Distribución de Cauchy

Distribución de Cauchy
La curva verde corresponde a la distribución estándar de CauchyDensidad de probabilidad
Los colores están de acuerdo con la tabla de arriba.función de distribución
Designacion	${\mathrm {C}}(x_{0},\gamma )$
Opciones	$x_{0}$ - factor de desplazamiento - factor de escala $\gamma > 0$
Transportador	$x\in (-\infty;+\infty)$
Densidad de probabilidad	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right] }}$
función de distribución	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$
Valor esperado	no existe
Mediana	$x_{0}$
Moda	$x_{0}$
Dispersión	no existe
Coeficiente de asimetría	no existe
Coeficiente de curtosis	no existe
entropía diferencial	${\ estilo de visualización \ ln (4 \, \ pi \, \ gamma)}$
Función generadora de momentos	no determinado
función característica	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,\|t\|)$

La distribución de Cauchy en teoría de probabilidad (también llamada distribución de Lorentz y distribución de Breit - Wigner en física ) es una clase de distribuciones absolutamente continuas . Una variable aleatoria que tiene una distribución de Cauchy es un ejemplo estándar de una variable que no tiene media ni varianza .

Definición

Sea la distribución de una variable aleatoria dada por la densidad que tiene la forma: $X$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2} \right]}}={1 \sobre \pi }\left[{\gamma \sobre (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]

dónde

$x_{0}\in {\matemáticas {R}}$ es el parámetro de desplazamiento;
$\gamma >0$ es el parámetro de escala.

Luego dicen que tiene una distribución de Cauchy y escriben . Si y , entonces tal distribución se llama distribución estándar de Cauchy. $X$ $X\sim {\mathrm {C}}(x_{0},\gamma )$ $x_{0}=0$ $\gamma=1$

Función de distribución

La función de distribución de Cauchy tiene la forma:

F_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\mathrm {arctg}}\,\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\ derecha)+{\frac{1}{2}}

Es estrictamente creciente y tiene una función inversa :

F_{X}^{{-1}}(x)=x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \,\left(x-{1 \over 2 }\bien bien].

Esto permite generar una muestra a partir de la distribución de Cauchy utilizando el método de transformada inversa .

Momentos

Dado que la integral de Lebesgue

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\!x^{{\alpha }}f_{X}(x)\,dx

no está definido para , ni la expectativa matemática (aunque la integral del 1er momento en el sentido del valor principal es: ), ni la varianza, ni los momentos de orden superior de esta distribución no están definidos. A veces se dice que la esperanza matemática no está definida y que la varianza es infinita. $\alpha \geqslant 1$ $\lim \limits _{{{c\rightarrow \infty }}\int \limits _{{-c}}^{{c}}x\cdot {1 \over \pi }\left[{\gamma \over ( x-x_{0})^{2}+\gamma^{2}}\right]\,dx=x_{0}$

Otras propiedades

La distribución de Cauchy es infinitamente divisible .
La distribución de Cauchy es estable . En particular, la media muestral de una muestra de la distribución estándar de Cauchy tiene una distribución estándar de Cauchy: si , entonces $X_{1},\ldots,X_{n}\sim {\mathrm {C}}(0,1)$

\overline {X}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

Relación con otras distribuciones

si , entonces $U\simU[0,1]$

x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim {\mathrm {C}}( x_{0},\gamma)

Si son variables aleatorias normales independientes tales que , entonces $X_{1},X_{2}$ $X_{i}\sim {\mathrm {N}}(0,1),\;i=1,2$

{\frac{X_{1}}{X_{2}}}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

[1] [2] .

La distribución estándar de Cauchy es un caso especial de la distribución de Student :

{\mathrm {C}}(0,1)\equiv {\mathrm {t}}(1)

Apariencia en problemas prácticos

La distribución de Cauchy caracteriza la longitud del segmento cortado en la abscisa por una recta, fijada en un punto del eje y, si el ángulo entre la recta y el eje y tiene una distribución uniforme en el intervalo (−π ; π) (es decir, la dirección de la línea es isótropa en el plano). Esencialmente, esto significa lo siguiente [1] :

Si , entonces (− ), por lo tanto . Debido a la periodicidad de la tangente, uniformidad en el intervalo (−π/2; π/2) significa simultáneamente uniformidad en el intervalo (−π; π). $U\simU[0,1]$ ${\ estilo de visualización \ pi \ \ izquierda (U-{1 \ sobre 2} \ derecha) \ sim}$ $tu$ ${\ estilo de visualización \ pi /2, \ pi /2}$ $\mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (0,1)$

En física, la distribución de Cauchy (también llamada forma de Lorentz) describe los perfiles de líneas espectrales uniformemente ampliadas.
La distribución de Cauchy describe las características de amplitud-frecuencia de los sistemas oscilatorios lineales en la vecindad de las frecuencias resonantes.

Notas

↑ 1 2 Galkin V. M., Erofeeva L. N., Leshcheva S. V. Estimaciones del parámetro de distribución de Cauchy. Actas de la Universidad Técnica Estatal de Nizhny Novgorod. R. E. Alekseeva. 2014. N° 2(104). art. 314
↑ Cauchy Distribution Archivado el 29 de julio de 2017 en Wayback Machine // risktheory.novosyolov.com

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula