Expansión del grupo

Una extensión de grupo es un grupo que contiene el grupo dado como un subgrupo normal de . En el problema de extensión, por regla general, se dan un subgrupo normal y un grupo cociente , y se busca una extensión tal que , o, equivalentemente, tal que exista una sucesión exacta corta : $norte$ $q$ $G\supset N$ $G/N\cong Q$ $GRAMO$

1\a N\a G\a Q\a 1

En este caso, se dice que es una extensión por [1] (a veces se usa otra formulación: el grupo es una extensión por [2] [3] ). $GRAMO$ $q$ $norte$ $GRAMO$ $norte$ $q$

Una extensión se llama extensión central si el subgrupo se encuentra en el centro del grupo . $norte$ $GRAMO$

Ejemplos

Los grupos también son extensiones con . $\mathbb {Z} _{4}$ $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ${\matemáticas {Z}}_{2}$ ${\matemáticas {Z}}_{2}$

Una extensión obvia es un producto directo : si , entonces es una extensión de y . Si es un producto semidirecto de los grupos y ( ), entonces es una extensión con . ${\ estilo de visualización G = K \ veces H}$ $GRAMO$ $H$ $k$ $GRAMO$ $k$ $H$ $G=K\rveces H$ $GRAMO$ $H$ $k$

Los productos de corona de grupos dan más ejemplos de extensiones.

Propiedades

Si requerimos que y son grupos abelianos , entonces el conjunto de clases de isomorfismo de la extensión de un grupo por un grupo (abeliano) dado es, de hecho, un grupo que es isomorfo a : $GRAMO$ $q$ $q$ $norte$

\operatorname {Ext}_{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N)

( Funtor externo ). Se conocen algunas otras clases generales de extensiones, pero no existe una teoría que considere todas las extensiones posibles al mismo tiempo, en este sentido el problema de la extensión grupal suele considerarse difícil.

Dado que cada grupo finito tiene un subgrupo normal máximo con un grupo de factores simples , todos los grupos finitos se pueden construir como series de composición , donde cada grupo es una extensión de algún grupo simple . Este hecho se ha convertido en uno de los incentivos importantes para resolver el problema de la clasificación de grupos finitos simples . $GRAMO$ $norte$ ${\ estilo de visualización G/N}$ ${\ estilo de visualización \ {A_ {i} \}}$ $A_{{yo+1}}$ $Ai}$

Clasificación de extensiones

Resolver el problema de la extensión significa clasificar todas las extensiones de un grupo con , o, más específicamente, expresar todas esas extensiones en términos de entidades matemáticas que son más simples en algún sentido (fáciles de calcular o bien entendidas). En general, esta tarea es muy difícil y todos los resultados más útiles clasifican extensiones que cumplen algunas condiciones adicionales. $H$ $k$

Para el problema de clasificación, un concepto importante es la equivalencia de extensiones; Se dice que las extensiones son:

1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1

1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1

son equivalentes (o congruentes) si existe un isomorfismo de grupoque hace queel diagrama sea conmutativo : $T:G\to G'$

De hecho, basta con tener un grupo homomorfismo. Debido a la supuesta conmutatividad del diagrama, el lema corto de cinco homomorfismos obliga a que la aplicación sea un isomorfismo .

Puede ocurrir que las extensiones y no sean equivalentes, sino isomorfas como grupos. Por ejemplo, hay extensiones no equivalentes del grupo cuádruple de Klein usando [4] , pero hay, hasta el isomorfismo, solo cuatro grupos de orden 8 que contienen un subgrupo de orden normal con un grupo de cociente isomorfo al grupo cuádruple de Klein . $1\a K\a G\a H\a 1$ $1\a K\a G^{\prime }\a H\a 1$ $GRAMO$ $GRAMO'$ $ocho$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ $2$

Extensiones triviales

Una extensión trivial es una extensión:

1\a K\a G\a H\a 1

que es equivalente a la extensión:

1\a K\a K\veces H\a H\a 1

donde las flechas izquierda y derecha son la inclusión y proyección de cada factor , respectivamente . ${\ estilo de visualización K \ veces H}$

Clasificaciones de extensiones divididas

Una extensión dividida es una extensión:

1\a K\a G\a H\a 1

con un homomorfismo tal que al pasar de a con y luego de vuelta a por el mapeo factorial de una secuencia exacta corta genera el mapeo de identidad en , es decir, . En esta situación, se suele decir que parte la sucesión exacta anterior . $s\dos puntos H\to G$ $H$ $GRAMO$ $s$ $H$ $H$ $\pi \circ s=\mathrm {id} _{H}$ $s$

Las extensiones divididas son muy fáciles de clasificar, ya que una extensión se divide si y solo si el grupo es un producto semidirecto de y . Los productos semidirectos son en sí mismos fáciles de clasificar, ya que corresponden uno a uno a los homomorfismos , donde se encuentra el grupo de automorfismos . $GRAMO$ $k$ $H$ $H\to\operatorname {Aut} (K)$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Aut} (K)}$ $k$

Expansión central

La expansión central de un grupoes la corta secuencia exacta de grupos $GRAMO$

{\ estilo de visualización 1 \ a A \ a E \ a G \ a 1}

tal que se encuentra en ( el centro del grupo ). El conjunto de clases de isomorfismo de las extensiones del grupo central con (donde actúa trivialmente sobre ) es una correspondencia uno a uno con el grupo de cohomología . $A$ ${\ estilo de visualización Z (E)}$ $mi$ $GRAMO$ $A$ $GRAMO$ $A$ $H^{2}(G,A)$

Se pueden construir ejemplos de extensiones centrales tomando cualquier grupo y cualquier grupo abeliano , igualando a . Este tipo de ejemplo de división (una extensión dividida en el sentido del problema de extensión, ya que es un subgrupo de ) es de poco interés, ya que corresponde a un elemento en según la correspondencia anterior. Ejemplos más serios se encuentran en la teoría de las representaciones proyectivas en los casos en que las representaciones proyectivas no pueden elevarse a representaciones lineales ordinarias . $GRAMO$ $A$ $mi$ ${\ estilo de visualización A \ veces G}$ $GRAMO$ $mi$ ${\ estilo de visualización 0}$ $H^{2}(G,A)$

En el caso de grupos perfectos finitos, existe una extensión central perfecta universal .

De manera similar, la extensión central del álgebra de Lie es la secuencia exacta $\mathfrak{g}$

0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0,

uno que está en el centro . $\mathfrak{a}$ ${\mathfrak{e))$

Existe una teoría general de las extensiones centrales en las variedades de Maltsev [5] .

Grupos de mentiras

En la teoría de grupos de Lie , las extensiones centrales surgen en conexión con la topología algebraica . En términos generales, las extensiones centrales de los grupos de Lie por grupos discretos son lo mismo que los grupos de cobertura . Más precisamente, un espacio de cobertura conectado de un grupo de Lie conectado es una extensión central natural del grupo , con la proyección ${\ Displaystyle G ^ {\ ast}}$ $GRAMO$ $GRAMO$

\pi \colon G^{*}\to G

es un grupo de homomorfismo y es sobreyectivo. (La estructura de un grupo depende de la elección de asignar el elemento de identidad al elemento de identidad ). Por ejemplo, cuando es la cubierta universal del grupo , el núcleo es el grupo fundamental del grupo , que se sabe que es abeliano. ( espacio H ). Por el contrario, si se dan un grupo de Lie y un subgrupo central discreto , el grupo cociente es un grupo de Lie y es su espacio de cobertura. ${\ Displaystyle G ^ {\ estrella}}$ $GRAMO$ ${\ Displaystyle G ^ {\ estrella}}$ $GRAMO$ $\Pi$ $GRAMO$ $GRAMO$ $Z$ ${\ estilo de visualización G/Z}$ $GRAMO$

Más generalmente, si los grupos , y en la extensión central son grupos de Lie y las aplicaciones entre ellos son homomorfismos de grupos de Lie, entonces si el álgebra de Lie del grupo es , el álgebra es y el álgebra es , entonces es la extensión central de el álgebra de mentira por . En la terminología de la física teórica , los generadores de álgebra se denominan cargas centrales . Estos generadores se encuentran en el centro del álgebra . Por el teorema de Noether, los generadores de grupos de simetría corresponden a cantidades conservadas y se denominan cargas . $A$ $mi$ $GRAMO$ $GRAMO$ $\matemáticas g$ $A$ ${\ matemáticas frak a}$ $mi$ ${\mathfrak{e))$ ${\mathfrak{e))$ $\matemáticas g$ $\matemáticas {a}$ ${\ matemáticas frak a}$ ${\mathfrak{e))$

Ejemplos básicos de extensiones centrales como grupos de cobertura:

grupos espinores , que cubren doblemente a los grupos ortogonales especiales , que (en dimensión par) cubren doblemente al grupo ortogonal proyectivo ;
grupos metaplécticos que cubren grupos simplécticos dos veces .

El caso involucra al grupo fundamental, que es un grupo cíclico infinito ; aquí la extensión central es bien conocida de la teoría de formas modulares para el caso de formas con peso . La representación proyectiva correspondiente es la representación de Weyl construida a partir de la transformada de Fourier , en este caso, sobre el eje real . Los grupos metaplécticos también aparecen en la mecánica cuántica . $SL_{2}(\mathbf{R} )$ ${\tfrac{1}{2))$

Véase también

Lie Algebra Extension
Extensión de anillo
Álgebra Virasoro
Extensión HNN
Extensión de grupo topológico

Notas

↑ En álgebra general , la mayoría de las veces, se supone que una extensión de estructura es una estructura en la que hay una subestructura, por lo que, en particular, se define una extensión de campo ; pero en la teoría de grupos (posiblemente debido a la notación ) se ha establecido una terminología diferente, y el enfoque no está en , sino en el grupo de cocientes , por lo que se cree que se expande con la ayuda de . $k$ $L \ subleva K$ $k$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ext} (Q, N)}$ ${\ estilo de visualización N \ subconjunto G}$ $q$ $q$ $norte$
↑ Comentario 2.2. . Consultado el 15 de marzo de 2019. Archivado desde el original el 26 de mayo de 2019. (indefinido)
↑ Marrón, Porter, 1996 , pág. 213–227.
↑ Dummit, Foote, 2004 , pág. 830.
↑ Janelidze, Kelly, 2000 .

Literatura

David S. Dummit, Richard M. Foote. álgebra abstracta. - tercera edicion. - Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .
McLane S. Homología. — M .: Mir, 1966.
Taylor RL Cubriendo grupos de grupos topológicos no conectados // Actas de la American Mathematical Society. - 1954. - T. 5 . — S. 753–768 .
Brown R., Mucuk O. Cubriendo grupos de grupos topológicos no conectados revisados // Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge. - 1994. - T. 115 . — págs. 97–110 .
Brown R., Porter T. Sobre la teoría de Schreier de extensiones no abelianas: generalizaciones y cálculos // Actas de la Royal Irish Academy. - 1996. - T. 96A . — S. 213–227 .
Janelidze G., Kelly GM Extensiones centrales en variedades Malt'sev // Teoría y aplicaciones de categorías. - 2000. - T. 7 . — S. 219–226 .
Grupo Morandi PJ Extensiones y ${\ estilo de visualización H ^ {3}}$ .
Extensiones de grupo . Nombres de grupo . Fecha de acceso: 14 de junio de 2019. (indefinido)