A_ {k}, B_ {k}}$

A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)=(A_{k}+B_{k})\lambda ^{k}+(A_{k-1}+B_ {k-1})\lambda ^{k-1}+\cdots +(A_{1}+B_{1})\lambda +(A_{0}+B_{0})

;

A\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=A_{k}B_{k}\lambda ^{2k}+(A_{k}B_{k-1}+A_ {k-1}B_{k})\lambda ^{2k-1}+\cdots +(A_{1}B_{0}+A_{0}B_{1})\lambda +(A_{0}B_ {0})

;

División

Supongamos que es una matriz λ regular y que hay matrices λ con o con grado menor que grado tal que ${\ estilo de visualización \ segundo (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ Q (\ lambda), R (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ R (\ lambda) \ equivalente 0}$ ${\ estilo de visualización \ R (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ segundo (\ lambda)}$

{\ estilo de visualización \ A (\ lambda) = Q (\ lambda) B (\ lambda) + R (\ lambda)}

En este caso, se llama el cociente correcto cuando se divide por y - el resto correcto . De manera similar, y es el cociente por la izquierda y el resto por la izquierda cuando se divide por si ${\ estilo de visualización \ Q (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ A (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ segundo (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ R (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {Q}} (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {R}} (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ A (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ segundo (\ lambda)}$

A(\lambda )=B(\lambda ){\sombrero {Q}}(\lambda )+{\sombrero {R}}(\lambda )

y /o grado menor que grado . ${\hat {R}}(\lambda )\equiv 0$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {R}} (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ segundo (\ lambda)}$

Si el resto derecho (izquierdo) es 0, entonces se llama divisor derecho (izquierdo) cuando se divide por . ${\ estilo de visualización \ Q (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización ({\ sombrero {Q}} (\ lambda))}$ ${\ estilo de visualización \ A (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ segundo (\ lambda)}$

Si es regular, entonces el cociente derecho (izquierdo) y el resto derecho (izquierdo) cuando se dividen por existen y son únicos. ${\ estilo de visualización \ segundo (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ A (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ segundo (\ lambda)}$

Matrices λ con argumentos de matriz

Debido a la no conmutatividad de la multiplicación de matrices, en contraste con las propiedades de un polinomio ordinario, para una matriz λ es imposible escribir una igualdad similar a

a_{l}\lambda ^{l}+a_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=\lambda ^{l} a_{l}+\lambda ^{l-1}a_{l-1}+\cdots +\lambda a_{1}+a_{0}

entonces definimos el valor correcto de la matriz λ en la matriz como ${\ estilo de visualización \ A (B)}$ ${\ estilo de visualización \ A (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ B}$

{\displaystyle A\left(B\right)=A_{l}B^{l}+A_{l-1}B^{l-1}+\cdots +A_{1}B+A_{0))

, si ;

A\left(\lambda \right)=A_{l}\lambda ^{l}+A_{l-1}\lambda ^{l-1}+\cdots +A_{1}\lambda +A_ {0}

y valor izquierdo' como: ${\ estilo de visualización {\ sombrero {A}} (B)}$

{\hat {A}}\left(B\right)=B^{l}A_{l}+B^{l-1}A_{l-1}+\cdots +BA_{1}+ A_{0}

y en general ${\ estilo de visualización A (B) \ neq {\ sombrero {A}} (B)}$

Teorema de Bezout para λ-matrices

Para las matrices λ, existe una propiedad similar al teorema de Bezout para polinomios: los restos derecho e izquierdo después de dividir la matriz λ por , donde — la matriz identidad es y respectivamente. ${\ estilo de visualización \ A (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ \ lambda EB}$ ${\ estilo de visualización \ E}$ ${\ estilo de visualización \ A (B)}$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {A}} (B)}$

La propiedad se demuestra por factorización:

\ \lambda ^{j}EB^{j}=(\lambda ^{j-1}E+\lambda ^{j-2}B+\cdots +\lambda B^{j-2}+B^ {j-1})(\lambdaEB)

al multiplicar ambos lados de esta igualdad por el lado izquierdo y sumar todas las igualdades obtenidas para , el lado derecho se verá como , donde hay una matriz λ. Lado izquierdo de la igualdad: ${\ estilo de visualización \ A_ {j}}$ ${\ estilo de visualización \ j = 1, \ cdots, l}$ ${\ estilo de visualización \ C (\ lambda) (\ lambda EB)}$ ${\ estilo de visualización \ C (\ lambda)}$

\sum_{j=1}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum_{j=1}^{l}A_{j}B^{j}=\sum _{j=0}^{l}\lambda ^{j}A_{j}-\sum_{j=0}^{l}A_{j}B^{j}=A(\lambda )-A (B)

De este modo:

{\ estilo de visualización \ A (\ lambda) = C (\ lambda) (\ lambda EB) + A (B)}

El resultado ahora se sigue de la unicidad del resto correcto. El enunciado del resto de la izquierda se obtiene invirtiendo los factores en la descomposición original, multiplicando el resultado por la derecha y sumando. ${\ estilo de visualización \ A_ {j}}$

Corolario: para que una matriz λ sea divisible por la derecha (por la izquierda) sin resto, es necesario y suficiente que . ${\ estilo de visualización \ A (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización \ \ lambda EB}$ ${\ estilo de visualización \ A (B) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda ({\ sombrero {A}} (B) = 0 \ derecha)}$

Literatura

Gantmakher F. R. Teoría de la matriz. - 2ª ed. - M. : Nauka , 1966.
Lancaster P. Teoría de la matriz. — M .: Nauka, 1973.

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro