Número súper redundante
Número superabundante ( SA del inglés superabundant ) - un número natural tal que para todos
donde es la función divisoria (es decir, la suma de todos los divisores positivos del número , incluido ).
Los primeros números superredundantes [1] : 1 , 2 , 4 , 6 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 120 , …. Por ejemplo, el número 5 no es un número superredundante porque para 1, 2, 3, 4 y 5, el sigma es 1, 3, 4, 7, 6 y 7/4 > 6/5.
Se determinaron los números en exceso[ aclarar ] Leonidas Alaoglu y Pal Erdős [2] . Se cerraron unas 30 páginas del artículo de Ramanujan de 1915 "Números de supercomponentes", que Alaoglu y Erdős desconocían.[ especificar ] . Estas páginas fueron finalmente publicadas en Ramanujan's Journal 1 (1997), 119-153[ especificar ] . En la sección 59 de este artículo, Ramanujan define números supercompuestos generalizados , que incluyen números superredundantes.
Propiedades
Leonidas Alaoglu y Pal Erdős ( 1944 [2] ) probaron que si es superredundante, entonces hay tales que
dónde:
-ésimo número primo;
Es decir, demostraron que si es superredundante, la descomposición en factores primos tiene exponentes no crecientes (el exponente de un primo mayor nunca es mayor que el de un primo menor), y que todos los primos hasta son factores de . Entonces, en particular, cualquier número superredundante es un múltiplo entero par del -ésimo número primo .
De hecho, el último exponente es 1, excepto cuando es 4 o 36.
Los números superredundantes están estrechamente relacionados con los números supercompuestos. No todos los números superabundantes son números supercompuestos. De hecho, solo coinciden 449 números superredundantes y supercompuestos (secuencia A166981 en OEIS ). Por ejemplo, 7560 es supercompuesto, pero no superredundante. Por el contrario, 1163962800 es superredundante pero no supercompuesto.
Alaoglu y Erdős notaron que todos los números redundantes son muy redundantes .
No todos los números superredundantes son números ásperos . La primera excepción es el número 105 de SA, 149602080797769600. La suma de los dígitos es 81, pero 81 no es divisible por este número de SA.
Los números sobreabundantes también son de interés en relación con la Hipótesis de Riemann y el Teorema de Robin , debido al hecho de que la Hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación:
para todos mayores que la mayor excepción conocida, el número superredundante 5040. Si esta desigualdad tiene un contraejemplo mayor que demuestra que la hipótesis de Riemann es falsa, el contraejemplo más pequeño debe ser un número superredundante [3] .
No todos los números superredundantes son colosalmente redundantes .
Generalización
Los números superredundantes generalizados son números tales que para todos , donde es la suma de las potencias -ésimas de los divisores .
1-los números superredundantes son números superredundantes. 0-los números superredundantes son números supercompuestos.
Por ejemplo, los 2 números superredundantes generalizados son [4] 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …
Notas
- ↑ Secuencia OEIS A004394 _
- ↑ 1 2 Alaoglu, Leonidas & Erdős, Pal (1944), Sobre supercomponentes y números similares , Actas de la American Mathematical Society ( Sociedad Matemática Americana ). — T. 56 (3): 448–469 , DOI 10.2307/1990319[ aclarar ]
- ↑ Akbari - Friggstad, 2009 .
- ↑ Secuencia OEIS A208767 _
Literatura
- Keith Briggs. Los números abundantes y la hipótesis de Riemann // Matemática Experimental . - 2006. - T. 15 . — S. 251–256 .
- Amir Akbary, Zachary Friggstad. Números superabundantes y la hipótesis de Riemann // American Mathematical Monthly . - 2009. - T. 116 , núm. 3 . — S. 273–275 . -doi : 10.4169 / 193009709X470128 .
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