Integral indefinida

Una integral indefinida para una función es un conjunto de todas las antiderivadas de una función dada [1] . $f(x)$

Si la función es definida y continua en el intervalo y es su antiderivada, es decir, para , entonces $f(x)$ $(a, b)$ $F(x)$ $F'(x)=f(x)$ ${\ estilo de visualización a <x <b}$

{\ estilo de visualización \ int f (x) dx = F (x) + C,}

{\ estilo de visualización a <x <b}

donde C es una constante arbitraria .

Las principales propiedades de la integral indefinida se dan a continuación.

d\izquierda(\int f(x)dx\derecha)=f(x)dx

\int d(F(x))=F(x)+C

\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx,a\neq 0

\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx

Si , entonces y , donde es una función arbitraria que tiene una derivada continua

\int f(x)dx=F(x)+C

\int f(u)du=F(u)+C

u=\varfi (x)

Resumiendo bajo el signo diferencial

Al subsumir bajo el signo diferencial , se utilizan las siguientes propiedades:

du=d(u+C)

du={1 \over a}d(au)

f'(u)\cdot du=d(f(u))

Métodos básicos de integración

1. El método de introducir un nuevo argumento. si un

{\ estilo de visualización \ int g (x) dx = G (x) + C,}

después

{\ estilo de visualización \ int g (u) du = G (u) + C,}

donde es una función continuamente diferenciable. $u=\varfi (x)$

2. Método de descomposición. si un

g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),

después

\int g(x)dx=\int g_{1}(x)dx+\int g_{2}(x)dx.

3. Método de sustitución. Si es continuo, entonces, estableciendo $g(x)$

{\ estilo de visualización x = \ varphi (t),}

donde es continua junto con su derivada , obtenemos ${\ estilo de visualización \ varphi (t)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi '(t)}$

{\ estilo de visualización \ int g (x) dx = \ int g (\ varphi (t)) \ varphi '(t) dt.}

4. Método de integración por partes . Si y son algunas funciones diferenciables de , entonces $tu$ $v$ $X$

{\ estilo de visualización \ int udv = uv- \ int vdu.}

Tabla de integrales indefinidas básicas

{\ estilo de visualización \ int 0 \ cdot dx = C;}

{\ estilo de visualización \ int 1 \ cdot dx = x + C;}

\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C

{\ estilo de visualización (n \ neq -1);}

\int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C;

{\displaystyle\int e^{x}dx=e^{x}+C;}

\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,

{\ estilo de visualización (a> 0, a \ neq 1);}

{\ estilo de visualización \ int \ cos x \, dx = \ sin x + C;}

\int \sin x\,dx=-\cos x+C;

\int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\mathrm {tg} \,x+C;

\int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\mathrm {ctg} \,x+C;

\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2))))=\arcsin x+C_{1}=-\arccos x+C_{2}\quad (C_{2 }={\frac {\pi }{2}}+C_{1});

\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\mathrm {arctg} \,x+C;

\int \mathrm {ch} \,xdx=\mathrm {sh} \,x+C;

\int \mathrm {sh} \,xdx=\mathrm {ch} \,x+C;

A la izquierda en cada igualdad hay una función antiderivada arbitraria (pero definida) para el integrando correspondiente, a la derecha, una antiderivada específica, a la que se agrega una constante tal que se satisface la igualdad entre estas funciones. $C$

Las funciones primitivas en estas fórmulas están definidas y son continuas en aquellos intervalos en los que los integrandos correspondientes están definidos y son continuos. Este patrón no es accidental: como se señaló anteriormente, toda función continua en un intervalo tiene una antiderivada continua.

Véase también

antiderivada
Integral definida
Teorema principal de análisis
Signo integral
Cálculo integral
Integracion numerica
Métodos de integración
Lista de integrales de funciones elementales
tabla de integrales

Notas

↑ Gran Enciclopedia Rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.

Literatura

Nikolsky SM Capítulo 9. Integral Definida de Riemann // Curso de Análisis Matemático. - 1990. - T. 1.
Ilyin V. A., Poznyak, E. G. Capítulo 6. Integral indefinida // Fundamentos del análisis matemático. - 1998. - V. 1. - (Curso de matemáticas superiores y física matemática).

Demidovich B.P. Departamento 3. Integral indefinida // Colección de problemas y ejercicios de análisis matemático. - 1990. - (Curso de matemáticas superiores y física matemática).

Enlaces

Weisstein, Eric W. Integral (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Wolfram Integrator: cálculo de integrales en línea usando Mathematica
Calculadora de integrales en línea Archivado el 6 de enero de 2010 en Wayback Machine .
Calculadora integral en línea con una solución detallada paso a paso en ruso . Archivado el 29 de abril de 2014 en Wayback Machine .
Integral - artículo de la Gran Enciclopedia Soviética .

diccionarios y enciclopedias	Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	NKC : ph123268

Cálculo integral

Principal

Generalizaciones
de la integral de Riemann

Transformaciones integrales

Integración numérica

teoría de la medida

Temas relacionados

Listas de integrales