División (matemáticas)

División

Designacion	obelus
Opuesto	multiplicación
Archivos multimedia en Wikimedia Commons

La división ( la operación de división ) es el inverso de la multiplicación . La división se indica con dos puntos , obelus , slash , o se escribe como una fracción . $:$ $\div$ $/$

Para los números naturales, la división significa encontrar qué número (cociente) debe tomarse tantas veces (divisor) para obtener el (dividendo) dado.

En otras palabras, esto es encontrar el máximo número posible de repeticiones de restar un divisor de un dividendo; o encontrar un valor tan grande que se pueda restar del dividendo tantas veces como se indica en el divisor.

Considere, por ejemplo, dividir por : $catorce$ $3$

¿Cuántas veces está contenido en ? $3$ $catorce$

Repitiendo la operación de restar de , encontramos que está contenido por cuatro veces, y todavía queda un número "restante" . $3$ $catorce$ $3$ $catorce$ $2$

En este caso, el número se llama divisible , el número es el divisor , el número es el cociente (incompleto) y el número es el resto (de la división) . $catorce$ $3$ $cuatro$ $2$

El cociente total , razón o razón de números se llama número tal que . En el caso donde y , su cociente total se puede escribir como una fracción o una fracción decimal . $a$ $b$ $C$ $a=b\cdot c$ ${\ estilo de visualización a = 14}$ $b=3$ ${\frac{14}{3}}$ ${\ estilo de visualización 4, (6)}$

Los números parciales completos e incompletos y coinciden si y sólo si es divisible ( es divisible ) por . La propiedad correspondiente de un par dado de números se llama divisibilidad . $a$ $b$ $a$ $b$

Formas y terminología

La división se escribe usando uno de los " signos de división " - " " entre argumentos, esta forma de notación se llama notación infija . En este contexto , el signo de división es un operador binario . El signo de división no tiene un nombre especial, como el signo de suma, que se llama "más". ${\ estilo de visualización \ div, ~/, ~:}$

El carácter más antiguo en uso parece ser la barra diagonal (/). Fue utilizado por primera vez por el matemático inglés William Oughtred en su Clavis Mathematicae en 1631.
El matemático alemán Leibniz prefirió el signo de dos puntos (:), utilizó este símbolo en su obra Acta eruditorum de 1684. Antes de Leibniz, este signo fue utilizado por el inglés Johnson en 1633 en su libro, pero como signo de fracción, y no de división. en sentido estricto.
Johann Rahn introdujo el signo obelus (÷) como una marca de división, apareció en su Teutsche Algebra de 1659. El signo de Rahn a menudo se conoce como la "marca de división inglesa".

En los libros de texto de matemáticas en ruso, se utilizan principalmente los dos puntos (:). La barra diagonal (/) se utiliza en notación informática. El resultado se escribe usando el signo igual " ", por ejemplo: $=$

{\ estilo de visualización a: b = c}

;

{\ estilo de visualización 6: 3 = 2}

(“seis dividido por tres es igual a dos”);

{\ estilo de visualización 65: 5 = 13}

("sesenta y cinco dividido por cinco es igual a trece").

Propiedades

La operación de división en conjuntos numéricos tiene las siguientes propiedades principales: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

La división no es permutable (no conmutativa): a partir de un cambio en los lugares de los argumentos, el cociente cambia:

a:b\neq b:a;

La división no es asociativa: cuando la división de tres o más números se realiza secuencialmente, la secuencia de operaciones es importante, el resultado cambiará:

{\ estilo de visualización (a: b): c \ neq a: (b: c);}

La división es distributiva por la derecha, esta es la propiedad de consistencia de dos operaciones binarias definidas en el mismo conjunto, también conocida como la ley distributiva [1] :

Distributividad :

{\ estilo de visualización (a + b): x = (a: x) + (b: x), ~ x \ neq 0;}

En cuanto a la división, el conjunto tiene un solo elemento neutro a la derecha (número ), la división por uno (o un elemento neutro) da un número igual al original: $A$ $una$

Elemento neutro a la derecha:

{\ estilo de visualización x: 1 = x;}

Con respecto a la división, solo hay un elemento recíproco en el conjunto, que se obtiene al dividir uno por un número, lo que da un número que es el inverso del original: $A$

Elemento inverso :

1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;

Con respecto a la división, hay un solo elemento cero a la izquierda en el conjunto: un número dividido por cualquier número da cero: $A$ ${\ estilo de visualización 0}$

Elemento cero a la izquierda:

0:x=0,\quad \existe 0\en A,~x\neq 0;

De acuerdo con las reglas de la aritmética ordinaria, la división por cero (elemento cero) no está definida; ${\ estilo de visualización 0}$

División por cero :

x:0=\infty,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

La división por el elemento opuesto da menos uno:

x:(-x)=-1,\quad \existe!-x\en A,~x\neq 0.

El resultado de la división no siempre es cierto para conjuntos de números naturales y enteros , para obtener un número natural o entero como resultado de la división, el dividendo debe ser un múltiplo del divisor. Es imposible obtener un resultado fraccionario dentro de estos números. En este caso, estamos hablando de una división con resto . Es decir, la división de estos conjuntos es una operación binaria parcial . $\matemáticas {N}$ $\matemáticas {Z}$

La operación de división, definida sobre conjuntos (en campos ) de números racionales , reales y complejos , da un número (privado) perteneciente al mismo conjunto, por lo tanto, los conjuntos son cerrados con respecto a la operación de división (en el punto 0 hay un discontinuidad del segundo tipo - por lo tanto, los anillos de números racionales, reales y complejos están abiertos con respecto a la división). ${\ matemáticas {Q}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $\mathbb {Q_{-0}} ,\mathbb {R_{-0}} ,\mathbb {C_{-0}}$

En las expresiones matemáticas, la operación de división tiene prioridad sobre las operaciones de suma y resta, es decir, se realiza antes que ellas.

Realización de una división

La división es un hiperoperador de resta y se reduce a una resta secuencial. :

$a:b=\operatorname {hiper-2} (a,b)=\operatorname {hiper} (a,-2,b)=a^{(-2)}b=c.$

$a{^{(-2)}}b=a:b=a\underbrace {-bb-\dots -b} _{c}.$

donde: es una secuencia de operaciones de resta realizadas una vez. $-bb-\puntos -b$ $C$

En una solución práctica al problema de dividir dos números , es necesario reducirlo a una secuencia de operaciones más simples: resta , comparación , transferencia , etc. Para esto se han desarrollado varios métodos de división, por ejemplo, para números, fracciones , vectores, etc. En los libros de texto de matemáticas en ruso, el algoritmo se utiliza actualmente divisiones de columna . En este caso, la división debe ser considerada como un procedimiento (en oposición a una operación).

Un diagrama que ilustra los lugares para escribir los cálculos de dividendos, divisores, cocientes, residuos e intermedios al dividir por una columna:

En el diagrama anterior se puede ver que el cociente deseado (o el cociente incompleto cuando se divide con un resto) se escribirá debajo del divisor debajo de la línea horizontal. Y los cálculos intermedios se realizarán debajo del dividendo, y debe cuidar la disponibilidad de espacio en la página con anticipación. En este caso, uno debe guiarse por la regla: cuanto mayor sea la diferencia en el número de caracteres en las entradas del dividendo y el divisor, más espacio se requiere.

Un algoritmo aproximado para el procedimiento de división de números naturales por una columna

Como puede ver, el procedimiento es bastante complicado, consta de una cantidad relativamente grande de pasos y, al dividir números grandes, puede llevar mucho tiempo. Este procedimiento es aplicable a la división de números naturales y enteros (sujetos a signo). Para otros números, se utilizan algoritmos más complejos.

Las operaciones aritméticas sobre números en cualquier sistema numérico posicional se realizan de acuerdo con las mismas reglas que en el sistema decimal , ya que todas se basan en las reglas para realizar operaciones sobre los polinomios correspondientes [2] . En este caso, debe usar la tabla de resta correspondiente a la base dada del sistema numérico. $PAGS$

Un ejemplo de división de números naturales en sistemas numéricos binarios , decimales y hexadecimales :

110010│ 101 │ 0 — 0 50800│ 25 │ 0 — 0 CD530│ A8 │ 0 — 0 101 │1010 │ -101 — 1 50 │2032 │ -25 — 1 — 2 255 │ -170 — │ 0 — 3 1F8 │ -1F8 — 3 101 80 │ -100 — 4 5D3 │ -2A0 — 4 101 75 │ ... — ... 540 │ -348 — 5 00 50 930 │ -3F0 — 6 0 50 930 │ - 498 — 7 0.0.0.│ -540 - 8 │ -5E8 - 9 │ -690 - A │ -738 - B │-7E0-C │ -888 - D │ -930 - E

Dividir números

Números naturales

Usemos la definición de números naturales como clases de equivalencia de conjuntos finitos . Denotemos las clases de equivalencia de conjuntos finitos generados por biyecciones con la ayuda de paréntesis: . Entonces la operación matemática "división" se define de la siguiente manera: $\matemáticas {N}$ ${\ estilo de visualización C, A, B, R}$ ${\ estilo de visualización [C], [A], [B], [R]}$

$\quad [C]=[A]:[B]=[\rightarrow (A/B)]\quad \&\quad [R]$ - se llama división en partes iguales (encontrar el número de elementos en cada subconjunto de la partición), números privados y el número de elementos de cada subconjunto de la partición; $a$ $b$
$\quad [C]=[A]:[B]=[A/(\rightarrow B)]\quad \&\quad [R]$ - se llama división por contenido (encontrar el número de subconjuntos de la partición), números privados y el número (número) de subconjuntos de la partición; $a$ $b$

donde: es una partición de un conjunto finito en subconjuntos disjuntos por pares igualmente numerosos tal que: ${\ estilo de visualización A/B}$

$B_{\alpha }=B_{\beta },$ $\quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,$ $\quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\emptyset \},$ para cualquier coeficiente tal que ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta \ en C}$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ no = \ beta;}$

$R$ es el resto (el conjunto de elementos restantes), , $\{\emptyset \}\leqslant R<B$

$\flecha correcta$ — operación nula "selección de elementos".

En el caso de que un número natural no sea divisible por otro sin resto, hablamos de división con resto . Al resto se le impone la siguiente restricción (para que se determine correctamente, es decir, unívocamente): , , $0\leqslant r<|b|$ $a=b\cdot c+r$

donde: - dividendo, - divisor, - cociente, - resto. $a$ $b$ $C$ $r$

Esta operación sobre las clases se introduce correctamente, es decir, no depende de la elección de los elementos de clase y coincide con la definición inductiva.

La operación aritmética "división" es parcial para el conjunto de los números naturales , (para el semirreglo de los números naturales). ${\ estilo de visualización \ mathbb {N}}$

La relación entre la división de números naturales y la división de conjuntos finitos en clases permite justificar la elección de la acción de división al resolver problemas, por ejemplo, del siguiente tipo:

“Se dividieron 12 lápices en 3 cajas por igual. ¿Cuántos lápices hay en cada caja? El problema considera un conjunto de 12 elementos. Este conjunto se divide en 3 subconjuntos iguales. Se requiere saber el número de elementos en cada subconjunto. Esto se puede encontrar dividiendo - 12 quilates. : 3 piezas. Habiendo calculado el valor de esta expresión, obtenemos la respuesta a la pregunta del problema: hay 4 lápices en cada caja.
“Se deben colocar 12 lápices en cajas, 3 lápices en cada una. ¿Cuántas cajas necesitarás? El problema considera un conjunto de 12 elementos el cual se divide en subconjuntos, cada uno de los cuales tiene 3 elementos, se requiere averiguar el número de dichos subconjuntos. Se puede encontrar dividiendo - 12 quilates. : 3 ct. Habiendo calculado el valor de esta expresión, obtenemos la respuesta a la pregunta del problema: se necesitan 4 cajas.

Para dividir números naturales en el sistema de notación posicional para números, se utiliza el algoritmo de división por una columna.

División entera

La división de números enteros arbitrarios no difiere significativamente de la división de números naturales; basta con dividir sus módulos y tener en cuenta la regla de los signos .

Sin embargo, la división de números enteros con resto no está definida de manera única. En un caso, (así como sin resto), los módulos se consideran primero y como resultado, el resto adquiere el mismo signo que el divisor o dividendo (por ejemplo, con resto (-1)); en otro caso, el concepto de resto se generaliza directamente y las restricciones se toman prestadas de los números naturales: $-7/(-3)=2$

-7\equiv 2{\pmod 3}

Para eliminar la ambigüedad, se adopta un acuerdo: el resto de la división siempre es no negativo.

División de números racionales

La clausura del conjunto de los enteros por la operación de división lleva a su expansión al conjunto de los números racionales. Esto lleva a que el resultado de dividir un número entero por otro sea siempre un número racional . Además, los números resultantes (racionales) ya soportan completamente la operación de división (son cerrados con respecto a ella).

La regla para dividir fracciones ordinarias: ${\frac {a}{b)):{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}$

División de números reales

El conjunto de números reales es un campo ordenado continuo , denotado por . El conjunto de los números reales no es contable, su potencia se llama potencia del continuo . Las operaciones aritméticas sobre números reales representados por fracciones decimales infinitas se definen como una continuación continua [3] de las correspondientes operaciones sobre números racionales. $\matemáticas {R}$

Dados dos números reales que se pueden representar como infinitos decimales :

\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

definidas respectivamente por las sucesiones fundamentales de números racionales (que satisfacen la condición de Cauchy ), denotadas como: y , entonces su número privado se denomina número definido por las sucesiones parciales y : $\alfa =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ ${\ estilo de visualización \ gamma = [c_ {n}]}$ $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]

número real , satisface la siguiente condición: ${\ estilo de visualización \ gamma = \ alfa: \ beta}$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'' :b'').

Así, el cociente de dos números reales es un número real que está contenido entre todos los particulares de la forma por un lado y todos los particulares de la forma por otro lado [4] . La sección de Dedekind permite determinar de forma única el resultado de la división. $\alfa$ $\beta$ $\gama$ ${\ estilo de visualización a': b'}$ ${\ estilo de visualización a'':b''}$

En la práctica, para dividir dos números y , es necesario reemplazarlos con la precisión requerida por números racionales aproximados y . Para el valor aproximado de los números privados, tome el privado de los números racionales indicados . Al mismo tiempo, no importa de qué lado (por deficiencia o por exceso) se aproximan los números racionales tomados y . La división se realiza según el algoritmo de división por columnas. $\alfa$ $\beta$ $a$ $b$ ${\ estilo de visualización \ alfa: \ beta}$ $a:b$ $\alfa$ $\beta$

El error absoluto de un número aproximado parcial: , el error absoluto de un número se toma igual a la mitad de la última unidad de la cifra de dicho número. $\Delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}{b^{2}} }$

El error relativo del cociente es igual a la suma de los errores relativos de los argumentos: . El resultado obtenido se redondea al primer dígito significativo correcto, el dígito significativo del número aproximado es correcto si el error absoluto del número no excede la mitad de la unidad del dígito correspondiente a este dígito. $\delta \left({\frac {a}{b))\right)=\delta a+\delta b$

Un ejemplo de división , hasta el 3er lugar decimal: ${\ estilo de visualización \ gamma = \ pi: e}$

Redondeamos estos números al cuarto decimal (para mejorar la precisión de los cálculos);
Obtenemos: ; ${\ estilo de visualización \ pi \ aproximadamente 3,1416, \ e \ aproximadamente 2,7183}$
Dividimos por una columna :; ${\ estilo de visualización \ gamma = \ pi: e \ aproximadamente 3,1416: 2,7183 \ aproximadamente 1,1557}$
Redondeando al tercer decimal: . ${\ estilo de visualización \ gamma \ aproximadamente 1,156}$

Horario

En el conjunto de pares de números reales, el rango de la función de división tiene gráficamente la forma de un paraboloide hiperbólico , una superficie de segundo orden [5] . $\matemáticas {R} ^{2}$ ${\ estilo de visualización c = a: b ~}$

Como , entonces para estos conjuntos el rango de la función de división pertenecerá a esta superficie. $\mathbb {N} \subconjunto \mathbb {Z} \subconjunto \mathbb {Q} \subconjunto \mathbb {R}$

División de números complejos

El conjunto de números complejos con operaciones aritméticas es un campo y generalmente se denota con el símbolo . $\matemáticas {C}$

Forma algebraica

El cociente de dos números complejos en notación algebraica es un número complejo igual a:

z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {ab+de}{ b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,

donde: — números complejos , — unidad imaginaria ; . ${\ estilo de visualización z, z_ {1}, z_ {2}}$ $a,b,c,d,e,f\en \mathbb {R}$ $i$ $z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0$

En la práctica, el cociente de los números complejos se encuentra multiplicando el dividendo y el divisor por el complejo conjugado del divisor:

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {(a+di) (b-ei)}{(b+ei)(b-ei)}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae {b^{2}+e^{2}}}yo,$ $~~z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0;$

el divisor se convierte en un número real, y en el numerador se multiplican dos números complejos, luego la fracción resultante se divide término por término. El resultado está definido para todos. $b+ei\neq 0=0+0i$

Forma trigonométrica

Para dividir dos números complejos en notación trigonométrica , debe dividir el módulo del dividendo por el módulo del divisor y restar el argumento del divisor del argumento del dividendo:

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}( \cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})))={\ fracción {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2} ),$

donde: - módulo y argumento de un número complejo; . ${\displaystyle r_{n}=|z_{n}|=|x+yi|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};~~~\varphi _{n}=\ nombre del operador {Arg} (z_{n})=\nombre del operador {arctg} {\biggl (}{\frac {x}{y}}{\biggr )))$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Es decir, el módulo del cociente de dos números complejos es igual al cociente de los módulos, y el argumento es la diferencia entre los argumentos del dividendo y el divisor.

La forma exponencial (exponencial)

Dividir un número complejo en forma exponencial por un número complejo se reduce a rotar el vector correspondiente al número por un ángulo y cambiar su longitud por un factor. Para números complejos privados en forma exponencial, la igualdad es verdadera: $z_{1}=a+di=r_{1}e^{i\varphi _{1))$ $z_{2}=b+ei=r_{2}e^{i\varphi _{2}}$ $z_{1}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Arg} (z_{2})}$ ${\ estilo de visualización | z_ {2} |}$

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}e ^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i (\varphi _{1}-\varphi _{2})};$

donde: - número e ; . $e=2{,}718281828\puntos$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Notación exponencial

En notación exponencial, los números se escriben como , donde es la mantisa , es la característica del número , es la base del sistema numérico, . Para dividir dos números que se escriben en forma exponencial, es necesario separar la mantisa y las características: ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $X$ $P^{n}$ $PAGS$ $n\en \mathbb{Z}$ $(a\cdot P^{n}):(b\cdot P^{k})=(a:b)\cdot (P^{n}:P^{k})={\frac { a}{b}}\cdot P^{nk}.$

Por ejemplo:

(6{,}34\cdot 10^{4}):~(2{,}16\cdot 10^{-2})=(6{,}34:~2{,}16)\ cdot (10^{4}:10^{-2})\aprox. 2{,}935\cdot 10^{(4-(-2))}\aprox. 2{,}94\cdot 10^{4+ 2}\aproximadamente 2{,}94\cdot 10^{6}.

División de cantidades físicas

La unidad de medida de una cantidad física tiene un nombre específico ( dimensión ): para longitud (L) - metro (m), para tiempo (T) - segundo (s), para masa (M) - gramo (g) y así en. Por lo tanto, el resultado de medir una determinada cantidad no es solo un número, sino un número con el nombre [6] . El nombre es un objeto independiente que participa igualmente en la operación de división. Al realizar una operación de división en cantidades físicas, se dividen tanto los componentes numéricos como sus nombres.

Además de las cantidades físicas dimensionales, existen cantidades adimensionales (cuantitativas) que son formalmente elementos del eje numérico , es decir, números que no están ligados a determinados fenómenos físicos (medidos por “piezas”, “tiempos”, etc.). Al dividir números que representan cantidades físicas por una cantidad adimensional, el número divisible cambia de magnitud y conserva la unidad de medida. Por ejemplo, si toma 15 clavos y los coloca en 3 cajas, como resultado de la división obtenemos 5 clavos en cada caja:

15~{\text{gw):3=5~{\text{gw)).

La división de cantidades físicas heterogéneas debe considerarse como encontrar una nueva cantidad física que sea fundamentalmente diferente de las cantidades que dividimos. Si es físicamente posible crear tal cociente, por ejemplo, al encontrar el trabajo, la velocidad u otras cantidades, entonces esta cantidad forma un conjunto diferente de las iniciales. En este caso, a la composición de estas magnitudes se le asigna una nueva designación (nuevo término ), por ejemplo: densidad , aceleración , potencia , etc. [7] .

Por ejemplo, si divide la longitud por el tiempo correspondiente a un proceso físico, obtiene un número con nombre (cantidad física) correspondiente al mismo proceso físico, que se llama "velocidad" y se mide en "metros por segundo": $L=8~{\text{m}}~$ $T=2~{\text{s)),~$ $V=4~{\text{m/s)).$

V=L:T=8~{\text{m}}:2~{\text{s}}=4~~{\text{(m : s)))=4~{\text{ milisegundo}}.

Al describir procesos físicos por medios matemáticos, el concepto de homogeneidad juega un papel importante, lo que significa, por ejemplo, que "1 kg de harina" y "1 kg de cobre" pertenecen a conjuntos diferentes {harina} y {cobre} , respectivamente, y no se pueden separar directamente. Además, el concepto de homogeneidad sugiere que las cantidades divisibles pertenecen a un proceso físico. Es inaceptable dividir, por ejemplo, la velocidad de un caballo por el tiempo de un perro.

División en álgebra

A diferencia de los casos aritméticos más simples, en conjuntos y estructuras arbitrarias, la división no solo puede ser indefinida, sino también tener una multiplicidad de resultados.

Por lo general, en álgebra, la división se introduce a través del concepto de identidad y elementos inversos. Si el elemento de identidad se introduce de forma única (generalmente de forma axiomática o por definición), el elemento inverso a menudo puede ser izquierdo ( ) o derecho ( ). Estos dos elementos inversos pueden o no existir por separado, iguales o no iguales entre sí. $x^{{-1}}*x=e$ $x*x^{{-1}}=e$

Por ejemplo, la razón de matrices se determina a través de la matriz inversa, mientras que incluso para matrices cuadradas puede ser:

B^{{-1}}\cdot A\neq A\cdot B^{{-1}}

La relación de tensores generalmente no está definida.

División de polinomios

En términos generales, repite las ideas de dividir números naturales, porque un número natural no es más que los valores de un polinomio, en el que los coeficientes son dígitos, y la base del sistema numérico es en lugar de una variable:

5334_{8}=5\cdot 8^{3}+3\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=\left.(5x^{3} +3x^{2}+3x+4)\right|_{{x=8}}

Por lo tanto, se definen de manera similar: cociente, divisor, dividendo y resto (con la única diferencia de que la restricción se impone al grado del resto). Por tanto, la división por una columna también es aplicable a la división de polinomios .

La diferencia radica en el hecho de que al dividir polinomios, el énfasis principal está en los grados del dividendo y el divisor, y no en los coeficientes. Por lo tanto, generalmente se asume que el cociente y el divisor (y por lo tanto el resto) están definidos hasta un factor constante.

División por cero

Por definición de conjuntos de números, la división por el número 0 no está definida. El cociente de dividir cualquier número distinto de cero por cero no existe, ya que en este caso ningún número puede satisfacer la definición de cociente [8] . Para determinar esta situación, se supone que el resultado de esta operación se considera "infinitamente grande" o "igual a infinito " (positivo o negativo, según el signo de los operandos). Desde un punto de vista geométrico , se realiza una extensión afín de la recta numérica . Es decir, la secuencia habitual de números reales se "comprime" para que sea posible operar con los límites de esta secuencia. Dos cantidades abstractas infinitamente grandes se introducen como límites (condicionales) . Desde el punto de vista de la topología general , se realiza una compactación en dos puntos de la recta numérica sumando dos puntos idealizados (infinitos con signo opuesto). Escribe: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+\infty,-\infty$

a:0=\pm \infty

, dónde

a\neq 0.

Si hacemos una extensión proyectiva del conjunto de números reales introduciendo un punto idealizado que conecta ambos extremos de la línea real, entonces, desde el punto de vista de la topología general , se realizará una compactación en un punto de la línea real mediante sumando infinito sin signo. Complementemos el conjunto de números resultante con un nuevo elemento , como resultado obtenemos , sobre esta base se construye una estructura algebraica llamada " Rueda " (Rueda) [9] . El término fue tomado por la similitud con la imagen topológica de la extensión proyectiva de la línea real y el punto 0/0. Los cambios realizados convierten este sistema algebraico en un monoide tanto por la operación de suma (con el cero como elemento neutro) como por la operación de multiplicación (con la unidad como elemento neutro). Este es un tipo de álgebra donde la división siempre está definida. En particular, la división por cero tiene sentido. ${\ estilo de visualización \ infinito ~}$ ${\ estilo de visualización \ perpetrador = 0/0}$ ${\displaystyle \mathbb {R}_{\perp}^{\infty}=\mathbb {R} \cup \{\infty,\perp \))$ ${\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R}_{\perp}^{\infty},0,1,+,\cdot,/\rangle ~$

Hay otros sistemas algebraicos con división por cero. Por ejemplo, "prados comunes" (common meadows) [10] . Son un poco más sencillos, ya que no amplían el espacio introduciendo nuevos elementos. El objetivo se logra como en ruedas, transformando las operaciones de suma y multiplicación, así como el rechazo de la división binaria.

Véase también

Notas

↑ Así que estas propiedades se llaman en los libros de texto para los grados de primaria
↑ Sistemas numéricos, 2006 , p. 3.
↑ Como ya se ha introducido la relación de orden lineal sobre el conjunto de los números reales, podemos definir la topología de la recta real: como conjuntos abiertos, tomamos todas las uniones posibles de intervalos de la forma $\{x:\alfa <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , pág. 46.
↑ La ecuación se puede reducir fácilmente mediante un cambio de variables a la ecuación de un paraboloide hiperbólico . $z={\frac{x}{y))$ ${\frac {z^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2x$
↑ Volinskaya N. I. Lección integrada de física y matemáticas, Medición de cantidades físicas y sus unidades, escuela 7, Brest . brestschool7.iatp.por. Consultado el 18 de abril de 2016. Archivado desde el original el 7 de agosto de 2016. (indefinido)
↑ Makarov Vladimir Petrovich. Sobre la "dimensión" de las cantidades físicas . litología.ru, litología.RF. Consultado el 18 de abril de 2016. Archivado desde el original el 6 de mayo de 2016. (indefinido)
↑ M. Ya. Vygodsky Manual de matemáticas elementales.
↑ Jesper Carlström. División Wheels-On de Zero. - Estocolmo: Departamento de Matemáticas Universidad de Estocolmo, 2001. - 48 p.
↑ Jan A. Bergstra y Alban Ponse. División por cero en Common Meadows . - Países Bajos: Sección de Teoría del Instituto de Informática de Ciencias de la Computación, Facultad de Ciencias de la Universidad de Amsterdam, 2014. - 16 p. Archivado el 26 de marzo de 2018 en Wayback Machine .

Literatura

Ilyin V. A. etc. Análisis matemático. Curso inicial. (Neopr.) . - Universidad Estatal de Moscú, 1985. - T. 1. - 662 p.
Sistemas numéricos . - Vologda: GOU SPO "Vologda Engineering College", 2006. - S. 3. - 16 p.

diccionarios y enciclopedias	gran noruego Brockhaus y Efron Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4150319-3 J9U : 987007557947605171 LCCN : sh85038610 NDL : 00575006 NKC : ph896353