Sistema de coordenadas elípticas

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Las coordenadas elípticas son un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales en el que las líneas de coordenadas son elipses e hipérbolas confocales . Por lo general se toman dos focos y puntos y sobre los ejes del sistema de coordenadas cartesianas . $F_{1}$ $F_{2}$ ${\ estilo de visualización -c}$ ${\ estilo de visualización + c}$ $X$

Definición básica

Las coordenadas elípticas generalmente se definen por la regla: ${\ estilo de visualización (\ mu, \; \ nu)}$

\left\{{\begin{matriz}x=c\,\mathrm {ch} \,\mu \cos \nu \\y=c\,\mathrm {sh} \,\mu \sin \ nu \end{matriz}}\right.

donde , . ${\ estilo de visualización \ mu \ geqslant 0}$ ${\ estilo de visualización \ nu \ en [0, \; 2 \ pi)}$

Esto define una familia de elipses e hipérbolas confocales. identidad trigonométrica

{\frac {x^{2}}{c^{2}\,\mathrm {ch} ^{2}\,\mu }}+{\frac {y^{2}}{c^ {2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1

muestra que las líneas de nivel son elipses y una identidad de la geometría hiperbólica $\mu$

{\frac {x^{2}}{c^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{c^{2}\sin ^{ 2}\nu }}=\mathrm {ch} ^{2}\,\mu -\mathrm {sh} ^{2}\,\mu =1

muestra que las líneas de nivel son hipérbolas . $\nu$

Coeficientes cojos

Los coeficientes de Lame para coordenadas elípticas son ${\ estilo de visualización (\ mu, \; \ nu)}$

H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {(\mathrm {ch} \,\mu \,\sin \,\nu )^{2}+(\mathrm {sh} \,\mu \,\cos \,\nu )^{2}}}=c{\sqrt {\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu }}.

Las identidades para el doble ángulo nos permiten llevarlas a la forma

H_{\mu }=H_{\nu }=c{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\mathrm {ch} \,2\mu -\cos 2\nu }}) .

El elemento de área es:

dS=c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu ,

y el laplaciano es

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\mathrm {sh} ^{2}\,\mu +\sin ^{2}\nu ))) \left({\frac {\parcial ^{2}\Phi }{\parcial \mu ^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}\Phi }{\parcial \nu ^{2} }}\Correcto).

Se pueden obtener otros operadores diferenciales sustituyendo los coeficientes de Lamé en fórmulas generales para coordenadas ortogonales. Por ejemplo, el gradiente de un campo escalar se escribe: ${\ estilo de visualización \ Phi (\ mu, \; \ nu)}$

\mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {1}{H_{\mu }}}{\frac {\parcial \Phi }{\parcial \mu }}\mathbf {e}_{ \mu }+{\frac {1}{H_{\nu }}}{\frac {\parcial \Phi }{\parcial \nu }}\mathbf {e} _{\nu },

dónde

\mathbf {e} _{\mu }=c(\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu ,\,\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu )

\mathbf {e} _{\nu }=c(-\mathrm {ch} \,\mu \sin \nu ,\,\mathrm {sh} \,\mu \cos \nu )

Otra definición

A veces se utiliza otra definición geométricamente más intuitiva de coordenadas elípticas : ${\ estilo de visualización (\ sigma, \; \ tau)}$

\left\{{\begin{matriz}\sigma =\mathrm {ch} \,\mu \\\tau =\cos \nu \end{matriz}}\right.

Entonces, las líneas de nivel son elipses y las líneas de nivel son hipérbolas. Donde $\sigma$ $\tau$

\tau \in [-1,\;1],\quad \sigma \geqslant 1.

Las coordenadas tienen una relación simple con las distancias a los focos y . Para cualquier punto del plano ${\ estilo de visualización (\ sigma, \; \ tau)}$ $F_{1}$ $F_{2}$

\left\{{\begin{matriz}d_{1}+d_{2}=2c\sigma \\d_{1}-d_{2}=2c\tau \end{matriz}}\right.

donde son las distancias a los focos , respectivamente. ${\displaystyle d_{1},\;d_{2))$ ${\ estilo de visualización F_ {1}, \; F_ {2}}$

De este modo:

\left\{{\begin{matriz}d_{1}=c(\sigma +\tau )\\d_{2}=c(\sigma -\tau )\end{matriz}}\right.

Recuerde que y están ubicados en los puntos y respectivamente. $F_{1}$ $F_{2}$ ${\ estilo de visualización x = -c}$ ${\ estilo de visualización x = + c}$

La desventaja de este sistema de coordenadas es que no se asigna uno a uno a las coordenadas cartesianas:

\left\{{\begin{matriz}x=c\sigma \tau \\y^{2}=c^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{ 2})\end{matriz}}\right.

Coeficientes cojos

Los coeficientes de Lame para coordenadas elípticas alternativas son: ${\ estilo de visualización (\ sigma, \; \ tau)}$

h_{\sigma }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)){\sigma ^{2}-1))};

h_{\tau }=c{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}.

El elemento de área es

dA=c^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2)){\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2 })}}}\,d\sigma\,d\tau,

y el laplaciano es

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{c^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})))\left[{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\parcial }{\parcial \sigma }}\left({\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\frac {\parcial \Phi }{\ \sigma parcial }}\right)+{\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\frac {\parcial }{\parcial \tau }}\left({\sqrt {1-\tau ^{ 2))}{\frac {\parcial \Phi }{\parcial \tau }}\right)\right]

Se pueden obtener otros operadores diferenciales sustituyendo los coeficientes de Lamé en fórmulas generales para coordenadas ortogonales.

Literatura

Korn G., Korn T. Manual de matemáticas (para científicos e ingenieros). - M. : Nauka, 1974. - 832 p.

Véase también

Circunferencia de Apolonio

Sistemas coordinados
Nombre de las coordenadas	Abscisa ordenada Apliques
Tipos de sistemas de coordenadas	Sistema de coordenadas rectilíneas Sistema de coordenadas curvilíneas
coordenadas 2D	Coordenadas biangulares Coordenadas bicéntricas Coordenadas hiperbólicas Coordenadas polares Coordenadas bipolares Coordenadas parabólicas Coordenadas elípticas Coordenadas tetracíclicas Coordenadas trilineales
coordenadas 3D	Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Coordenadas bisféricas Coordenadas toroidales Coordenadas cilíndricas parabólicas Coordenadas bicilíndricas Coordenadas elipsoidales Coordenadas cónicas Coordenadas pentasféricas Sistema de coordenadas dipolares
$norte$ -coordenadas dimensionales	Coordenadas cartesianas Coordenadas afines Coordenadas proyectivas Coordenadas de Plucker coordenadas baricéntricas
Coordenadas físicas	Coordenadas de Rindler Coordenadas de nacimiento Sistema de coordenadas celestes Coordenadas geográficas Sistema de coordenadas ortodrómico principal
Definiciones relacionadas	Método de coordenadas Origen eje de coordenadas Vector Orth sistema de referencia Punto de referencia Coeficientes cojos tensor métrico