Grupo cíclico

Un grupo cíclico es un grupo que puede ser generado por un solo elemento a , es decir, todos sus elementos son potencias de a (o, usando terminología aditiva, puede representarse como na , donde n es un número entero ). Notación matemática: . $(G,\cdot)$ $G=\langle a\rangle$

A pesar de su nombre, un grupo no tiene que representar literalmente un "ciclo". Puede ocurrir que todos los grados sean diferentes. El grupo así generado se llama grupo cíclico infinito y es isomorfo al grupo de los enteros por adición $g^{n}$ $(\matemáticas {Z},+).$

Propiedades

Todos los grupos cíclicos son abelianos .
Cada grupo cíclico finito es isomorfo al grupo = con suma módulo n (también se denota por ), y cada grupo infinito es isomorfo a , el grupo de los enteros módulo n. $\mathbb {Z} _{n}$ $\{0,1,\puntos,n-1\}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\matemáticas {Z}$
- En particular, para cada número natural n existe un grupo cíclico único (salvo isomorfismo) de orden n .
Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.
Un grupo cíclico de orden n tiene exactamente φ( n ) generadores, donde φ es la función de Euler .
Si p es primo , entonces cualquier grupo de orden p es cíclico y único hasta el isomorfismo (esto se deriva del teorema de Lagrange ).
Un producto directo de dos grupos de orden cíclico y es cíclico si y solo si n y m son coprimos. $norte$ $metro$
- Por ejemplo, isomorfo a , pero no isomorfo a . $\mathbb {Z} _{12}$ $\mathbb {Z} _{3} \times \mathbb {Z} _{4}$ $\mathbb {Z} _{6} \times \mathbb {Z} _{2}$
El teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados establece que cualquier grupo abeliano finitamente generado se descompone únicamente en un producto directo de grupos cíclicos primarios . El grupo primario puede ser un grupo cíclico , donde p es un número primo, o . $\mathbb {Z} _{p^{n}}$ $\matemáticas {Z}$
El grupo multiplicativo de cualquier campo finito es cíclico (es generado por un elemento del campo de orden superior).
El anillo de endomorfismo de un grupo es isomorfo al anillo . Bajo este isomorfismo, el número r corresponde a un endomorfismo que asigna a un elemento la suma de r de sus instancias. Tal aplicación sería una biyección si y sólo si r es relativamente primo con n , de modo que el grupo de automorfismos sea isomorfo . $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}^{\veces}$

Ejemplos

El grupo de raíces de unidad de potencia n por multiplicación.
El grupo de Galois de cualquier extensión finita de un campo finito es finito y cíclico; a la inversa, dado un campo finito F y un grupo cíclico finito G , existe una extensión finita F cuyo grupo de Galois es G.

Evidencia

Declaración _ Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

prueba _ Sea un grupo cíclico y sea un subgrupo del grupo . Si un grupo es trivial (consiste en un elemento), entonces también es cíclico. Si es un subgrupo trivial (consiste en el elemento identidad o coincide con todo el grupo G), entonces es cíclico. En lo que sigue , en el curso de la demostración, supondremos que y no son triviales. $GRAMO$ $H$ $GRAMO$ $GRAMO$ $H=G$ $H$ $H$ $H$ $GRAMO$ $H$

Sea un elemento generador del grupo , y sea el menor entero positivo tal que . Declaración: $gramo$ $GRAMO$ $norte$ $g^{n}\en H$ $H=\ángulo g^{n}\rángulo$

\langle g^{n}\rangle \subseteq H

{\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\ {\exists z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z))

g^{n}\in H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H

Por lo tanto, .

\langle g^{n}\rangle \subseteq H

H\subseteq \langle g^{n}\rangle

deja _

h\en H

h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}

. Según el algoritmo de división

\existe q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r\leq n-1\land x=qn+r

h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r} =h(g^{n})^{-q}

h,g^{n}\en H\Rightarrow g^{r}\en H

. Basándonos en cómo elegimos y en el hecho de que , concluimos que .

norte

0\leq r\leq n-1

r=0

r=0\Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in\langle g^{n}\rangle

. Por lo tanto, .

H\subseteq \langle g^{n}\rangle

Literatura

Curso de Álgebra de Vinberg E. B. — M.: Prensa Factorial, 2001.
Hamermesh M. Teoría de grupos y su aplicación a problemas físicos. — M.: Mir, 1966.

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier