Grupos Conway

Los grupos de Conway son los tres grupos simples esporádicos Co 1 , Co 2 y Co 3 introducidos por Conway junto con el grupo finito Co 0 [1] [2] asociado a ellos .

El mayor de los grupos de Conway, Co 0 , es el grupo de automorfismos de la red de Leach . este grupo esta en orden $\lambda$

8.315.553.613.086.720.000

No es un grupo simple. Grupo simple Co de orden 1

4.157.776.806.543.360.000

se define como el grupo factorial del grupo Co 0 por su centro , el cual consta de matrices escalares ±1.

El producto escalar en la red de Leach se define como 1/8 de la suma de los productos de las coordenadas correspondientes de los dos vectores multiplicados. Este es un número entero. La norma cuadrática de un vector es igual al producto escalar del vector y sí mismo, siempre un número entero par. A menudo se habla del tipo de vector de red de lixiviación, que es igual a la mitad de la norma. Los subgrupos se nombran a menudo según los tipos de los puntos fijos correspondientes. La red no tiene vectores de tipo 1.

Los grupos Co 2 (de orden 42.305.421.312.000 ) y Co 3 (de orden 495.766.656.000 ) consisten en automorfismos que conservan vectores tipo 2 y vectores tipo 3, respectivamente. Dado que la multiplicación por el escalar −1 no conserva ningún vector distinto de cero, estos dos grupos son isomorfos a los subgrupos de Co 1 . $\lambda$

Historia

Thomas Thompson [3] describió cómo John Leach investigó el denso empaquetamiento de esferas en espacios euclidianos de alta dimensión alrededor de 1964 . Uno de los descubrimientos de Leach fue un apilamiento de celosía en un espacio de 24 dimensiones, basado en lo que se denominó la celosía de Leach . Decidió averiguar si el grupo de simetría de la red contenía grupos simples interesantes, pero sintió que necesitaba la ayuda de alguien con más conocimientos en teoría de grupos. Buscó a esa persona durante mucho tiempo, pero los matemáticos estaban ocupados con sus propias tareas. John Conway accedió a examinar la tarea. John G. Thompson declaró que participaría en el trabajo si Conway encontraba el orden del grupo . Conway pensó que dedicaría meses o años al problema, pero obtuvo el resultado en unos pocos días. $\lambda$

Witt [4] afirmó que había encontrado la red de Leach en 1940 e insinuó que había calculado el orden de su grupo de automorfismos Co 0 .

Subgrupo monomio N del grupo Co 0

Conway comenzó su investigación sobre Co 0 con un subgrupo al que llamó N . Es un holomorfo código binario (extendido) de Golay , representado como un conjunto de matrices diagonales c 1 o −1 en la diagonal, es decir, su extensión por el grupo de Mathieu M 24 (cuyos elementos son representadas como matrices de permutación ). norte ≈ 2 12 : METRO 24 .

La representación estándar del código binario de Golay utilizado en este artículo organiza 24 coordenadas de modo que 6 bloques consecutivos de 4 (tétradas) forman un sexteto .

Las matrices del grupo Co 0 son ortogonales . Es decir, dejan el producto punto sin cambios. La matriz inversa es su transpuesta . Co 0 no contiene matrices con determinante −1.

La red de lixiviación se puede definir como el módulo Z generado por el conjunto de todos los vectores de tipo 2 que consta de ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {2}}$

(4, 4, 0 22 ) (2 8 , 0 16 ) (−3, 1 23 )

y sus imágenes bajo la acción de N . bajo la influencia de N decae en 3 órbitas de tamaño 1104, 97152 y 98304. Entonces . Conway sospechó fuertemente que Co 0 era transitivo sobre , y además, descubrió una nueva matriz, ni monomio entero. ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {2}}$ $|\Lambda _{2}|=196560=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 13$ ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {2}}$

Sea una matriz de 4×4 $\eta$

{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1 \end{matrix}}

Ahora sea una matriz de 6 bloques con un número impar y [5] [6] . es una matriz simétrica y ortogonal, y por lo tanto es una involución . Permuta vectores entre diferentes órbitas del grupo N . $\zeta$ $\eta$ ${\ estilo de visualización - \ eta}$ $\zeta$

Para calcular , lo mejor es considerar un conjunto de vectores de tipo 4. Cualquier vector de tipo 4 es exactamente uno de los 48 vectores de tipo 4 comparables entre sí módulo , que se dividen en 24 pares ortogonales . Un conjunto de 48 de estos vectores se llama marco . N tiene un marco estándar de 48 vectores de la forma (±8, 0 23 ) como una órbita . El subgrupo que fija el marco dado es conjugado a N . El grupo 2 12 , que es isomorfo al código de Golay, actúa como una inversión de signo de los vectores marco, mientras que M 24 permuta los 24 pares del marco. Se puede demostrar que Co 0 es transitivo en . Conway multiplicó el orden de grupo N y el número de fotogramas, este último es igual a la relación . Este producto es el orden de cualquier subgrupo de Co 0 que contenga estrictamente N . Por lo tanto, N es un subgrupo máximo del grupo Co 0 y contiene 2 subgrupos de Sylow del grupo Co 0 . N es también un subgrupo Co 0 de todas las matrices con entradas enteras. $|\mathrm {Co} _{0}|$ ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {4}}$ ${\ estilo de visualización 2 \ Lambda}$ $\{v,-v\}$ ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {4}}$ $2^{12}|\mathrm {M}_{24}|$ $|\Lambda _{4}|/48=8252375=3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13$

Como incluye vectores de la forma (±8, 0 23 ) , Co 0 consta de matrices racionales en las que todos los denominadores dividen a 8. $\lambda$

La representación no trivial más pequeña del grupo Co 0 sobre cualquier campo es de 24 dimensiones, que surge de la red de Leach, y es exactamente sobre campos con características diferentes de 2.

Involuciones en Co 0

Se puede demostrar que cualquier involución en Co 0 es conjugada con un elemento en el código de Golay. Co 0 tiene 4 clases de conjugación de involuciones.

Se puede demostrar que una matriz de permutación de la forma 2 12 es conjugada a dodecads . Su centralizador [7] tiene la forma 2 12 :M 12 y tiene conjugaciones dentro del subgrupo monomio. Cualquier matriz en esta clase conjugada tiene traza 0.

Se puede demostrar que una matriz de permutación de la forma 2 8 1 8 es conjugada a una octava . Tiene traza 8. Él y su opuesto (traza −8) tienen un centralizador común de la forma , un subgrupo maximal en Co 0 . $(2^{1+8}\times 2).\mathrm {O} _{8}^{+}(2)$

Grupos de subredes

Conway y Thompson encontraron que los cuatro grupos simples esporádicos encontrados recientemente descritos en el documento de la conferencia [8] son isomorfos a subgrupos o grupos de factores de subgrupos de Co 0 .

El propio Conway usó la notación para estabilizadores de puntos y subespacios prefijándolos con un punto. Las excepciones fueron •0 y •1 , ahora conocidas como Co 0 y Co 1 . Para un número entero , denotemos el estabilizador de puntos de tipo n (ver arriba) en la red de Leach. ${\ estilo de visualización \ mathbf {n} \ geqslant 2}$ ${\boldsymbol {\cdot))\mathbf {n}$

Luego, Conway introdujo nombres para los estabilizadores planos definidos por triángulos que tenían como origen el vértice. Sea •hkl el estabilizador puntual de un triángulo con aristas (diferencias de vértices) de tipo h , k y l . En los casos más simples, Co 0 es transitivo sobre puntos o triángulos, y los grupos estabilizadores se definen hasta la conjugación.

Conway identificó •322 con el grupo McLaughlin McL (pedido 898.128.000 ), y •332 con el grupo Higman-Sims HS (pedido 44.352.000 ). Ambos han sido descubiertos recientemente.

A continuación se muestra una tabla [9] [10] de algunos grupos de subredes:

Nombre	Ordenar	Estructura	Ejemplo de vértice
•2	2 18 3 6 5 3 7 11 23	Co2_ _	(−3, 1 23 )
•3	2 10 3 7 5 3 7 11 23	Co3 _	(5, 123 )
•cuatro	2 18 3 2 5 7 11 23	2 11 :M 23	(8, 0 23 )
•222	2 15 3 6 5 7 11	Fuente de alimentación 6 (2) ≈ Fi 21	(4, −4, 0 22 ), (0, −4, 4, 0 21 )
•322	2 7 3 6 5 3 7 11	McL	(5, 1 23 ), (4, 4, 0 22 )
•332	2 9 3 2 5 3 7 11	SA	(5, 1 23 ), (4, −4, 0 22 )
•333	2 4 3 7 5 11	3 5 M 11	(5, 1 23 ), (0, 2 12 , 0 11 )
•422	2 17 3 2 5 7 11	2 10 :M 22	(8, 0 23 ), (4, 4, 0 22 )
•432	2 7 3 2 5 7 11 23	M23 _	(8, 0 23 ), (5, 1 23 )
•433	2 10 3 2 5 7	2 4 .A 8	(8, 0 23 ), (4, 2 7 , −2, 0 15 )
•442	2 12 3 2 5 7	2 1+8 .A 7	(8, 0 23 ), (6, −2 7 , 0 16 )
•443	2 7 3 2 5 7	M21 :2 ≈ PSL3 ( 4 ):2	(8, 0 23 ), (5, −3, −3, 1 21 )

Otros dos subgrupos esporádicos

Se pueden definir dos subgrupos esporádicos como grupos de factores de estabilizadores de estructuras en la red de Leach. Identificación de R 24 con C 12 y con $\lambda$

\mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},

el grupo de automorfismos resultante (es decir, el grupo de automorfismos de la red de Leach que conserva la estructura compleja ), cuando se divide por el grupo de seis elementos de matrices escalares complejas, da el grupo de Suzuki Suz (de orden 448.345.497.600 ). Este grupo fue descubierto en 1968 por Michio Suzuki.

Una construcción similar da el grupo de Janko J 2 (de orden 604.800 ) como un grupo factorial de automorfismos de cuaterniones sobre el grupo escalar ±1. $\lambda$

Los siete grupos simples descritos anteriormente incluyen lo que Robert Griss llamó la segunda generación de la familia feliz , que consta de 20 grupos simples esporádicos que se encuentran en el monstruo . Algunos de los siete grupos contienen al menos algunos de los cinco grupos de Mathieu que componen la primera generación .

Cadena Suzuki productos de grupos

Co 0 tiene 4 clases laterales de elementos de orden 3. En M 24 un elemento de la forma 3 8 forma un grupo normal en la copia S 3 que conmuta con un subgrupo simple de orden 168. El producto directo en M 24 permuta el octadas del trío y permuta las 14 matrices en el subgrupo monomio. En Co 0 este normalizador monomio se extiende a un subgrupo maximal de la forma , donde 2.A 9 es una doble cobertura del grupo alterno A 9 [11] . ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3))$ ${\displaystyle 2^{4}\dos puntos \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3))$ ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3))$

John Thompson señaló que sería fructífero estudiar normalizadores de pequeños grupos de la forma 2.A n [12] . Algunos subgrupos máximos Co 0 se encuentran de esta manera. Además, en la cadena resultante aparecen dos grupos esporádicos.

Hay un subgrupo , solo una de sus cadenas no es máxima en Co 0 . Además, hay un subgrupo . Luego viene El grupo unitario (orden 6048 ) se asocia con el grupo de automorfismos del grafo de 36 vértices, anticipando el siguiente subgrupo. En este subgrupo es en el que aparece el Grupo Janko J2 . El gráfico anterior se expande a un gráfico de Hall-Yanko con 100 vértices. Luego viene , el grupo G 2 (4), que es un grupo excepcional de tipo Lie [13] [16] . ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{4))$ ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {PSL} _{2}(7))\dos puntos {2))$ $(2.\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {SU} _{3}(3)):2$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {SU} _ {3} (3)}$ $(2.\mathrm {A} _{5}\circ \mathrm {2.HJ} ):2$ $(2.\mathrm {A} _{4}\circ 2.\mathrm {G} _{2}(4)):2$

La cadena termina con 6.Suz:2 (Suz= Grupo Suzuki esporádico ), que, como se mencionó anteriormente, conserva la representación compleja de la red de Leach.

Tonterías monstruosas generalizadas

Conway y Norton sugirieron en un artículo de 1979 que podría haber una contraparte de la monstruosa tontería para otros grupos también. Larisa Kuin y otros descubrieron sucesivamente que es posible construir extensiones de muchos módulos principales (en la literatura inglesa, el término Hauptmodul se toma prestado del idioma alemán, literalmente, el módulo principal) a partir de combinaciones simples de dimensiones de grupos esporádicos. Para los grupos de Conway, las series de McKay-Thompson correspondientes son ={1, 0, 276, −2048 , 11 202 , −49 152 , …} ( A007246 ) y ={1, 0, 276, 2048 , 11 202 , 49 152 , …} ( A097340 ), donde el término constante es a(0)=24 , $T_{2B}(\tau)$ ${\ Displaystyle T_ {4A} (\ tau)}$

{\begin{alineado}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\ eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )))\right)^{ 4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q))+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\puntos \end {alineado}}

y es la función eta de Dedekind . ${\ estilo de visualización \ eta (\ tau)}$

Notas

↑ Conway, 1968 .
↑ Conway, 1969 .
↑ Thompson, 1983 .
↑ Witt, 1998 , pág. 329.
↑ Griess, 1998 , pág. 97.
↑ Thompson, 1983 , pág. 148–152.
↑ El centralizador de una matriz es el conjunto de matrices que conmutan con ella ( Arnold 1999 ).
↑ Brauer, Sah, 1969 .
↑ Conway, Sloane, 1999 , pág. 291.
↑ Griess, 1998 , pág. 126.
↑ Wilson, 2009 , pág. 27
↑ Conway, 1971 , pág. 242.
↑ Wilson, 2009 , pág. 219.
↑ Wilson, 2009 , pág. 9.
↑ Wilson, 2009 , pág. 82.
↑ Aquí los dos puntos significan una extensión dividida de un grupo ( producto semidirecto ) [14] , el signo ◦ significa el producto central de grupos — el grupo de factores del producto directo de grupos por su centro [15] .

Literatura

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Atlas de Representaciones de Grupos Finitos: Co 1 versión 2
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teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier