Thor (superficie)
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 15 de agosto de 2022; la verificación requiere 1 edición .Un toro (toroide) es una superficie de revolución obtenida al girar el círculo generador alrededor de un eje que se encuentra en el plano de este círculo y no lo corta [1] .
De manera más general, un toro es un espacio topológico o una variedad uniforme equivalente a dicha superficie.
A veces no requieren que el eje de rotación no corte el círculo generador. En este caso, si el eje de rotación se cruza con el círculo generador (o lo toca), entonces el toro se llama cerrado , de lo contrario, abierto [2] .
El concepto de toro también se define en el caso multidimensional. Un toro es un ejemplo de un grupo algebraico conmutativo y un ejemplo de un grupo de Lie .
Historia
La superficie toroidal fue considerada por primera vez por el antiguo matemático griego Archytas al resolver el problema de duplicar un cubo . Otro matemático griego antiguo, Perseo , escribió un libro sobre líneas espirales : secciones de un toro por un plano paralelo a su eje.
Eje del toro
El eje de rotación puede cortar el círculo, tocarlo y ubicarse fuera del círculo. En los dos primeros casos, el toro se llama cerrado, en el último, abierto o anillo [2] .
- Cambiar la distancia al eje de rotación
Un círculo formado por los centros de círculos generadores se denomina círculo guía.
Propiedades topológicas
El toro es una superficie de género 1 (una esfera con un asa). El toro es un espacio topológico compacto .
El toro tiene la característica de Euler-Poincaré χ=0.
Ecuaciones
Paramétrico
La ecuación del toro con la distancia desde el centro de la generatriz al eje de rotación R y con el radio de la generatriz r se puede dar paramétricamente como:
Algebraico
La ecuación no paramétrica en las mismas coordenadas y con los mismos radios tiene el cuarto grado:
Tal superficie tiene el cuarto orden.
Hay otras superficies que son difeomorfas a un toro y tienen un orden diferente.
, donde x, y son números complejos. Curva elíptica compleja , superficie cúbica. Una incrustación de un toro en un espacio de 4 dimensiones. Esta es una superficie de segundo orden. La curvatura de esta superficie es 0.
Curvatura de la superficie
Un toro en el espacio tridimensional tiene puntos de curvatura positiva y negativa . De acuerdo con el teorema de Gauss-Bonnet, la integral de curvatura sobre toda la superficie del toro es igual a cero.
Estructura del grupo
Propiedades
- El área superficial de un toro como consecuencia del primer teorema de Gulden : .
- El volumen de un cuerpo acotado por un toro ( toro sólido ), como consecuencia del segundo teorema de Papp-Gulden : .
- Un toro con un disco recortado ("perforado") puede volverse del revés de forma continua ( topológicamente , es decir, mediante una serie de difeomorfismos ). En este caso, dos círculos que se cruzan perpendicularmente en él ("paralelo" y "meridiano") cambiarán de lugar. [3]
- Dos de estos toros "agujereados" unidos entre sí pueden deformarse de modo que uno de los toros "trague" al otro. [cuatro]
- El número mínimo de colores necesarios para colorear secciones de un toro de modo que las regiones vecinas sean de diferentes colores es 7. Consulte también El problema de los cuatro colores .
Secciones
- Cuando un toro es cortado por un plano tangente , la curva de cuarto orden resultante resulta degenerada: la intersección es la unión de dos círculos llamados círculos de Villarceau .
- En particular, un toro abierto puede representarse como una superficie de revolución de un círculo vinculado al eje de revolución.
- Una de las secciones de un toro abierto es la lemniscata de Bernoulli , otras líneas curvas son líneas gráficas y se llaman curvas de Perseo [5] (líneas espirales, secciones del toro por un plano paralelo a su eje)
- Algunas intersecciones de la superficie de un toroide con un plano parecen una elipse (curva de segundo orden). La curva así obtenida se expresa mediante una ecuación algebraica de cuarto orden [6] .
Generalizaciones
Toro multidimensional
Una generalización del toro bidimensional es el toro multidimensional (también n - toro o hipertoro ):
Superficie de revolución
Un toro es un caso especial de una superficie de revolución .
Véase también
Notas
- ↑ Enciclopedia Matemática, 1985, v.5, p.405
- ↑ 1 2 Korolev Yuri Ivánovich. Geometría descriptiva: libro de texto para escuelas secundarias. 2ª ed. . - Editorial "Pedro", 2008. - S. 172. - 256 p. — ISBN 9785388003669 . Archivado el 17 de febrero de 2017 en Wayback Machine .
- ↑ Los pasos para invertir un toro se dieron en "Topología" de Albert Tucker y Herbert Bailey en Scientific American , enero de 1950.
- ↑ Para obtener más información, consulte el artículo de M. Gardner en Scientific American , marzo de 1977. Otras paradojas relacionadas con los toros se pueden encontrar en los artículos de M. Gardner, publicados en Scientific American en diciembre de 1972 y diciembre de 1979.
- ↑ Fundamentos teóricos para la resolución de problemas de geometría descriptiva: Tutorial
- ↑ Intersección de una esfera y un toro por un plano. Un ejemplo de construcción de una "línea de corte" en la superficie de un cuerpo de revolución combinado . Consultado el 4 de noviembre de 2011. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016.
Literatura
- Savelov A. A. Curvas planas: sistemática, propiedades, aplicaciones. M.: Fizmatgiz, 1960. 293 p. Reeditado en 2002, ISBN 5-93972-125-7
| Superficies compactas y sus inmersiones en el espacio tridimensional | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| La clase de homeoformidad de una superficie triangulada compacta está determinada por la orientabilidad, el número de componentes de contorno y la característica de Euler. | |||||||
| Sin bordes |
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| con frontera |
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Conceptos relacionados |
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