Jordan medida

La medida de Jordan es una de las formas de formalizar el concepto de longitud , área y volumen bidimensional en el espacio euclidiano bidimensional . $norte$ $norte$

Definición

La medida de Jordan se puede definir como la única medida finitamente aditiva definida en el anillo de politopos y que cumple las siguientes condiciones:

Las medidas de politopos congruentes son iguales.
La medida de una unidad cúbica es igual a uno.

El anillo máximo de conjuntos al que se puede extender de forma única la medida de Jordan se llama anillo de conjuntos cuadrables .

Construcción

La medida de Jordan de un paralelepípedo se define como el producto ${\ estilo de visualización m \ Delta}$ $\Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i]$ $\mathbb{R} ^{n}$

m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

Para un conjunto limitado , se definen los siguientes: $E\subconjunto\R^n$

medida exterior Jordan $m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E$
medida jordan interna $m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m = \varnothing$ , si $k\neq m,$

aquí hay paralelepípedos del tipo descrito anteriormente. $\Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N$

Se dice que un conjunto es Jordan medible (o cuadrable ) si . En este caso, la medida de Jordan es . $mi$ $m_{e}E=m_{i}E$ $mE=m_{e}E=m_{i}E$

Propiedades

Los conjuntos que son medibles de Jordan forman un anillo en el que la medida de Jordan es una medida finitamente aditiva .
La medida de Jordan es invariante bajo los movimientos del espacio euclidiano.
Un conjunto es Jordan medible si para cualquiera existe un par de politopos y tal que $F$ $\varepsilon >0$ $PAGS$ $q$ $P\subconjunto F\subconjunto Q$ y . $mP+\varepsilon >mQ$
Un conjunto acotado es Jordan medible si y solo si su frontera tiene una medida de Jordan cero (o, de manera equivalente, cuando su frontera tiene una medida de Lebesgue cero ). En particular, todos los conjuntos cuyo límite consta de un número finito de puntos y curvas suaves son medibles de Jordan. Sin embargo, hay conjuntos limitados por una curva de Jordan cerrada simple que no son medibles por Jordan. $E\subconjunto\R^n$
La medida Jordan exterior es la misma para y (el cierre del conjunto ) y es igual a la medida Borel . $mi$ $\desnudo$ $mi$ $\desnudo$

Historia

El concepto de medida anterior fue introducido por Peano ( 1887 ) y Jordan ( 1892 ). Posteriormente, Lebesgue generalizó el concepto a una clase más amplia de conjuntos.

Un ejemplo de un conjunto inconmensurable de Jordan

Considere la medida de Jordan definida en . Sea un conjunto de puntos de un segmento unitario., sea un subconjunto de puntos racionales del conjunto , entonces sea un conjunto inconmensurable de Jordan, ya que , es decir, las medidas del Jordan superior e inferior no coinciden (aunque este conjunto es de Lebesgue medible ). $metro$ $\matemáticas {R}$ $A= \left[0, 1\right] = \{x\in\R\colon 0\leqslant x\leqslant 1\}$ $\matemáticas {Q}$ $A$ $\matemáticas {Q}$ $m_e \Q=1,\;m_i \Q=0,\;m_e \Q\neq m_i \Q$

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S.V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976 . — 544 pág.
Kudryavtsev L.D., Kutasov A.D. Colección de problemas de análisis matemático, capítulo 3;
Peano, G. Aplicaciones geométricas del cálculo infinitesimal. — Turín, 1887;
Jordan, C. Journal de Mathematiques Pures et Appliquées. - 1892. - t. 8.-pág. 69-99;

Véase también

Cálculo integral

Principal

Generalizaciones
de la integral de Riemann

Transformaciones integrales

Integración numérica

teoría de la medida

Temas relacionados

Listas de integrales