Matemáticas experimentales

La matemática experimental  es una rama de las matemáticas que se distingue por el uso de diversas técnicas, incluidos los métodos de sustitución, desplazamiento, prueba de lo contrario, incluido el uso de herramientas informáticas electrónicas para verificar, confirmar viejos y obtener nuevos hechos ( teoremas ) en matemáticas. . Todos los resultados obtenidos en matemática experimental son enunciados matemáticos rigurosamente probados. Estrictamente hablando, cualquier prueba , cálculo, cálculo, etc. son experimentos para obtener nuevas leyes (teoremas). Sin embargo, en matemáticas experimentales, la tecnología informática moderna se utiliza para realizar experimentos , lo que hace posible realizar experimentos que son inaccesibles con el conteo manual. El método principal de las matemáticas experimentales son los cálculos probatorios , durante los cuales los resultados de los cálculos se utilizan para probar rigurosamente los hechos matemáticos .

Paul Richard Halmos escribió: “Las matemáticas no son una ciencia deductiva  , son un cliché. Si está tratando de probar un teorema, no es suficiente que enumere las premisas y luego comience a razonar. Lo que haces es prueba y error , experimentación y conjeturas. Necesitas descubrir cuál es el hecho, y lo que estás haciendo es como el trabajo de un experimentador en un laboratorio" [1] .

Historia

Los matemáticos siempre han practicado las matemáticas experimentales. Hay registros de los primeros matemáticos, como los de Babilonia , que generalmente consisten en una lista de ejemplos numéricos que ilustran una identidad algebraica. Sin embargo, los matemáticos modernos desde el siglo XVII han desarrollado una tradición de imprimir resultados en una representación formal final. Los ejemplos numéricos que podrían conducir a las matemáticas a la formulación del teorema no se publicaron y, por regla general, se olvidan.

Las matemáticas experimentales como un campo de estudio independiente resurgieron en el siglo XX, cuando la invención de las computadoras electrónicas aumentó considerablemente el campo de los cálculos factibles con una velocidad y precisión inaccesibles para las generaciones anteriores de matemáticos. Un hito significativo y un logro en las matemáticas experimentales fue el descubrimiento en 1995 de la fórmula de Bailey-Borwain-Pluff para los dígitos binarios del número π. La fórmula no se descubrió por motivos formales, sino tras una búsqueda informática. Solo después de eso se encontró una prueba rigurosa [2] .

Propósitos y usos

El propósito de las matemáticas experimentales es "ganar comprensión y comprensión de la esencia de los conceptos, confirmar o refutar hipótesis, hacer las matemáticas más tangibles, vívidas e interesantes tanto para los matemáticos profesionales como para los aficionados" [3] .

Usando matemáticas experimentales [4] :

  1. Penetración en la esencia y sentimiento del sujeto.
  2. Descubrimiento de nuevos modelos y conexiones.
  3. Usar pantallas gráficas para tratar de adivinar los principios subyacentes.
  4. Contraste y refutación de hipótesis.
  5. Examinar los posibles resultados para evaluar si valen la pena como prueba formal.
  6. Sugerencia de enfoques para la prueba formal.
  7. Sustitución de cables manuales largos por cables basados ​​en computadora.
  8. Confirmación de los resultados analíticos obtenidos.

Aparatos y tecnología

Las matemáticas experimentales utilizan métodos computacionales para calcular valores aproximados de integrales y sumas de series infinitas. La aritmética de precisión arbitraria se usa a menudo para los cálculos,  generalmente de 100 dígitos significativos o más. El algoritmo de razón de enteros se usa luego para encontrar relaciones entre estos valores y las constantes matemáticas. Trabajar con alta precisión reduce la posibilidad de confundir una coincidencia matemática con una relación real. Luego busca pruebas formales de la supuesta relación; a menudo es más fácil encontrar pruebas si se conoce la relación hipotética.

Si está buscando un contraejemplo o necesita producir una prueba que requiera una gran cantidad de enumeración, se puede usar una técnica de computación distribuida para distribuir el cálculo entre las computadoras.

A menudo se utilizan sistemas de álgebra informática comunes como Mathematica , aunque también se escriben programas específicos de dominio para atacar problemas que requieren una alta eficiencia. El software matemático experimental generalmente incluye mecanismos de detección y corrección de errores , verificación de integridad y cálculos redundantes para minimizar la posibilidad de resultados erróneos debido a errores de software o fallas del procesador.

Aplicaciones y ejemplos

Ejemplos plausibles pero incorrectos

Algunas conexiones plausibles se realizan con un alto grado de precisión, pero siguen siendo incorrectas. Un tal ejemplo:

Ambos lados de esta expresión difieren solo en el signo 42 [8] .

Otro ejemplo es que la altura máxima (el valor absoluto máximo de los coeficientes) de todos los factores x n − 1 resulta ser igual a la altura del polinomio circular de grado n . Los cálculos por computadora han demostrado que esto es cierto para n < 10000 y esperaban que esto fuera cierto para todo n . Sin embargo, una búsqueda más completa mostró que la igualdad no es cierta para n = 14235, cuando la altura del polinomio circular de grado n es 2, y la altura máxima de x n − 1 factores es 3 [9] .

Exploradores

Los siguientes matemáticos e informáticos han hecho contribuciones significativas al campo de las matemáticas experimentales:

Véase también

Notas

  1. ↑ Halmos, 1985 , pág. 321.
  2. ↑ The Quest for Pi Archivado el 27 de septiembre de 2011 en Wayback Machine por David G. Bailey , Jonathan Borwein , Peter J. Borwein y Simon Plouff .
  3. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , pág. VI .
  4. ↑ Borwein, Bailey, 2004 , pág. 2.
  5. ↑ Lam, 1991 , pág. 305–318.
  6. ↑ Bailey, 1997 .
  7. ↑ Mumford, Serie, Wright, 2002 , pág. VIII.
  8. ↑ Bailey, Borwein, 2005 .
  9. ↑ La altura de Φ 4745 es 3 y 14235 = 3 x 4745. Consulte las secuencias de Sloan A137979 y A160338 .

Literatura

Enlaces