Coordenadas elipsoidales

Coordenadas elipsoidales : un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales , que es una generalización de un sistema de coordenadas elípticas bidimensionales . Este sistema de coordenadas se basa en el uso de superficies confocales de segundo orden . ${\ estilo de visualización (\ lambda, \ mu, \ nu)}$

Fórmulas básicas

Las coordenadas cartesianas se obtienen a partir de coordenadas elipsoidales usando las ecuaciones $(x, y, z)$ ${\ estilo de visualización (\ lambda, \ mu, \ nu)}$

x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+ \nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right))),

y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+ \nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right))),

z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+ \nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right))),

mientras que se imponen restricciones a las coordenadas

-\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.

Las superficies con una constante son elipsoides : $\lambda$

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda}}=1,

Las superficies con una constante son hiperboloides de una hoja. $\mu$

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu}}=1,

ya que el último término es negativo y las superficies con una constante son hiperboloides de dos hojas $\nu$

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu}}=1,

ya que los dos últimos términos son negativos.

Al construir coordenadas elipsoidales, se utilizan superficies confocales de segundo orden.

Factores de escala y operadores diferenciales

Por brevedad, en las siguientes ecuaciones introducimos la función

S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \ derecha)\izquierda(c^{2}+\sigma \derecha),

donde puede representar cualquiera de las cantidades . Usando esta función, podemos escribir los factores de escala $\sigma$ ${\ estilo de visualización (\ lambda, \ mu, \ nu)}$

h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{ S(\lambda)}}},

h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{ S(\mu)}}},

h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{ S(\nu )}}}.

Por lo tanto, un volumen elemental infinitesimal se puede escribir como

dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {- S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\ d\lambda d\mu d\nu ,

y el laplaciano tiene la forma

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \ derecha))){\frac {\parcial }{\parcial \lambda ))\left[{\sqrt {S(\lambda ))){\frac {\parcial \Phi }{\parcial \lambda ))\right ]\ +

+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right))){\frac { \parcial }{\parcial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu ))){\frac {\parcial \Phi }{\parcial \mu }}\right]\ +\ {\frac { 4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right))){\frac {\parcial }{\parcial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu ))){\frac {\parcial \Phi }{\parcial \nu }}\right]

Otros operadores diferenciales, como y , se pueden expresar en coordenadas sustituyendo los factores de escala en fórmulas generales para coordenadas ortogonales. $\nabla \cdot \mathbf {F}$ $\nabla \times \mathbf {F}$ ${\ estilo de visualización (\ lambda, \ mu, \ nu)}$

Véase también

Focaloid (una capa definida por dos superficies de coordenadas)

Literatura

Morse PM, Feshbach H. Métodos de física teórica, Parte I (neopr.) . - Nueva York: McGraw-Hill Education , 1953. - S. 663.
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Sauer R., Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs (neopr.) . - Nueva York: Springer Verlag , 1967. - S. 101-102.
Korn GA, Korn TM Manual matemático para científicos e ingenieros (inglés) . - Nueva York: McGraw-Hill Education , 1961. - Pág. 176.
Margenau H., Murphy GM Las matemáticas de la física y la química (sin especificar) . - Nueva York: D. van Nostrand, 1956. - S. 178-180 .
Moon PH, Spencer DE Coordenadas elipsoidales (η, θ, λ) // Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones . corregida 2da, 3ra impresión. - Nueva York: Springer Verlag , 1988. - P. 40-44 (Cuadro 1.10). — ISBN 0-387-02732-7 .

Enlaces

Descripción de coordenadas elipsoidales confocales en MathWorld

Sistemas coordinados
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Tipos de sistemas de coordenadas	Sistema de coordenadas rectilíneas Sistema de coordenadas curvilíneas
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