Papiro ahmes

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El Papiro Matemático de Ahmes (también conocido como Papiro Rinda o Papiro Rhind ) es un antiguo libro de texto egipcio de aritmética y geometría de la duodécima dinastía del Reino Medio (1985-1795 a. C.), transcrito en el año 33 del reinado de Rey Apopi (c. 1550) aC) por un escriba llamado Ahmes en un rollo de papiro [1] . Investigadores individuales[ quien? ] sugieren que el papiro de la dinastía XII podría compilarse sobre la base de un texto aún más antiguo del III milenio antes de Cristo. mi. Idioma: egipcio medio , escritura: hierática .

El papiro Ahmes fue descubierto en 1858 en Tebas y a menudo se le llama papiro Rhind (Rhind) en honor a su primer propietario. En 1887, el papiro fue descifrado, traducido y publicado por G. Robinson y K. Schute [2] . La mayor parte del manuscrito se encuentra ahora en el Museo Británico . Consta de dos partes: BM 10057 (32 cm × 295,5 cm) y BM 10058 (32 cm × 199,5 cm). Entre ellos debe haber una pieza de unos 18 cm de largo, que se perdió. Algunos fragmentos que llenan parcialmente este vacío fueron descubiertos en 1922 en el museo de la Sociedad Histórica de Nueva York [3] .

Características de las tareas

El Papiro de Ahmes incluye condiciones y soluciones para 84 problemas y es el libro de problemas egipcio más completo que ha sobrevivido hasta el día de hoy. El papiro matemático de Moscú , ubicado en el Museo Estatal de Bellas Artes de Pushkin, es inferior al papiro de Ahmes en integridad (consta de 25 tareas), pero lo supera en antigüedad.

En la parte introductoria del papiro de Ahmes, se explica que está dedicado al "estudio perfecto y completo de todas las cosas, comprendiendo su esencia, el conocimiento de sus secretos". Todas las tareas dadas en el texto son, en un grado u otro, de naturaleza práctica y podrían aplicarse en la construcción, delimitación de terrenos y otras áreas de la vida y la producción. En su mayor parte, estas son tareas para encontrar las áreas de un triángulo, cuadriláteros y un círculo, varias acciones con números enteros y fracciones alícuotas , división proporcional, encontrar proporciones. Para resolver muchos de ellos, se desarrollaron reglas generales.

Al mismo tiempo, hay una serie de pruebas en el papiro de que las matemáticas en el Antiguo Egipto superaron una etapa exclusivamente práctica y adquirieron un carácter teórico. Entonces, los matemáticos egipcios pudieron sacar una raíz y elevarla a una potencia estaban familiarizados con la aritmética y la progresión geométrica (una de las tareas del papiro de Ahmes es encontrar la suma de los términos de una progresión geométrica). Una gran cantidad de problemas que se reducen a resolver ecuaciones (incluidas las cuadradas) con una incógnita están asociados con el uso de un "conjunto" especial de jeroglíficos (análogo del latín , usado tradicionalmente en el álgebra moderna) para denotar la incógnita, lo que indica el diseño. de los rudimentos del álgebra .

El Papiro de Ahmes, al igual que el Papiro matemático de Moscú, muestra que los antiguos egipcios se las arreglaron fácilmente para medir el área de un triángulo y determinaron la aproximación del número , con relativa precisión , mientras que en todo el Antiguo Cercano Oriente se consideraba igual a tres. . Sin embargo, el papiro también da testimonio de las deficiencias de las matemáticas egipcias. Por ejemplo, el área de un cuadrilátero arbitrario en ellos se calcula multiplicando las semisumas de las longitudes de dos pares de lados opuestos , lo cual es cierto solo en casos especiales (por ejemplo, en un rectángulo). Para un trapezoide, esta fórmula es incorrecta, pero los egipcios conocían y usaban la fórmula correcta. Además, también llama la atención el hecho de que el matemático egipcio utiliza únicamente fracciones alícuotas (de la forma , donde  es un número natural). En otros casos, se sustituía la fracción de especie por el producto de un número y una fracción alícuota , lo que muchas veces complicaba los cálculos, aunque en algunos casos podía facilitarlos.

Características de la aritmética egipcia. Términos básicos

Términos egipcios para operaciones aritméticas

Los egipcios realizaban la multiplicación y la división mediante la suma, la duplicación y la bisección . La resta se realizaba sumando el sustraendo al minuendo. [4] Para denotar todas estas acciones en el idioma egipcio , se usó un verbo wAH

V29V28Y1

(Se lee condicionalmente "wah" o "wah" y significa "poner", "continuar", etc.). El verbo xpr se usaba para indicar el resultado de operaciones con números.

xprr

(leído condicionalmente "heper", significa "aparecer") o el sustantivo dmD

d
S23		 metroDY1

(Leído condicionalmente "daño", significa "total"). El número deseado se denotaba con el sustantivo aHa

P6a
M44		 Y1
Z2

(Leído condicionalmente "aha", significa "número", "conjunto").

Operaciones aritméticas

Antes de evaluar los métodos matemáticos de los egipcios, es necesario hablar sobre las características de su pensamiento. Están bien expresados ​​en la siguiente afirmación: "A pesar de que los griegos atribuían a los egipcios la sabiduría de los filósofos, ningún pueblo tenía tanta aversión a las reflexiones abstractas y no estaba tan sinceramente dedicado a los intereses materiales como los egipcios". De todas las ciencias, esta afirmación es la más adecuada para las matemáticas de los egipcios. El egipcio no habla ni piensa en el número "ocho" como un número abstracto, piensa en ocho panes u ocho ovejas. Calcula la inclinación del lado de la pirámide, no en absoluto porque sea interesante, sino porque necesita explicarle al albañil cómo habrá que labrar la piedra (el llamado “ángulo sagrado” de 52 grados es el valor límite en el que el revestimiento de piedra caliza no se cae de los escalones de la pirámide por su propio peso). Si descompone en , no es en absoluto porque le guste, sino simplemente porque tarde o temprano se encontrará con una fracción al sumar, y como no sabe sumar fracciones cuyo numerador sea mayor que uno, necesitará el descomposición dada anteriormente. [5]

Dado que los antiguos egipcios aún no conocían la tabla de multiplicar , todos los cálculos eran extremadamente engorrosos y se realizaban en varias etapas. Para realizar operaciones como multiplicaciones o divisiones se utilizó el siguiente método [4] :

Multiplicación

  • Por ejemplo, 22 x 60 =?
  1. Primero, se anotó tal serie de números que cada número subsiguiente se obtuvo al duplicar el anterior, por ejemplo: 1, 2, 4, 8, 16 ... Para algunas tareas, para simplificar el conteo, la primera serie de números Podía comenzar con un número distinto de uno, pero se mantenía el principio de doblar el número anterior para la enseñanza posterior.
  2. Frente a la unidad, se escribió el número más grande del conjunto (en nuestro ejemplo, este es el número 60), luego se creó la misma progresión con este número, de modo que cada número posterior se obtuvo al duplicar el anterior. Tal serie de números se escribió frente al primero. En consecuencia, frente a 2 se escribió 120 (es decir, 60 x 2), frente a 4 - 240 (es decir, 120 x 2), frente a 8 - 480 (es decir, 240 x 2), frente a 16 - 960 (es decir, 480x2)...
  3. El número más pequeño (22 en nuestro ejemplo) se descompuso en el número mínimo de números de la primera fila (1, 2, 4, 8, 16...). Con este fin, primero se tomó el número más cercano en valor a 22, este es 16, con el resto se realizó una acción similar: 22 - 16 \u003d 6, el número de la primera fila más cercano en valor a 6 - 4, etc. ., hasta que la suma de los números elegidos de la primera fila no fue igual a 22, es decir, el número más pequeño del conjunto. Obtenemos: 22 = 16 + 4 + 2.
  4. Luego se seleccionaron los números de la segunda fila, que estaban frente a los números que habíamos elegido previamente de la primera fila. De la primera fila elegimos el 16, 4 y 2, en la segunda fila corresponden a los números 960, 240 y 120.
  5. El producto de los números 22 y 60 fue igual a la suma de los números elegidos de la segunda fila, es decir, 960 + 240 + 120 = 1320.
División
  • Por ejemplo, 30/20 = ?
  1. Primero, se escribió una serie de números tal que cada número posterior se obtuvo al duplicar el anterior, por ejemplo: 1, 2, 4 ... Para algunos problemas, para simplificar el conteo, la primera serie de números podría comenzar con un número distinto de uno, pero se conservó el principio de duplicar el número anterior para formar el siguiente.
  2. Frente a la unidad, se escribió el número más pequeño , en nuestro caso es 20, luego se creó la misma progresión con este número, de modo que cada número posterior se obtuvo al duplicar el anterior. Tal serie de números se escribió frente al primero. En consecuencia, frente a 2 se escribió 40 (es decir, 20 x 2), frente a 4 - 80 (es decir, 40 x 2) ...
  3. Se eligió un número de la segunda fila, que tenía el valor más cercano a 30, es decir, el número más grande en nuestro ejemplo. son 20
  4. El número 20 de la primera fila correspondía al número 1. Estos números estaban memorizados.
  5. Como 30 era mayor que 20 y menor que 40 (es decir, la suma de los valores de los dígitos de la segunda fila no daba 30), a continuación se utilizó la reducción a la mitad.
  6. Para ello se escribía una serie de números tal, empezando por 1/2, que cada número subsiguiente fuera la mitad del anterior: 1/2, 1/4, 1/8… Para otros ejemplos se podría poner otra fracción pero se salvó el principio de dividir el anterior por la mitad para la formación del siguiente.
  7. Por el contrario, 1/2 se escribió la mitad del número más pequeño (como si la fracción se multiplicara por un número), en nuestro caso 20/2 = 10, luego se creó la misma progresión con este número, de modo que cada número posterior era la mitad del anterior. Tal serie de números se escribió frente al primero. En consecuencia, por el contrario, 1/4 se escribió 5 (es decir, 10/2) ... Si era imposible dividir más (¡debería haber solo números enteros en la segunda fila!), Entonces, si es necesario (si el aún no se había encontrado la solución), se compiló una nueva serie similar usando las mismas u otras fracciones (por ejemplo, 5 no se podía dividir por 2, pero se podía dividir por 5), hasta que los números de la segunda fila eligieron el resto de la suma hasta un número mayor según la condición del problema.
  8. A continuación, era necesario encontrar una cantidad mínima de números de la segunda fila que, junto con el número 20 encontrado anteriormente, daría 30, es decir, el número más grande en nuestro ejemplo. Este número es 10 (20 + 10 = 30).
  9. El número 10 de la segunda fila correspondía a la fracción 1/2 de la primera fila.
  10. La razón de 30 a 20 fue igual a la suma de los números seleccionados de la primera fila, es decir, 1 + 1/2 (= 1,5)

La división no siempre estuvo asociada a la búsqueda de números fraccionarios, en este caso se seleccionó el número mínimo de números de la segunda fila, que en total daría el mayor número dado por las condiciones del problema, y ​​la solución del problema en este caso sería la suma de los números correspondientes de la primera fila.

Acciones adicionales
  1. A veces, además de doblar y dividir por la mitad, se usaba la multiplicación y la división por 5 y 10, así como por 50, 100, etc. (como propiedad del sistema de medida decimal).
  2. En operaciones con fracciones se usaban desarrollos canónicos de fracciones del tipo 2/n (se suponía que se sabían de memoria, ya que se usaban muy a menudo, por ejemplo, 1/3 + 1/3 = 1/2 + 1 /6; 1/9 + 1/9 = 1/6 + 1/18, etc.), así como el método del "número rojo" (los números adicionales agregados a la fracción para llevarla a una forma alícuota se escribieron en rojo tinta). Este método se utilizó para fracciones grandes. [6] en:Número auxiliar rojo Por ejemplo, 2/43 tenía que expresarse como una suma de fracciones alícuotas (porque los antiguos egipcios solo usaban fracciones con un numerador igual a uno). Para hacer esto, el numerador y el denominador se multiplicaron por 42 (es decir, 43 - 1), resultó 84/1806. Usando el mismo método que en la multiplicación o división, se determinaron los números que eran múltiplos del denominador (1806) y se escribieron con tinta roja: 43, 42, 21, 14, 7, 6, 4, 3, 2, 1, luego el número mínimo de tales números rojos para que su suma sea igual al numerador (84), estos son 43, 21, 14 y 6. Finalmente, la fracción 2/43 se escribió como (43 + 21 + 14 + 6)/ 1806 = 43/1806 + 21/1806 + 14/1806 + 6/1806 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. La descomposición se completó.
Fracciones egipcias

Las fracciones egipcias se expresaban mediante la preposición r , que expresa una relación. Jeroglíficamente, esta preposición fue transmitida por el signo

r

Por ejemplo, estaba escrito así:

r
Z1 Z1 Z1 Z1

Las fracciones egipcias se dividieron en alícuotas . Como excepción, los antiguos egipcios tenían dos símbolos para las fracciones y :

D23

y

D22

respectivamente.

Expansión de fracciones en:RMP 2/n table
2/3 = 1/2 + 1/6 2/5 = 1/3 + 1/15 2/7 = 1/4 + 1/28
2/9 = 1/6 + 1/18 2/11 = 1/6 + 1/66 2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104
2/15 = 1/10 + 1/30 2/17 = 1/12 + 1/51 + 1/68 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114
2/21 = 1/14 + 1/42 2/23 = 1/12 + 1/276 2/25 = 1/15 + 1/75
2/27 = 1/18 + 1/54 2/29 = 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232 2/31 = 1/20 + 1/124 + 1/155
2/33 = 1/22 + 1/66 2/35 = 1/30 + 1/42 2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296
2/39 = 1/26 + 1/78 2/41 = 1/24 + 1/246 + 1/328 2/43 = 1/42 + 1/86 + 1/129 + 1/301
2/45 = 1/30 + 1/90 2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470 2/49 = 1/28 + 1/196
2/51 = 1/34 + 1/102 2/53 = 1/30 + 1/318 + 1/795 2/55 = 1/30 + 1/330
2/57 = 1/38 + 1/114 2/59 = 1/36 + 1/236 + 1/531 2/61 = 1/40 + 1/244 + 1/488 + 1/610
2/63 = 1/42 + 1/126 2/65 = 1/39 + 1/195 2/67 = 1/40 + 1/335 + 1/536
2/69 = 1/46 + 1/138 2/71 = 1/40 + 1/568 + 1/710 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365
2/75 = 1/50 + 1/150 2/77 = 1/44 + 1/308 2/79 = 1/60 + 1/237 + 1/316 + 1/790
2/81 = 1/54 + 1/162 2/83 = 1/60 + 1/332 + 1/415 + 1/498 2/85 = 1/51 + 1/255
2/87 = 1/58 + 1/174 2/89 = 1/60 + 1/356 + 1/534 + 1/890 2/91 = 1/70 + 1/130
2/93 = 1/62 + 1/186 2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570 2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776
2/99 = 1/66 + 1/198 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606


El proceso de sumar fracciones no difería de la forma moderna de llevarlas a un denominador común. El resultado de la multiplicación por el mayor de los denominadores disponibles se escribía debajo de la fracción con tinta roja, y no era necesario obtener números enteros. Entonces el resultado se sumó.

Tareas

Problemas #1-6

Es necesario dividir entre 10 personas 1, 2, 6, 7, 8, 9 panes. Dado que las fracciones del antiguo Egipto eran alícuotas, todas las fracciones con un numerador mayor que 1 (salvo excepciones) se expresaban como la suma de fracciones con 1 en el numerador. Usando el razonamiento en el papiro, obtenemos las siguientes soluciones:

  1. 1/10 = 1/10, es decir, para dividir 1 pan entre 10 personas, hay que dividirlo en 10 partes y darle a cada una.
  2. 2/10=1/5, es decir, para repartir 2 hogazas entre 10 personas, hay que dividir cada hogaza en 5 partes y dar a cada una una.
  3. 6/10 = 1/2 + 1/10, es decir, debe dividir 5 panes por la mitad y dar cada mitad, y luego dividir el pan restante en 10 partes y darle a cada uno.
  4. 7/10=2/3+1/30, es decir, primero debes dividir cada pan en 3 partes, y darle a cada uno dos, y luego dividir el tercio restante en 10 partes y darle a cada uno una.
  5. 8/10=2/3+1/10+1/30, es decir, primero debes dividir 7 panes en 3 partes y darles dos a cada uno, luego dividir el pan restante en 10 partes y darles a cada uno una, luego dividir el el tercio restante en 10 partes y dar a cada uno una.
  6. 9/10=2/3+1/5+1/30, es decir, necesitas dividir 7 panes en 3 partes, y darles dos a cada uno, luego dividir los 2 panes restantes en cinco partes cada uno y darles cada uno, luego , debes dividir el tercio restante en 10 partes y darle a cada una una .

Problema # R26

El número desconocido ( aHa ) se suma a 1/4, que también contiene aHa, y el resultado es 15, es decir

Primer paso: el antiguo matemático sustituye "x" por 4. Obviamente, este número no es adecuado para la solución  :

✔ una cuatro
✔ 1/4 una
1+1/4  5

resultado: 5.

Segundo paso: en el primer paso, obtuvimos solo 5 en lugar de 15. ¿Cuál es la relación entre estos dos números?

✔ una 5
✔ 2 diez
3  quince

Si multiplicamos 5 por 3, obtenemos 15. Multiplicamos el número “4” tomado arbitrariamente y el número “3” que recibimos, así obtenemos el deseado aHa , es decir, 4 x 3 = aHa .

Tercer paso: calcular 4 x 3:

una 3
2 6
✔ cuatro 12
cuatro  12

Respuesta: 12.

Cuarto paso: Comprobar los resultados de nuestros cálculos, es decir

✔ una 12
✔ 1/4 3
1+1/4  quince

El número deseado aHa es 12.

Problema # R44

El problema No. R44 indica que los egipcios conocían la fórmula para encontrar el volumen de un paralelepípedo rectangular : donde L , S y H , respectivamente, son la longitud, el ancho y la altura.

“Un ejemplo de cómo calcular el volumen de un granero cuadrado. Su largo es 10, ancho 10 y alto 10. ¿Cuántos granos caben? Multiplica 10 por 10. Eso es 100. Multiplica 100 por 10. Eso es 1000. Toma la mitad de 1000, eso es 500. Eso es 1500. Obtuviste la cantidad en bolsas. Multiplica 1/20 por 1500. Obtienes 75. Convierte esta cantidad de grano en heqats (es decir, multiplícalo por 100) y obtendrás la respuesta: 7500 heqats de grano”.

Una bolsa o "har" equivalía a 75,56 litros y constaba de 10 heqats.

Problema # R48

una Capítulo 8
2 capitulo 16
cuatro 32 sesiones
✔ ocho 64 sesiones

y

✔ una Capítulo 9
2 capitulo 18
cuatro capitulo 36
✔ ocho 72 sesiones
  81

Una sechat o arura (nombre griego) equivale a 100 metros cuadrados. codos, es decir, son 0,28 ha. En realidad, este era un terreno no de 10 x 10 codos, sino de 1 x 100 codos. Un codo equivalía a 52,5 cm y, a su vez, constaba de 7 palmas, y cada palma constaba de 4 dedos.

La complejidad de esta tarea radica en el hecho de que no se dan textos explicativos en el papiro. Ante nosotros hay solo dos tablas de números y una figura. La figura muestra una figura que se asemeja a un octágono o un círculo inscrito en un cuadrado.

Según una teoría, la figura muestra un cuadrado cuyos lados son iguales a la longitud del diámetro del círculo inscrito. El área del octágono se calcula mediante la fórmula: , en este caso el área del círculo debe ser 64 [7] .

La segunda teoría, propuesta por Michel Guillemot, explica el dibujo con mayor precisión. La teoría establece que la figura muestra un octógono irregular, cuya área debe ser igual a un círculo inscrito en un cuadrado. El área de dicho octágono se encuentra mediante la fórmula: . Pero Michel Guillemot fue más allá y sugirió que los antiguos egipcios tenían una idea de la cuadratura de un círculo y podían construir un cuadrado igual en base al área de un círculo dado.

Ludwig Borchardt encontró un dibujo muy similar en las paredes del templo de Luxor.

Problema # R50

"Hay círculos de 9 sombreros. ¿Cuál es el área del círculo? Necesitas restar uno de 9. Queda 8. Multiplica 8 por 8. Esto será igual a 64. Aquí está la respuesta para ti: el área del círculo es de 64 secciones. Un proceso de cálculo detallado:"

1x9 = 9
✔ 1/9 x 9 = 1

"Después de restar, es 8".

1x8 = 8
2x8 = 16
4x8 = 32
✔ 8x8 = 64

"El área de un círculo es 64".

1 sombrero constaba de 100 codos y equivalía a 52,5 m. 1 sechat equivalía a 0,28 hectáreas.

Obviamente, en este caso se utilizó la siguiente fórmula: . Aquí parece que el diámetro es de 9 sombreros. Sin embargo, lo mismo podría escribirse de otra forma: . La fórmula moderna para calcular el área de un círculo es: o . Los científicos creen que los egipcios para su época lograron un gran éxito en matemáticas: determinaron la relación entre la circunferencia de un círculo y la longitud de su diámetro (o ) igual a , es decir, 3.1605. Esto está muy cerca de la verdad (número ). Sin embargo, el "Problema R50" indica que los egipcios no sabían de la existencia de la constante .

Problema # R51

Un ejemplo de cálculo del área de un triángulo . Si alguien te dice: "El triángulo tiene un 'mryt' de 10 sombreros y su base es de 4 sombreros. ¿Cuál es su área?" Necesitas calcular la mitad de 4. Luego multiplica 10 por 2. Aquí está la respuesta.

La palabra "mryt" probablemente significa altura.

La fórmula de los egipcios es idéntica a la moderna:

Problema # R52

El problema R52 trata sobre el cálculo del área de un trapezoide .

“¿Cuál es el área de un triángulo truncado si su altura es de 20 sombreros, su base es de 6 sombreros y su base superior es de 4 sombreros? Dobla la base inferior del trapezoide con la parte superior. Obtenga 10. Divida 10 por la mitad. Y luego multiplica 5 por 20. Recuerda que 1 sombrero = 100 codos. Calcula tu respuesta".

1x1000 = 1000
1/2 x 1000 = 500
✔ 1x1000 = 2000
2x1000 = 4000
✔ 4x1000 = 8000
  10000 (es decir, 100 sechat )

Esta solución se puede escribir en la siguiente fórmula: .

Problema # R56

Los problemas R56, R57, R58 y R59 discuten en detalle cómo calcular la pendiente de una pirámide.

El antiguo término egipcio " seked " significaba, desde un punto de vista moderno, la cotangente de un ángulo ( ctg α ). En la antigüedad, se medía como la longitud de un segmento a lo largo de la regla de medición del goniómetro, que también se llamaba "seked". La longitud se midió en palmas y dedos (1 palma = 4 dedos). Matemáticamente, se encontró a través de la razón de la mitad de la base a la altura.

“Método de cálculo de una pirámide cuya base es de 360 ​​codos y cuya altura es de 250 codos. Para saber su seked, debes tomar la mitad de 360, que es 180. Luego debes dividir 180 entre 250, obtenemos: 1/2, 1/5, 1/50 codo (es decir, 0,72 codos). Como un codo son 7 palmos, debes multiplicar el resultado por 7 (=5,04 palmos)".

1 / 2 ×7; 7/2 = 3 1/2 _ _ _
1 / 5 ×7; 7/5 = 1 1/4 y 1 1/5 _ _ _ _
1/50 × 7 ; 7/50 = 1/10 y 1/25 _ _ _ _ _ _

Hoy, al resolver este problema, buscaríamos la cotangente del ángulo, conociendo la mitad de la base y la apotema [8] . En general, la fórmula egipcia para calcular el seked de una pirámide se ve así: donde b  es la mitad de la base de la pirámide y h  es su altura. El ángulo mismo en grados se puede calcular usando la función trigonométrica inversa del arco tangente o - de acuerdo con la tabla de Bradis .

La relación entre el seked y los ángulos de inclinación:

Secado, dedos Secado, palmas ángulo, grados Paso en grados por dedo
quince 3.75 61,82°
dieciséis cuatro 60,26° 1,56°
17 4.25 58,74° 1,52°
Dieciocho 4.5 57,26° 1,47°
19 4.75 55,84° 1,42°
veinte 5 54,46° 1,38°
21 5.25 53,13° 1,33°
22 5.5 51,84° 1,29°
23 5.75 50,60° 1,24°
24 6 49,40° 1,20°
25 6.25 48,24° 1,16°
26 6.5 47,12° 1,12°
27 6.75 46,04° 1,08°
28 7 (=1 codo) 45.00° 1,04°
29 7.25 43,99° 1.01°
treinta 7.5 43.03° 0,97°
31 7.75 42.09° 0,94°
32 ocho 41,19° 0,90°
33 8.25 40,31° 0,87°
34 8.5 39.47° 0,84°
35 8.75 38,66° 0,81°

Problema # R64

El problema número R64 nos dice que en el antiguo Egipto se usaba la progresión aritmética en los cálculos .

"Un ejemplo de división en partes. Si alguien te dice: tenemos 10 heqat de trigo para 10 personas, pero hay una diferencia entre ellos en 1/8 heqat de trigo. En promedio, esto es 1 heqat. Resta 1 de 10 , obtenemos 9. Tome la mitad de la diferencia, es decir, 1/16. Multiplique por 9. Luego agregue 1/2 y 1/16 heqat al valor promedio y reste 1/8 heqat de cada persona subsiguiente. Aquí están los cálculos de de lo que estamos hablando: ".

1 1/2 1/16
1 1/4 1/8 1/16
1 1/4 1/16
1 1/8 1/16
1 1/16
1/2 1/4 1/8 1/16
1/2 1/4 1/16
1/2 1/8 1/16
1/2 1/16
1/4 1/8 1/16
diez

Explicación : La tarea es dividir 10 heqat de trigo entre 10 personas. Designemos a las personas: H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9 y H10. S es la cantidad total, es decir, 10 hekats de trigo. N es el número de partes. Todo el mundo tiene un número diferente de hekats. Al mismo tiempo, cada uno tiene 1/8 más heqat que el anterior. Sea H2 = H1 + 1/8, H3 = H2 + 1/8, etc., este último tiene más trigo. El paso de progresión es R = 1/8.

Encontramos el número promedio de hekat que se distribuye a todos, es decir, S/N = 10/10 = 1.

Luego calculamos la diferencia que resulta de la subsiguiente división. Es decir, N-1 = 10-1, es igual a 9. Entonces R/2 = 1/16 y R/2 * (N-1) = 1/16 * 9 = 1/2 + 1/16. El número más grande se calcula mediante la fórmula: R/2 * (N-1) + S/N = 1/2 + 1/16 + 1.

Distribución en 10 partes :

H10 = 1 + 1/2 + 1/16.
H9 = H10 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/8 + 1/16
H8 = H9 - 1/8 = 1 + 1/4 + 1/16
H7 = H8 - 1/8 = 1 + 1/8 + 1/16
H6 = H7 - 1/8 = 1 + 1/16
H5 = H6 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
H4 = H5 - 1/8 = 1/2 + 1/4 + 1/16
H3 = H4 - 1/8 = 1/2 + 1/8 + 1/16
H2 = H3 - 1/8 = 1/2 + 1/16
H1 = H2 - 1/8 = 1/4 + 1/8 + 1/16
totales = 10

Es muy posible que la solución de este problema tuviera una aplicación práctica.

Puedes escribir la solución en forma de fórmulas:

Problema # R79

El problema número R79 nos dice que en el antiguo Egipto se usaba la progresión geométrica en los cálculos . Sin embargo, solo sabemos que los egipcios usaban los números "2" y "1/2" para la progresión, es decir, podían recibir valores como: 1/2, 1/4, 1/8 ... y 2, 4, 8, 16… La cuestión del uso práctico de la progresión geométrica en el antiguo Egipto también permanece abierta.

✔ una 2801
✔ 2 5602
✔ cuatro 11204
7  19607
casas 7
gatos 49
Ratones 343
Malta 2401 (el escriba escribió por error 2301)
Hekat 16807
  19607

Véase también

Notas

  1. ↑ El papiro matemático de Rhind  . Museo Británico.org . Consultado el 10 de diciembre de 2019. Archivado desde el original el 12 de noviembre de 2020.
  2. ↑ Londres, Prensa del Museo Británico, 1987
  3. ↑ BM 10058
  4. ↑ 1 2 I. Ya. Depman, Historia de la aritmética. Una guía para maestros.- M .: 1965 (segunda edición, revisada), p.196
  5. ↑ S. Clark, R. Engelbach, Construcción y arquitectura en el antiguo Egipto. ISBN 978-5-9524-4351-8
  6. ↑ Historia de las matemáticas desde la antigüedad hasta principios del siglo XIX, ed. A. P. Yushkevich.- M.: 1970, p.25
  7. ↑ K. Vogel, Vogriechische Mathematik , p.66
  8. ↑ Apotema: la altura de la cara lateral de una pirámide regular.

Literatura

  • Bobynin V.V. Matemáticas de los antiguos egipcios (basado en el papiro Rinda). - M. , 1882.
  • Van der Waerden BL Awakening Science: Las matemáticas del antiguo Egipto, Babilonia y Grecia. — M .: Fizmatgiz , 1959. (Reimpresión: M .: URSS , 2007)
  • Vygodsky M. Ya. Aritmética y álgebra en el mundo antiguo. — M .: Nauka , 1967.
  • Raik A.E. Ensayos sobre la historia de las matemáticas en la antigüedad. - Saransk: estado de Mordovia. editorial, 1977.
  • Papiro de Rinda // Gran enciclopedia soviética  : [en 30 volúmenes]  / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M.  : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
  • Gillings RJ Matemáticas en la época de los faraones. —Cambridge: MIT Press , 1972.
  • Peet TE El papiro matemático Rind. - Liverpool University Press, L .: Hodder & Stoughton, 1923.
  • Robins G., Shute CCD El papiro matemático Rhind: un texto del Antiguo Egipto. — N. Y. : Dover, 1987.
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