Orden de puntos relativo a la curva
En matemáticas , el índice de un punto , o el orden de un punto relativo a una curva cerrada en un plano , es un número entero que representa el número de revoluciones completas que la curva da alrededor de un punto dado en sentido antihorario [1] . A veces se habla del orden de una curva con respecto a un punto. El índice depende de la orientación de la curva y toma un valor negativo si la curva se recorre en el sentido de las agujas del reloj.
Los índices de puntos con respecto a las curvas son objetos de estudio fundamentales en la topología algebraica , y también juegan un papel importante en el análisis vectorial , el análisis complejo , la topología geométrica la geometría diferencial y la física , incluida la teoría de cuerdas .
Descripción intuitiva
Sea una curva orientada cerrada en el plano xy . Podemos pensar en una curva como la trayectoria de un objeto, y la orientación de la curva indica la dirección en la que se mueve el objeto. Entonces , el índice del punto con respecto a la curva es igual al número de revoluciones completas en sentido antihorario que hace el objeto con respecto al punto de observación.
Al calcular el número de revoluciones , el movimiento en el sentido contrario a las agujas del reloj se cuenta como positivo, mientras que el movimiento en el sentido de las agujas del reloj se cuenta como negativo. Por ejemplo, si un objeto rodea el punto de vista cuatro veces en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego una vez en el sentido de las agujas del reloj, el índice total será tres.
En este esquema, una curva que no rodee en absoluto el punto de observación tiene un índice de 0, mientras que una curva atravesada en el sentido de las agujas del reloj dará un valor negativo. Por lo tanto, el índice del punto puede ser cualquier número entero . La siguiente figura muestra curvas con índices entre −2 y 3:
| −2 | −1 | 0 | ||
| una | 2 | 3 |
Formal definición
Una curva en el plano xy puede estar dada por ecuaciones paramétricas :
Si entendemos el parámetro t como tiempo, estas ecuaciones determinan el movimiento de un objeto en un plano entre t = 0 y t = 1. La trayectoria de este movimiento es una curva si las funciones x ( t ) e y ( t ) son continuo _ Esta curva se cierra si la posición del objeto es la misma en los tiempos t = 0 y t = 1.
Podemos determinar el índice de un punto con respecto a dicha curva utilizando el sistema de coordenadas polares . Suponiendo que la curva no pasa por el punto de observación, podemos reescribir las ecuaciones paramétricas:
y para
Las funciones r ( t ) y θ ( t ) deben ser continuas con r > 0. Dado que los puntos inicial y final son los mismos, θ (0) y θ (1) deben diferir en un múltiplo de 2π . Este valor es el índice de puntos:
índice de puntos
Esta definición da el índice del origen del plano xy . Al transformar el sistema de coordenadas, esta definición se puede extender a cualquier punto de observación.
Otras definiciones
El índice de puntos a menudo se define de varias maneras en diferentes áreas de las matemáticas. Todas las definiciones a continuación son equivalentes a las anteriores:
Geometría diferencial
En geometría diferencial , se supone que las ecuaciones paramétricas son diferenciables (suaves) (o al menos diferenciables por partes). En este caso, la coordenada polar θ está relacionada con las coordenadas cartesianas x e y por la ecuación:
dónde
Según el teorema de Newton-Leibniz, el cambio total θ es igual a la integral dθ . Así, el índice de un punto con respecto a una curva suave se expresa en términos de una integral curvilínea :
índice de puntos
Análisis complejo
En análisis complejo , el índice de un punto con respecto a una curva cerrada C en el plano complejo se puede expresar en términos de las coordenadas complejas z = x + iy . En particular, si escribimos z = re iθ , entonces
y por lo tanto
![\frac{dz}{z} \;=\; \frac{dr}{r} + i\,d\theta \;=\; d[ \ln r ] + i\,d\theta.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7931f3e173554a085253596908ff7a886f997b9)
La contribución integral ln( r ) es cero, por lo que la integral dz ⁄ z es igual a i por el cambio total θ . De este modo,
índice de puntos
Generalizando, el índice de cualquier número complejo a viene dado por la fórmula [2]
Este es un caso especial de la famosa fórmula integral de Cauchy . Los índices de puntos juegan un papel muy importante en el análisis complejo (ver el enunciado del teorema del residuo principal ).
Topología
En topología, el índice de un punto es un concepto alternativo para el grado de un mapeo [3] [4] [5] . En física , los índices de puntos a menudo se denominan cargas topológicas . En ambos casos se utiliza el mismo concepto.
El ejemplo anterior de una curva que gira alrededor de un punto tiene una interpretación topológica simple. El complemento de un punto en el plano es el equivalente homotópico de un círculo , por lo que las aplicaciones del círculo en sí mismo es todo lo que debe considerarse. Se puede demostrar que cualquier mapeo de este tipo se puede deformar continuamente en uno de los mapeos estándar , donde el producto en un círculo se define identificando el círculo con el círculo complejo unitario. El conjunto de clases de homotopía de mapear un círculo en un espacio topológico forma un grupo llamado primer grupo de homotopía o grupo fundamental del espacio. El grupo fundamental del círculo es el grupo de los enteros Z [6] . El índice de un punto con respecto a una curva compleja es simplemente una clase de homotopía.
El mapeo de una esfera tridimensional en sí misma también se clasifica mediante un número entero, que se denomina índice de punto o, a veces, número de Pontryagin .
Polígonos
En polígonos , el índice de un punto se expresa como la densidad del polígono . Para polígonos convexos, así como para polígonos simples (autodisjuntos), la densidad es 1 por el teorema de Jordan . Mientras que un polígono estrella regular { p / q } tiene densidad q .
Número de rotación
Puedes considerar el número de revoluciones de la tangente al camino.
El número de revoluciones se determina solo para curvas suaves (diferenciables) que tienen una tangente en cualquier punto.
Este número se llama número de rotación y se puede calcular como el ángulo de rotación dividido por 2 π .
Índice de puntos relativo a la curva y ecuación de Heisenberg del ferromagnetismo
El índice de punto está estrechamente relacionado con las ecuaciones continuas (2 + 1)-dimensionales del ferromagnetismo de Heisenberg y sus extensiones integrables: la ecuación de Ishimori y otras. Las soluciones de estas ecuaciones se clasifican por índices de punto o carga topológica ( invariante topológica ).
Véase también
- Principio del argumento
- Relación de transmisión
- Densidad de polígonos
- Teorema del residuo fundamental
- Teoría del grado topológico
- Número cuántico topológico
- Bucle de Wilson
- Regla de índice distinto de cero
Notas
- ↑ Evgrafov M. A. Capítulo 1. Introducción // Funciones analíticas. - 3ro. - Moscú: Ciencia. cap. edición Phys.-Math. lit., 1991. - Pág. 40. - ISBN 5-02-014200-X .
- ↑ Dieudonné, 1964 , Sección 9.8.2, p. 254-255.
- ↑ Seyferd G., Trefall W. § 78. Grado de mapeo // Topología. - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámicas Regulares y Caóticas". - S. 361-362. — ISBN 5-93972-068-4 .
- ↑ Dold A. Capítulo 4 § 4. Grado de mapeo // Conferencias sobre topología algebraica. - M .: Mir, 1976. - S. 81. - ISBN 5-93972-068-4 .
- ↑ Viro, 2010 , 36'4x, p. 271.
- ↑ Viro, 2010 , 35.F, p. 265.
Literatura
- Dieudonne J. Fundamentos del análisis moderno. — M .: Mir, 1964.
- O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Topología elemental. - MTSNMO, 2010. - ISBN 978-5-94057-587-0 .
- Goryainov VV § 3. Índice. Cadenas y ciclos // Curso de conferencias sobre teoría de funciones de variable compleja. - Volgogrado: Editorial de la Universidad Estatal de Volgogrado, 1998. - S. 61-62.
Enlaces
- Número de bobinado Archivado el 27 de mayo de 2019 en Wayback Machine en el sitio web de PlanetMath .