Relación de Skene
La cuestión central de la teoría de nudos es si dos diagramas representan el mismo nudo . Una de las herramientas utilizadas para responder a esta pregunta es el polinomio de nudos , que es el invariante de nudos . Si dos diagramas corresponden a polinomios diferentes , entonces representan nodos diferentes. Lo contrario no siempre es cierto.
La relación de madeja (o relación de tipo Conway ) se usa a menudo para definir un polinomio de nudo de una manera simple. Hablando informalmente, la relación de madeja define una relación lineal entre los valores del polinomio de nudo en tres enlaces , que difieren entre sí solo en un área pequeña. Para algunos polinomios, como los polinomios de Conway , Alexander y Jones , una relación de madeja adecuada es suficiente para calcular el polinomio recursivamente . Otros, como el polinomio HOMFLY , requieren algoritmos más complejos.
Definición
Hay tres diagramas de enlace involucrados en la relación de piel , que son idénticos en todas partes excepto en una intersección. Estos tres diagramas deberían expresar tres posibilidades que podrían tener lugar en esta intersección: un hilo podría pasar por debajo de otro hilo, sobre él o no cruzarse en absoluto. Es necesario considerar los diagramas de enlace , ya que cambiar incluso una intersección puede convertir un diagrama de nudo en un diagrama de enlace y viceversa. Dependiendo del polinomio de nudo particular, los enlaces que aparecen en la relación de piel pueden estar orientados o no.
Los tres diagramas se designan de la siguiente manera. Gire el nudo para que las direcciones de ambos hilos en la intersección en cuestión apunten aproximadamente al norte. En un diagrama, el hilo de la dirección noroeste pasará sobre el hilo del noreste, lo denotaremos . En otro diagrama, el hilo del noreste pasa sobre el del noroeste, esto es . El último diagrama carece de esta intersección y se denota por .
(En realidad, la notación es independiente de la dirección en el sentido de que cuando se invierten todas las direcciones, la notación sigue siendo la misma. Por lo tanto, los polinomios se definen de manera única incluso en nudos no dirigidos. Sin embargo, la orientación en el vínculo es fundamentalmente importante para recordar en qué orden en que se realizó la recursividad.)
Es útil pensar en esto como la composición de dos diagramas a partir de un diagrama parcheándolos con las orientaciones adecuadas.
Para definir recursivamente el polinomio de un nudo (enlace), la función y es fija para cualquier triple de diagramas y sus polinomios, denotados como arriba,
o más cuidadosamente
para todos
(Encontrar una función que haga que el polinomio sea independiente del orden de las intersecciones en la recursividad no es una tarea fácil).
Más formalmente, la relación de la madeja se puede considerar como la definición del núcleo del mapa del cociente del álgebra de corona plana . Tal mapeo corresponde a un polinomio de nodo si todos los diagramas cerrados se asignan a tipos complejos de diagramas vacíos.