La paradoja de russell

La paradoja de Russell ( antinomia de Russell , también paradoja de Russell - Zermelo ) es una paradoja de teoría de conjuntos ( antinomia ), descubierta en 1901 [1] por el matemático británico Bertrand Russell y que demuestra la inconsistencia del sistema lógico de Frege , que fue un intento temprano para formalizar la ingenua teoría de conjuntos de George Cantor . Descubierto previamente pero no publicado por Ernst Zermelo .

En lenguaje informal, la paradoja se puede describir de la siguiente manera. Convengamos en llamar "ordinario" a un conjunto si no es su propio elemento. Por ejemplo, el conjunto de todas las personas es "ordinario" porque el conjunto en sí no es una persona. Un ejemplo de un conjunto "inusual" es el conjunto de todos los conjuntos , ya que él mismo es un conjunto y, por lo tanto, es un elemento propio [2] .

Es posible considerar un conjunto que consta solo de todos los conjuntos "ordinarios", tal conjunto se denomina conjunto de Russell . Surge una paradoja al tratar de determinar si este conjunto es "ordinario" o no, es decir, si se contiene a sí mismo como elemento. Hay dos posibilidades.

En cualquier caso, obtenemos una contradicción [2] .

Declaración de la paradoja

La paradoja de Russell se puede formular en la teoría de conjuntos ingenua . Por lo tanto, la teoría de conjuntos ingenua es inconsistente . Un fragmento controvertido de la teoría de conjuntos ingenua, que se puede definir como una teoría de primer orden con una relación de pertenencia binaria y un esquema de selección : para cada fórmula lógica con una variable libre en la teoría de conjuntos ingenua hay un axioma

.

Este esquema de axiomas dice que para cualquier condición existe un conjunto formado por aquellos que satisfacen la condición [3] .

Esto es suficiente para formular la paradoja de Russell de la siguiente manera. Sea una fórmula (Es decir , significa que el conjunto no se contiene a sí mismo como un elemento o, en nuestra terminología, es un conjunto "ordinario"). Entonces, de acuerdo con el axioma de selección, hay un conjunto ( conjunto de Russell) tal que

.

Dado que esto es cierto para cualquier , entonces también es cierto para Eso es

De esto se deduce que se deduce una contradicción en la teoría ingenua de conjuntos [3] .

La paradoja no surgiría si asumiéramos que el conjunto de Russell no existe. Sin embargo, esta suposición en sí misma es paradójica: en la teoría de conjuntos de Cantor , se cree que cualquier propiedad determina el conjunto de elementos que satisfacen esta propiedad. Dado que la propiedad de un conjunto de ser "ordinario" parece estar bien definida, debe haber un conjunto de todos los conjuntos "ordinarios". Ahora tal teoría se llama teoría ingenua de conjuntos [4] [5] .

Versiones populares de la paradoja

Hay varias versiones de la paradoja de Russell. A diferencia de la paradoja misma, generalmente no se pueden expresar en un lenguaje formal .

La paradoja del mentiroso

La paradoja de Russell está relacionada con la paradoja del mentiroso conocida desde la antigüedad, que es la siguiente pregunta. Dada una declaración:

Esta afirmación es falsa.

¿Es cierta esta afirmación o no?

Es fácil mostrar que esta afirmación no puede ser ni verdadera ni falsa.

Russell escribió sobre esta paradoja [6] :

Este es un antiguo acertijo que nadie trató más que como una broma hasta que se descubrió que esta pregunta tiene que ver con problemas tan importantes y prácticos como la existencia del mayor número cardinal u ordinal .

Texto original  (inglés)[ mostrarocultar] Es un rompecabezas antiguo, y nadie trató ese tipo de cosas como algo más que una broma hasta que se descubrió que tenía que ver con problemas tan importantes y prácticos como si hay un número cardinal u ordinal mayor.

Russell mismo explicó la paradoja del mentiroso de esta manera. Para decir algo sobre los enunciados, primero se debe definir el concepto mismo de “enunciado”, sin utilizar conceptos que aún no han sido definidos. Así, pueden definirse enunciados del primer tipo que no dicen nada acerca de enunciados. Entonces uno puede definir enunciados del segundo tipo que hablan de enunciados del primer tipo, y así sucesivamente. La declaración "esta declaración es falsa" no se incluye en ninguna de estas definiciones y, por lo tanto, no tiene sentido [6] .

La paradoja del barbero

Russell menciona la siguiente versión de la paradoja, formulada como un acertijo que alguien le sugirió [6] .

Que viva un peluquero en cierto pueblo, que afeite a todos los habitantes del pueblo que no se afeiten a sí mismos, y solo a ellos.

¿El barbero se afeita solo?

Cualquier respuesta conduce a una contradicción. Russell señala que esta paradoja no es equivalente a su paradoja y se resuelve fácilmente [6] . De hecho, así como la paradoja de Russell muestra que no existe un conjunto de Russell, la paradoja del barbero muestra que tal barbero no existe. La diferencia es que no hay nada de sorprendente en la inexistencia de tal barbero: no por cualquier propiedad hay un barbero que rapa a la gente con esta propiedad. Sin embargo, el hecho de que no exista un conjunto de elementos dado por alguna propiedad bien definida contradice la idea ingenua de conjuntos y requiere explicación [5] [7] .

Opción sobre directorios

La formulación más cercana a la paradoja de Russell es la siguiente versión de su presentación [8] :

Los catálogos bibliográficos son libros que describen otros libros. Algunos directorios pueden describir otros directorios. Algunos directorios pueden incluso describirse a sí mismos.

¿Es posible catalogar todos los catálogos que no se describen a sí mismos?

Surge una paradoja al tratar de decidir si este directorio debe describirse a sí mismo. A pesar de la aparente cercanía de las formulaciones (esta es en realidad la paradoja de Russell, en la que se utilizan catálogos en lugar de conjuntos), esta paradoja, como la paradoja del barbero, se resuelve simplemente: tal catálogo no se puede compilar.

La paradoja de Grelling-Nelson

Esta paradoja fue formulada por los matemáticos alemanes Kurt Grelling y Leonard Nelson en 1908. De hecho, es una traducción de la versión original de Russell de la paradoja en términos de lógica de predicados (ver la carta a Frege a continuación ) a un lenguaje no matemático.

Llamaremos a un adjetivo reflexivo si este adjetivo tiene una propiedad determinada por este adjetivo. Por ejemplo, los adjetivos "ruso", "polisílabo" tienen las propiedades que definen (el adjetivo "ruso" es ruso, y el adjetivo "polisílabo" es polisilábico), por lo que son reflexivos, y los adjetivos "alemán", " monosilábicos” no son reflexivos .

¿El adjetivo "no reflexivo" será reflexivo o no?

Cualquier respuesta conduce a una contradicción [8] [9] . A diferencia de la paradoja del barbero, la solución a esta paradoja no es tan simple. No se puede decir simplemente que tal adjetivo ("no reflexivo") no existe, ya que lo acabamos de definir. La paradoja surge del hecho de que la definición del término "no reflexivo" es incorrecta en sí misma. La definición de este término depende del significado del adjetivo al que se aplica. Y dado que la palabra "no reflexiva" es en sí misma un adjetivo en la definición, se produce un círculo vicioso [10] .

Historia

Russell probablemente descubrió su paradoja en mayo o junio de 1901 [11] . Según el propio Russell, estaba tratando de encontrar un error en la prueba de Cantor del hecho paradójico (conocido como paradoja de Cantor ) de que no existe un número cardinal máximo (o el conjunto de todos los conjuntos ). Como resultado, Russell obtuvo una paradoja más simple [12] . Russell comunicó su paradoja a otros lógicos, especialmente a Whitehead [13] y Peano [14] . En su carta a Frege del 16 de junio de 1902, escribió que había encontrado una contradicción en el Cálculo de conceptos , el libro de Frege publicado en 1879. Expuso su paradoja en términos de lógica y luego en términos de teoría de conjuntos, utilizando la definición de función de Frege [14] :

Experimenté dificultades en un solo lugar. Usted afirma (pág. 17) que una función en sí misma puede actuar como una incógnita. Yo también solía pensar eso. Pero ahora este punto de vista me parece dudoso debido a la siguiente contradicción. Sea w un predicado: "ser un predicado que no se aplica a sí mismo". ¿Puede w ser aplicable a sí mismo? Cualquier respuesta implica lo contrario. Por lo tanto, debemos concluir que w  no es un predicado. Del mismo modo, no hay clase (como un todo) de aquellas clases que, tomadas como un todo, no se pertenezcan a sí mismas. De esto concluyo que a veces un determinado conjunto no forma una formación holística.

Texto original  (alemán)[ mostrarocultar] Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs: Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren? Aus jeder Respuesta folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet [15] .

Frege recibió la carta justo cuando completaba el segundo volumen de Las leyes fundamentales de la aritmética (en alemán:  Grundgesetze der Arithmetik ). Frege no tuvo tiempo de corregir su teoría de conjuntos. Solo agregó un apéndice al segundo volumen con una exposición y su análisis de la paradoja, que comenzó con el famoso comentario:

Es poco probable que le pueda pasar algo peor a un científico que si le arrancan el suelo de debajo de los pies en el mismo momento en que termina su trabajo. Fue en esta posición en la que me encontré cuando recibí una carta de Bertrand Russell, cuando mi trabajo ya estaba terminado [16] .

Texto original  (alemán)[ mostrarocultar] Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte [17] .

Frege continuó sugiriendo la siguiente forma de corregir su teoría para evitar la paradoja de Russell. En lugar de un axioma:

,

que decía que es posible construir un conjunto de elementos que satisfagan la propiedad que sugirió usando el siguiente axioma:

,

eliminando así la posibilidad de que un conjunto sea miembro de sí mismo. Sin embargo, una ligera modificación de la paradoja de Russell prueba que este axioma también conduce a una contradicción: a saber, se puede considerar el conjunto de todos los singletons tal que , entonces el enunciado será una antinomia [18] .

Russell publicó su paradoja en su libro Principios de las matemáticas en 1903 [11] .

Ernst Zermelo afirmó haber descubierto esta paradoja independientemente de Russell y se la informó antes de 1903 a Hilbert y otros [19] . Esto también fue confirmado por Hilbert, escribiendo a Frege el 7 de noviembre de 1903, que estaba al tanto de esta paradoja. Hilbert escribió: "Creo que Zermelo lo encontró hace 3 o 4 años... Encontré otras contradicciones aún más convincentes hace 4 o 5 años". Además, en 1978 se descubrió la formulación de esta paradoja en los papeles de Edmund Husserl , que Zermelo comunicó a Husserl el 16 de abril de 1902. En esta formulación se prueba que el conjunto M que contiene todos sus subconjuntos como elementos conduce a una contradicción. Como prueba, considere un subconjunto M , que consta de conjuntos que no se contienen a sí mismos [20] .

Soluciones

No hay error en la paradoja de Russell: realmente prueba la inconsistencia de la teoría ingenua de conjuntos. Para deshacerse de la contradicción, es necesario corregir la teoría de conjuntos para que no admita un conjunto russelliano. Esto se puede hacer de varias maneras. La forma más natural es prohibir de una u otra forma los conjuntos que puedan contenerse a sí mismos como elemento. Así, el conjunto de todos los conjuntos también estará prohibido ( al menos el conjunto de todos los conjuntos no será en sí mismo un conjunto) [21] . Sin embargo, debe tenerse en cuenta que, por un lado, prohibir simplemente que el conjunto se tenga a sí mismo como elemento no es suficiente para librarse de la contradicción (como mostró el primer intento de Frege de corregir su sistema). Por otro lado, permitir que los conjuntos se incluyan a sí mismos como miembros no conduce en sí mismo a contradicciones. Por ejemplo, nada le impide crear un directorio que incluirá todos los directorios, incluida la descripción de sí mismo. Muchos lenguajes de programación permiten que los contenedores se incluyan a sí mismos como un elemento [22] . Hay sistemas lógicos libres de paradojas como el de Russell que permiten que los conjuntos se contengan a sí mismos (pe New Foundations de W. V. O. Quine ) [23] .

A continuación se presentan algunos de los posibles enfoques para construir un sistema de axiomas libre de las paradojas de Russell.

Teoría de tipos de Russell

El mismo Russell fue el primero en proponer una teoría libre de la paradoja de Russell. Desarrolló una teoría de los tipos, cuya primera versión apareció en los Principios de las matemáticas de Russell en 1903 24] . Esta teoría se basa en la siguiente idea: los objetos simples en esta teoría tienen tipo 0, los conjuntos de objetos simples tienen tipo 1, los conjuntos de conjuntos de objetos simples tienen tipo 2, y así sucesivamente. Así, ningún conjunto puede tenerse a sí mismo como elemento. Ni el conjunto de todos los conjuntos ni el conjunto de Russell pueden definirse en esta teoría. Se introduce una jerarquía similar para declaraciones y propiedades. Las proposiciones sobre objetos simples pertenecen al tipo 1, las proposiciones sobre las propiedades de las proposiciones del tipo 1 pertenecen al tipo 2, y así sucesivamente. En general, una función, por definición, es de un tipo superior a las variables de las que depende. Este enfoque nos permite deshacernos no solo de la paradoja de Russell, sino también de muchas otras paradojas, incluida la paradoja del mentiroso ( ver arriba ), la paradoja de Grelling-Nelson , la paradoja de Burali-Forti . Russell y Whitehead mostraron cómo reducir todas las matemáticas a los axiomas de la teoría de tipos en sus tres volúmenes Principia Mathematica , publicados en 1910-1913 [25] .

Sin embargo, este enfoque se encontró con dificultades. En particular, surgen problemas al definir conceptos tales como el límite superior mínimo para conjuntos de números reales. Por definición, un límite superior mínimo es el más pequeño de todos los límites superiores. Por lo tanto, al determinar el límite superior mínimo, se utiliza el conjunto de números reales. Por lo tanto, el límite superior mínimo es un objeto de un tipo más alto que los números reales. Esto significa que no es en sí mismo un número real. Para evitar esto, tuvimos que introducir el llamado axioma de reducibilidad . Debido a su arbitrariedad, muchos matemáticos se negaron a aceptar el axioma de la reducibilidad, y el mismo Russell lo llamó un defecto en su teoría. Además, la teoría resultó ser muy compleja. Como resultado, no ha recibido una amplia aplicación [25] .

Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

El enfoque más conocido para la axiomatización de las matemáticas es la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), que surgió como una extensión de la teoría de Zermelo (1908). A diferencia de Russell, Zermelo retuvo los principios lógicos y cambió solo los axiomas de la teoría de conjuntos [26] . La idea de este enfoque es que se permite usar solo conjuntos construidos a partir de conjuntos ya construidos utilizando un determinado conjunto de axiomas [5] . Así, por ejemplo, uno de los axiomas de Zermelo dice que es posible construir un conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado ( el axioma booleano ). Otro axioma ( esquema de selección ) dice que de cada conjunto es posible seleccionar un subconjunto de elementos que tienen una propiedad dada. Esta es la principal diferencia entre la teoría de conjuntos de Zermelo y la teoría de conjuntos ingenua: en la teoría de conjuntos ingenua, se puede considerar el conjunto de todos los elementos que tienen una propiedad determinada, mientras que en la teoría de conjuntos de Zermelo, solo se puede seleccionar un subconjunto de un conjunto ya construido. . En la teoría de conjuntos de Zermelo, no se puede construir el conjunto de todos los conjuntos . Por lo tanto, el conjunto de Russell tampoco se puede construir allí [21] .

Clases

A veces en matemáticas es útil considerar todos los conjuntos como un todo, por ejemplo, para considerar la totalidad de todos los grupos . Para hacer esto, la teoría de conjuntos puede extenderse mediante la noción de una clase , como, por ejemplo, en el sistema Neumann-Bernays-Gödel (NBG). En esta teoría, la colección de todos los conjuntos es una clase . Sin embargo, esta clase no es un conjunto y no es un elemento de ninguna clase, evitando así la paradoja de Russell [27] .

Un sistema más fuerte que permite tomar cuantificadores por clase, y no solo por conjuntos, es, por ejemplo, la teoría de conjuntos de Morse-Kelly (MK) [28] . En esta teoría, el concepto principal es el concepto de una clase , no un conjunto . Los conjuntos en esta teoría son aquellas clases que son ellos mismos elementos de algunas clases [29] . En esta teoría, la fórmula se considera equivalente a la fórmula

.

Dado que en esta teoría significa que una clase es un conjunto , esta fórmula debe entenderse como cuál es la clase de todos los conjuntos (y no clases) tales que . La paradoja de Russell en esta teoría se resuelve por el hecho de que no todas las clases son un conjunto [30] .

Puede ir más allá y considerar colecciones de clases: conglomerados , colecciones de conglomerados, etc. [31] .

Influencia en las matemáticas

Axiomatización de las matemáticas

La paradoja de Russell, junto con otras antinomias matemáticas [4] descubiertas a principios del siglo XX, estimuló una revisión de los fundamentos de las matemáticas, lo que resultó en la construcción de teorías axiomáticas para justificar las matemáticas, algunas de las cuales se mencionan anteriormente.

En todas las nuevas teorías axiomáticas construidas se eliminaron las paradojas conocidas a mediados del siglo XX (incluida la paradoja de Russell) [32] . Sin embargo, demostrar que no se pueden descubrir nuevas paradojas similares en el futuro (este es el problema de la consistencia de las teorías axiomáticas construidas) resultó ser imposible en la comprensión moderna de este problema [33] [34] (ver la incompletud de Gödel teoremas ).

Intuicionismo

Paralelamente, surgió una nueva corriente en las matemáticas, denominada intuicionismo , cuyo fundador es L. E. Ya. Brouwer . El intuicionismo surgió independientemente de la paradoja de Russell y otras antinomias. Sin embargo, el descubrimiento de las antinomias en la teoría de conjuntos aumentó la desconfianza de los intuicionistas en los principios lógicos y aceleró la formación del intuicionismo [25] . La tesis principal del intuicionismo dice que para probar la existencia de algún objeto, es necesario presentar un método para su construcción [35] . Los intuicionistas rechazan conceptos tan abstractos como el conjunto de todos los conjuntos. El intuicionismo niega la ley del tercero excluido , sin embargo, cabe señalar que no se necesita la ley del tercero excluido para derivar una contradicción de la antinomia de Russell o de cualquier otra (en toda antinomia se prueba que la negación implica y la negación implica , sin embargo , incluso en la lógica intuicionista se sigue una contradicción) [36] . También vale la pena señalar que en axiomatizaciones posteriores de las matemáticas intuicionistas se encontraron paradojas similares a las de Russell, como, por ejemplo, la paradoja de Girard en la formulación original de la teoría intuicionista de tipos de Martin-Löf [37] .

Argumento diagonal (autoaplicabilidad)

A pesar de que el razonamiento de Russell conduce a una paradoja, la idea principal de este razonamiento se usa a menudo en la demostración de teoremas matemáticos. Como se mencionó anteriormente, Russell obtuvo su paradoja al analizar la demostración de Cantor de que no existe un número cardinal mayor . Este hecho contradice la existencia de un conjunto de todos los conjuntos, ya que su cardinalidad debe ser máxima. Sin embargo, por el teorema de Cantor , el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado tiene más cardinalidad que el propio conjunto. La prueba de este hecho se basa en el siguiente argumento diagonal:

Sea una correspondencia uno a uno , que asigna a cada elemento del conjunto un subconjunto del conjunto Sea un conjunto formado por elementos tales que ( conjunto diagonal ). Entonces el complemento de este conjunto no puede ser ninguno de A, por lo tanto, la correspondencia no era uno a uno.

Cantor usó el argumento de la diagonal para demostrar la incontabilidad de los números reales en 1891. (Esta no es su primera prueba de la incontabilidad de los números reales, pero sí la más simple) [38] .

La paradoja de Cantor se obtiene aplicando este argumento al conjunto de todos los conjuntos. De hecho, el conjunto de Russell es el conjunto diagonal de Cantor [39] . El argumento diagonal se usó antes que Russell y Cantor (ya se usó en [40] por Dubois-Reymond sobre cálculo en 1875) [41] . Sin embargo, en la paradoja de Russell, el argumento diagonal se cristaliza más claramente.

El argumento diagonal se ha utilizado en muchas áreas de las matemáticas. Así, por ejemplo, es el argumento central en el teorema de incompletud de Gödel , en la prueba de la existencia de un conjunto enumerable indecidible , y, en particular, en la prueba de la indecidibilidad del problema de la detención [42] .

Paradojas relacionadas

La autoaplicabilidad se usa en muchas otras paradojas además de las discutidas anteriormente:

Véase también

Notas

  1. ↑ Godehard Link (2004), Cien años de la paradoja de Russell , p. 350, ISBN 9783110174380 , < https://books.google.com/?id=Xg6QpedPpcsC&pg=PA350 >  .
  2. ↑ 1 2 Antinomia de Russell // Diccionario de lógica. Ivin A. A., Nikiforov A. L.  - M .: Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 p. — ISBN 5-691-00099-3 .
  3. ↑ 1 2 Andrew David Irvine, Harry Deutsch. La paradoja de Russell  // La Enciclopedia de Filosofía de Stanford / Edward N. Zalta. — 2014-01-01. Archivado desde el original el 18 de marzo de 2019.
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Literatura

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