Grupo ortogonal

Un grupo ortogonal es el grupo de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial bidimensional sobre un campo que conserva una forma cuadrática fija no degenerada (es decir, transformaciones lineales tales que para cualquier ). $norte$ $V$ $k$ $q$ $V$ $\varphi$ $Q(\varphi(v))=Q(v)$ $v\en V$

Notación y definiciones relacionadas

Los elementos de un grupo ortogonal se denominan transformaciones ortogonales (con respecto a ) , así como automorfismos de forma (más precisamente, automorfismos espaciales con respecto a la forma ). $q$ $V$ $q$ $V$ $q$
Se denota por , , etc. Cuando no se especifica explícitamente la forma cuadrática, se implica la forma dada por la suma de los cuadrados de las coordenadas, es decir, expresada por la matriz identidad . $En}$ $O_n(k)$ $O_n(Q)$
Sobre el campo de los números reales, un grupo ortogonal de forma indefinida con signatura ( más, menos) donde , se denota por , véase p. O(1,3) . $yo$ $metro$ $norte = l + metro$ ${\ estilo de visualización O (l, m)}$

Propiedades

Si la característica del campo principal no es igual a dos , entonces se asocia una forma bilineal simétrica no degenerada en , definida por la fórmula $q$ $F$ $V$ $F(u,\;v)={\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2)).$

Entonces el grupo ortogonal consiste exactamente en aquellas transformaciones lineales del espacio que conservan , y se denota por o (cuando está claro de qué campo y forma estamos hablando) simplemente por .

V

F

O_n(k,\;F)

k

F

En}

Si es la matriz de forma en alguna base del espacio , entonces el grupo ortogonal se puede identificar con el grupo de todas esas matrices con coeficientes en , tal que $B$ $F$ $V$ $A$ $k$ $A^TBA=B.$ En particular, si la base es tal que es la suma de los cuadrados de las coordenadas (es decir, la matriz es la identidad), entonces tales matrices se denominan ortogonales . $q$ $B$ $A$
Sobre el campo de los números reales , un grupo es compacto si y sólo si la forma es indefinida . $O_n({\mathbb R},\;V)$ $q$
- En este caso, cualquier elemento de , para una base adecuada se representa como una matriz de bloques diagonales $O_{n}({\mathbb{R} })$ ${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\dpuntos &\\&&\pm 1\end{matriz}}\\\end{bmatriz}}$

donde R 1 , ..., R k son matrices de rotación 2x2; El teorema de rotación de Euler es un caso especial de esta afirmación.

Otros grupos

Un grupo ortogonal es un subgrupo del grupo lineal general GL( ). Los elementos de un grupo ortogonal cuyo determinante es igual a 1 (esta propiedad no depende de la base ) forman un subgrupo - un grupo ortogonal especial , denotado de la misma manera que el grupo ortogonal, pero con la adición de la letra "S ". , por construcción, es también un subgrupo del grupo lineal especial . $norte$ $SO(n, Q)$ $SO(n, Q)$ $SL(n)$

Véase también

SO(8)

Enlaces

grupo ortogonal

Isaev A.P., Rubakov V.A. Teoría de grupos y simetrías. grupos finales. Lie grupos y álgebras. Editorial URSS. 2018. 491 s

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier