Curva de Perseo

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Curva de Perseo ( sección espírica , línea espiral , de otro griego σπειρα - toro [1] ) - sección del toro por un plano paralelo al eje de rotación del toro; Curva algebraica plana de cuarto orden. Dependiendo de los parámetros de la sección, las curvas pueden tener forma de óvalos "convexos" y "deprimidos", "ochos" y dos óvalos [2] .

Esta subclase de secciones tóricas fue estudiada por primera vez por el antiguo geómetra griego Perseo alrededor del año 150 a. e., unos 200 años después de los primeros estudios de secciones cónicas por Menechmus [3] . Redescubierto en el siglo XVII [2] ; La lemniscata de Booth ("óvalo convexo") y el óvalo de Cassini ("ocho") son casos especiales de la curva de Perseo.

Ecuación de la curva en coordenadas cartesianas

{\ estilo de visualización (r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2} +c^{2})}

en ella está el radio del círculo cuya rotación a lo largo del círculo con el radio forma un toro. En , la curva consta de dos círculos de radio con centros ; cuando la curva degenera en un punto - el origen de coordenadas , pero si - entonces la curva consta de un conjunto vacío de puntos [3] . $a$ $r$ $c=0$ $a$ ${\ estilo de visualización (\ pm r, 0)}$ ${\ estilo de visualización c = r + a}$ ${\ estilo de visualización c> r + a}$

Si introducimos nuevos parámetros: , y , entonces surge otra forma de la ecuación [4] : $d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2})$ $e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2})$ ${\ estilo de visualización f = - (a + b + c) (a + bc) (a-b + c) (abc)}$

{\ estilo de visualización (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f}

También es posible definir la curva de Perseo como una curva bicircular [5] , simétrica respecto a los ejes y . $X$ $y$

Ecuación en coordenadas polares :

(r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2} \theta +c^{2})

o [4] :

r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sen ^{2}\theta )+f

Dado que las fórmulas implícitas dadas incluyen solo cuadrados de variables, la obtención de fórmulas explícitas se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.

Véase también

Circunferencias de Villarceau

Notas

↑ Stillwell, 2004 , pág. 42: "Esta superficie, generada por la rotación de un círculo alrededor de un eje fuera del círculo, pero en el mismo plano, los griegos la llamaron spira, de ahí el nombre de secciones espirales para las secciones paralelas a los ejes".
↑ 1 2 Stillwell, 2004 , pág. 43.
↑ 12 McTutor , 1997 .
↑ 1 2 Si el sistema de ecuaciones para , , no tiene solución en el conjunto de parámetros toroidales admisibles, entonces esta ecuación no describe la curva de Perseo. $d$ $mi$ $F$
↑ Curva bicircular // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.

Literatura

Stillwell D. Matemáticas y su historia. - Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2004. - P. 42-43. — 530 págs.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Spiric Sección (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Secciones Spiric (enlace no disponible) . MacTutorHistory (1 de enero de 1997). Consultado el 18 de mayo de 2018. Archivado desde el original el 26 de octubre de 2019. (indefinido)
John J. O'Connor y Edmund F. Robertson . Perseus (inglés) es una biografía en el archivo MacTutor .

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio