Distribución binomial

Distribución binomial
función de probabilidad
función de distribución
Designacion	${\ estilo de visualización B (n, p)}$
Opciones	$n \geqslant 0$ - número de "ensayos" - probabilidad de "éxito" $0\leqslant p\leqslant 1$
Transportador	${\displaystyle k\in \{0,\dots,n\))$
función de probabilidad	${\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{nk}$
función de distribución	$I_{1-p}(n-\lpiso k\rpiso, 1+\lpiso k\rpiso)$
Valor esperado	$notario público$
Mediana	uno de $\{\lpiso np\rpiso -1,\lpiso np\rpiso,\lpiso np\rpiso +1\}$
Moda	$\lpiso (n+1)\,p\rpiso$
Dispersión	${\ estilo de visualización npq}$
Coeficiente de asimetría	${\ estilo de visualización {\ frac {qp} {\ sqrt {npq}}}}$
Coeficiente de curtosis	${\frac{1-6pq}{npq}}$
entropía diferencial	${\frac 12}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n))\right )$
Función generadora de momentos	${\ estilo de visualización (q + pe ^ {t}) ^ {n}}$
función característica	$(q+pe^{it})^{n}$

Distribución binomial con parámetros y en teoría de probabilidad : la distribución del número de "éxitos" en una secuencia de experimentos aleatorios independientes , de modo que la probabilidad de "éxito" en cada uno de ellos es constante e igual a . $norte$ $pags$ $norte$ $pags$

Definición

Sea una sucesión finita de variables aleatorias independientes , teniendo la misma distribución de Bernoulli con el parámetro , es decir, para cada una, el valor toma los valores ("éxito") y ("fracaso") con probabilidades y respectivamente. Entonces la variable aleatoria ${\textstyle X_{1},\ldots,X_{n}}$ $pags$ $i=1,\ldots,n$ $X_{yo}$ $una$ ${\ estilo de visualización 0}$ $pags$ $q=1-p$

Y=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}

tiene una distribución binomial con parámetros y . Esto se escribe como: $norte$ $pags$

Y\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)

Una variable aleatoria generalmente se interpreta como el número de éxitos en una serie de ensayos de Bernoulli independientes e idénticos, con una probabilidad de éxito en cada ensayo. $Y$ $norte$ $pags$

La función de probabilidad viene dada por la fórmula:

p_{Y}(k)\equiv {\mathbb {P}}(Y=k)={\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{{nk)),\ \ k =0,\ldots,n,

dónde

{\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(nk)!\,k!)}}

es el coeficiente binomial .

Función de distribución

La función de distribución de la distribución binomial se puede escribir como una suma:

F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=\sum \limits_{{k=0}}^{{\lfloor y\rfloor}}{\binom {n {k}}\,p^{k}q^{{nk}},\;y\en {\mathbb {R}}

donde denota el entero más grande que no excede , o como una función beta incompleta : $\lpiso y\rpiso$ $y$

F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=I_{{1-p}}(n-\lpiso y\rpiso,\lpiso y\rpiso +1)

Momentos

La función generatriz de los momentos de la distribución binomial tiene la forma:

M_{Y}(t)=\left(pe^{t}+q\right)^{n}

dónde

{\ matemáticas {E}} [Y] = np

{\mathbb {E}}\left[Y^{2}\right]=np(q+np)

y la varianza de la variable aleatoria .

{\mathbb {D}}[Y]=npq

Propiedades de la distribución binomial

Sea y . entonces _ $Y_{1}\sim {\matemáticas {Bin}}(n,p)$ $Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n,1-p)$ $p_{{Y_{1}}}(k)=p_{{Y_{2}}}(nk)$
Sea y . entonces _ $Y_{1}\sim {\matemáticas {Bin}}(n_{1},p)$ $Y_{2}\sim {\matemáticas {Bin}}(n_{2},p)$ $Y_{1}+Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1}+n_{2},p)$

Relación con otras distribuciones

Si , entonces obtenemos la distribución de Bernoulli . $n=1$
Si es grande, entonces en virtud del teorema del límite central , donde es una distribución normal con expectativa matemática y varianza . $norte$ ${\mathrm {Bin}}(n,p)\aprox. N(np,npq)$ ${\ Displaystyle N (np, npq)}$ $notario público$ ${\ estilo de visualización npq}$
Si a es grande y es un número fijo, entonces , donde está la distribución de Poisson con el parámetro . $norte$ $\lambda$ ${\mathrm {Bin}}(n,\lambda /n)\approx {\mathrm {P}}(\lambda )$ ${\ matemáticas {P}} (\ lambda)$ $\lambda$
Si las variables aleatorias y tienen distribuciones binomiales y respectivamente, entonces la distribución condicional de la variable aleatoria bajo la condición es hipergeométrica . $X$ $Y$ $\mathrm {Bin} (D,p)$ $\mathrm {Bin} (ND,p)$ $X$ $X+Y=n$ ${\mathrm {HG}}(D,N,n)$

Véase también

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula