Las coordenadas elípticas son un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales en el que las líneas de coordenadas son elipses e hipérbolas confocales . Por lo general se toman dos focos y puntos y sobre los ejes del sistema de coordenadas cartesianas .
Las coordenadas elípticas generalmente se definen por la regla:
donde , .
Esto define una familia de elipses e hipérbolas confocales. identidad trigonométrica
muestra que las líneas de nivel son elipses y una identidad de la geometría hiperbólica
muestra que las líneas de nivel son hipérbolas .
Los coeficientes de Lame para coordenadas elípticas son
Las identidades para el doble ángulo nos permiten llevarlas a la forma
El elemento de área es:
y el laplaciano es
Se pueden obtener otros operadores diferenciales sustituyendo los coeficientes de Lamé en fórmulas generales para coordenadas ortogonales. Por ejemplo, el gradiente de un campo escalar se escribe:
dónde
, .A veces se utiliza otra definición geométricamente más intuitiva de coordenadas elípticas :
Entonces, las líneas de nivel son elipses y las líneas de nivel son hipérbolas. Donde
Las coordenadas tienen una relación simple con las distancias a los focos y . Para cualquier punto del plano
donde son las distancias a los focos , respectivamente.
De este modo:
Recuerde que y están ubicados en los puntos y respectivamente.
La desventaja de este sistema de coordenadas es que no se asigna uno a uno a las coordenadas cartesianas:
Los coeficientes de Lame para coordenadas elípticas alternativas son:
El elemento de área es
y el laplaciano es
Se pueden obtener otros operadores diferenciales sustituyendo los coeficientes de Lamé en fórmulas generales para coordenadas ortogonales.
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