Geometría diferencial de superficies

La geometría diferencial de superficies  es un área históricamente importante de la geometría diferencial .

La geometría diferencial de superficies se divide en dos subsecciones principales: geometría externa e interna. El principal objeto de estudio de la geometría externa de las superficies son las superficies lisas incrustadas en el espacio euclidiano, así como varias de sus generalizaciones. En la geometría intrínseca, el objeto principal son superficies abstractamente dadas con varias estructuras adicionales, más a menudo la primera forma fundamental (igual que la métrica de Riemann ).

Historia

Algunas propiedades de las superficies de revolución eran conocidas incluso por Arquímedes . El desarrollo del cálculo en el siglo XVII proporcionó enfoques más sistemáticos para demostrarlos.

La curvatura de superficies generales fue estudiada por Leonhard Euler ; en 1760 obtuvo una expresión para las curvaturas normales de una superficie. [1] En 1771 [2] consideró las superficies dadas en forma paramétrica, introdujo el concepto de superposición de superficies (isométricas en la terminología moderna); en particular, consideró superficies superpuestas al plano. Así, Euler fue el primero en considerar la geometría intrínseca de una superficie.

Gaspard Monge consideró curvas asintóticas y líneas de curvatura en superficies.

La contribución más importante a la teoría de las superficies la hizo Gauss en dos artículos escritos en 1825 y 1827 [3] . En particular, demostró el llamado Teorema Egregium  , un resultado históricamente importante de Gauss, que dice que la curvatura gaussiana es una invariante interna, es decir, una invariante bajo isometrías locales . La separación de la geometría diferencial en un área separada de investigación a menudo se asocia precisamente con este teorema. [4] Introdujo el concepto de primera y segunda forma cuadrática . Más tarde, Karl Mikhailovich Peterson, derivó un sistema completo de ecuaciones para formas de superficie cuadráticas.

Ferdinand Gotlibovich Minding obtuvo resultados clave en la geometría intrínseca de las superficies . En particular, introdujo el concepto de traslación paralela a lo largo de una curva, que se desarrolló más en los trabajos de Tullio Levi-Civita .

Desde finales del siglo XIX, se ha prestado mucha atención al problema de la inmersión isométrica, la flexión de la superficie y los problemas de rigidez. Los resultados más importantes fueron obtenidos por Alexander Danilovich Alexandrov , David Gilbert , Dmitry Fedorovich Egorov , Stefan Cohn-Vossen y otros.

Los métodos desarrollados en la geometría diferencial de superficies jugaron un papel importante en el desarrollo de las geometrías de Riemann y Alexander .

Conceptos básicos

Una superficie empotrada lisa es el principal objeto de estudio en la geometría diferencial de superficies, más precisamente, la geometría externa de superficies . Se define de la siguiente manera: un subconjunto del espacio euclidiano se denomina superficie incrustada suave (más precisamente , una superficie incrustada regular suave sin límite ) si para cualquier punto existe una vecindad en la que es un gráfico de una función suave en un convenientemente elegido Sistema de coordenadas cartesianas .

Para cualquier superficie incrustada en el espacio euclidiano, se puede medir la longitud de una curva en la superficie, el ángulo entre dos curvas y el área de una región en la superficie. Esta estructura viene dada por la primera forma fundamental , es decir, una matriz definida positiva de 2×2 , que varía suavemente de un punto a otro en la parametrización local de la superficie. Es posible abstraerse del archivo adjunto original. Es decir, considere una superficie abstracta dada por coordenadas locales con una métrica de Riemann. Esto conduce a la denominada geometría intrínseca de las superficies, más desarrollada en la geometría de Riemann .

La curvatura desempeña un papel central en el estudio de las superficies , incluidas las curvaturas principales , las curvaturas gaussiana y media , y las descripciones de tensor de la curvatura, como el operador de forma y la segunda forma fundamental .

Se presta mucha atención a otras clases de curvas en la superficie , incluidas las geodésicas , las curvas asintóticas y las líneas de curvatura .

Los principales resultados de la teoría se relacionan con las propiedades de las superficies convexas , de silla de montar , superficies de revolución , superficies de curvatura media constante y, en particular, superficies mínimas .

• El mapeo esférico  es un mapeo en el que un punto de la superficie se asigna a un vector unitario normal en ese punto.

• El triedro de Darboux es una referencia natural para una curva en una superficie, utilizada en la definición de curvatura geodésica y normal .

• La fórmula de Euler te permite calcular la curvatura normal de una superficie.

• Teorema de Meunier  : da una expresión para la curvatura de una curva que se encuentra sobre una superficie.

Teoremas fundamentales

• Lema sobre geodésicas de Gauss  : establece que cualquier círculo lo suficientemente pequeño centrado en un punto de la superficie es perpendicular a cada curva geodésica desde el centro. Se utiliza para probar que las curvas geodésicas son localmente las curvas más cortas. También juega un papel clave en la demostración de las propiedades de las coordenadas normales y semigeodésicas.

• Las ecuaciones de Peterson-Codazzi dan condiciones locales en la primera y segunda forma cuadrática de la superficie.

• El teorema de uniformización  garantiza la existencia de una parametrización conforme de una superficie dada por una superficie de curvatura gaussiana constante.

• La fórmula de Gauss-Bonnet  da una expresión para la integral de la curvatura gaussiana sobre una región de una superficie.

• Teorema de comparación de Alexandrov  : da estimaciones de los ángulos de un triángulo geodésico.

Preguntas abiertas

• Problema de incrustación isométrica. Sigue siendo una cuestión abierta si cualquier superficie dada de forma abstracta admite una incrustación isométrica en un espacio euclidiano de dimensión 3. Esta es la llamada " ecuación de Weyl " [5] .
  • El resultado de Jakobovich [6] y Poznyak [7] da una respuesta positiva para las incrustaciones en el espacio de 4 dimensiones.
  • En 1926, Maurice Janet probó y resolvió el problema de la métrica analítica .
  • El teorema de incrustación de Aleksandrov dice que cualquier métrica suficientemente suave en una esfera con curvatura gaussiana positiva es isométrica a una superficie convexa cerrada en . Weil obtuvo anteriormente un resultado similar para las métricas analíticas. [ocho]

• Conjetura de Carathéodory : La conjetura establece que una superficie cerrada convexa tres veces diferenciable admite al menos dos puntos de redondeo . El primer trabajo sobre esta conjetura fue el de Hans Hamburger en 1924, quien observó que la conjetura se deriva de la siguiente afirmación más rigurosa: El índice medio entero del haz de curvatura principal de un umbilical aislado no excede de uno.

• La hipótesis de Wilmore . Esta conjetura establece que la integral del cuadrado de la curvatura media del toro incrustado endebe estar acotada desde abajo por. Se sabe que la integral es una invariante de Möbius. La hipótesis fue resuelta en 2012 por Fernando Koda Márquez y Andrk Neves [9] .

Notas

1. ↑ Euler, 1760 .
2. ↑ Euler, 1771 .
3. ↑ Gauss, 1902 .
4. ↑ Toponogov, 2012 , pág. 132.
5. ↑ Han, Hong, 2006 .
6. ↑ Jacobowitz, 1972 .
7. ↑ Poznyak, 1973 .
8. ↑ Pogorelov A. V. Doblado de superficies convexas GITTL (1951)
9. ↑ Marqués, Neves, 2014 , pág. 683–782.

Enlaces

• GEOMETRÍA DIFERENCIAL  // Gran Enciclopedia Rusa  : [en 35 volúmenes]  / cap. edición Yu. S. Osipov . - M.  : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.

Literatura

• S. E. Cohn-Vossen , D. Gilbert . geometría visual. - M. : Editorial Unida Científica y Técnica de la NKTP URSS, 1936. - 302 p.

• Do Karmo, M. Geometría diferencial de curvas y superficies. - Moscú, Izhevsk, 2013. - ISBN 978-5-4344-0150-0 .

• Pogorelov, A. I. Geometría diferencial . — 6ª edición. — M .: Nauka, 1974.

• Poznyak EG Inmersiones isométricas de métricas riemannianas bidimensionales en espacios euclidianos. - 1973. - T. 28 , núm. 4 . — págs. 47–77 . -doi : 10.1070/ RM1973v028n04ABEH001591.

• Rashevsky, P. K. Un curso de geometría diferencial . — 3ra edición. — M. : GITTL, 1950.

• Toponogov, V. A. Geometría diferencial de curvas y superficies. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

• Chernavsky, A. V. Geometría diferencial, segundo curso .

• Recherches sur la courbure des Surfaces  // Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. - 1760. - T. 16 . — S. 119–143 . . Fecha de publicación - 1767

• Leonard Euler . De solidis quorum superficiem in planum explicare licet  // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1771. - T. 16 . — págs. 3–34 . . Fecha de publicación - 1772

• Carl Friedrich Gauss . Investigaciones generales de superficies curvas de 1825 y 1827 . - Biblioteca de la Universidad de Princeton, 1902.

• Qing Han, Jia-Xing Hong. Incrustación isométrica de variedades de Riemann en espacios euclidianos. - 2006. - ISBN 978-0-8218-4071-9 .

• Howard Jacobowitz. Incrustaciones isométricas locales de superficies en cuatro espacios euclidianos  // Universidad de Indiana. Matemáticas. J.. - 1972. - T. 21 , núm. 3 . — S. 249–254 . -doi : 10.1512 / iumj.1971.21.21019 .

• Fernando Codá Marques, André Neves. Teoría Min-Max y la conjetura de Willmore // Annals of Mathematics. - 2014. - T. 179 , núm. 2 . -doi : 10.4007 / annals.2014.179.2.6 . -arXiv : 1202.6036 . _ — .