Distribución de veneno

distribución de veneno
Función de probabilidad
función de distribución
Designacion	${\ matemáticas {P}} (\ lambda)$
Opciones	$\lambda \in (0,\infty)$
Transportador	$k\en \{0,1,2,\ldots\}$
Función de probabilidad	${\frac {e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!)}}$
función de distribución	${\frac {\Gamma (k+1,\lambda)}{k!)))$
Valor esperado	$\lambda$
Mediana	$\aproximado \lpiso \lambda +1/3-0.02/\lambda \rpiso$
Moda	$\lpiso \lambda \rpiso$
Dispersión	$\lambda$
Coeficiente de curtosis	${\ estilo de visualización \ lambda ^ {-1}}$
entropía diferencial	$\lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{{-\lambda }}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {\ lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}$
Función generadora de momentos	${\ estilo de visualización \ exp (\ lambda (e ^ {t} -1))}$
función característica	$\exp(\lambda (e^{it}-1))$

La distribución de Poisson es una distribución de tipo discreto de una variable aleatoria que representa el número de eventos que ocurrieron en un tiempo fijo, siempre que estos eventos ocurran con alguna intensidad promedio fija e independientemente unos de otros.

La distribución de Poisson juega un papel clave en la teoría de colas .

Definición

Elijamos un número fijo y definamos una distribución discreta dada por la siguiente función de probabilidad : $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

dónde

$k$ - el número de eventos,
$\lambda$ - expectativa matemática de una variable aleatoria (número promedio de eventos durante un período de tiempo fijo),
$k!$ denota el factorial de un número , $k$
$e=2{,}718281828\ldots$ es la base del logaritmo natural .

El hecho de que una variable aleatoria tenga una distribución de Poisson con esperanza matemática , se escribe: . $Y$ $\lambda$ $Y\sim ~{\mathrm {P}}(\lambda )$

Momentos

La función generadora de momentos de la distribución de Poisson tiene la forma:

E_{Y}(t)=e^{{\lambda \left(e^{t}-1\right)}}

dónde

{\mathbb{M}}[Y]=\lambda

{\mathbb {D}}[Y]=\lambda

Para los momentos factoriales de la distribución es válida la fórmula general:

\mathbb {M} Y^{[k]}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matriz}k\\i\end {matriz}}\derecho\}

donde los corchetes denotan números de Stirling del segundo tipo . ${\ estilo de visualización k = 1,2,...}$

Y dado que los momentos y los momentos factoriales están linealmente relacionados, a menudo son los momentos factoriales los que se estudian para la distribución de Poisson, de los cuales, si es necesario, también se pueden derivar momentos ordinarios.

Propiedades de la distribución de Poisson

La suma de variables aleatorias independientes de Poisson también tiene una distribución de Poisson. deja _ Después $Y_{i}\sim {\mathrm {P}}(\lambda _{i}),\;i=1,\ldots,n$

Y=\sum \limits_{{i=1}}^{n}Y_{i}\sim {\mathrm {P}}\left(\sum \limits_{{i=1}}^{n} \lambda _{i}\right)

Sea , y . Entonces la distribución condicional bajo la condición de que , es binomial. Con más precisión: $Y_{i}\sim {\mathrm {P}}(\lambda _{i}),\;i=1,2$ ${\displaystyle Y=Y_{1}+Y_{2))$ $Y_{1}$ ${\ estilo de visualización Y = y}$

Y_{1}\mid Y=y\sim {\mathrm {Bin}}\left(y,{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}} \Correcto)

A medida que aumenta la distribución de Poisson , tiende a una distribución gaussiana con una desviación estándar y un desplazamiento . Para probar esto, necesitamos aplicar la fórmula de Stirling para el factorial y luego usar la expansión de la serie de Taylor en la vecindad y dentro del pico de la distribución . entonces resulta $\lambda$ $\sigma=\sqrt{\lambda}$ $\lambda$ $\ln(\lambda/k)^k$ $k=\lambda$ $\sqrt{k}\approx\sqrt{\lambda}$

p(k)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\right)

Tendencia asintótica a la distribución

Muy a menudo, en la teoría de la probabilidad, no se considera la distribución de Poisson en sí misma, sino una secuencia de distribuciones que son asintóticamente iguales a ella. Más formalmente, considere una secuencia de variables aleatorias que toman valores enteros, de modo que para cualquiera se cumpla para . $\xi _{1},\xi _{2},\puntos$ $k$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$ $n\to\infty$

El ejemplo más sencillo es cuando tiene una distribución binomial con probabilidad de éxito en cada uno de los ensayos. $\xi _{n}$ ${\frac{\lambda}{n}}$ $norte$

Feedback con momentos factoriales

Consideremos una secuencia de variables aleatorias que toman valores enteros no negativos. Si for y for any fijos (donde es el -ésimo momento factorial ), entonces para any for , tenemos . ${\ estilo de visualización \ xi _ {1}, \ xi _ {2}, \ puntos,}$ $\mu _{r}({\xi _{n)))\sim \lambda ^{r}$ $n\to\infty$ $r$ $\mu _{r}({\xi _{n)))$ $r$ $k$ $n\to\infty$ $P\{\xi _{n}=k\}\sim {\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!)}}$

Prueba Lema

Primero, probemos la fórmula general para calcular la probabilidad de ocurrencia de un valor específico de una variable aleatoria en términos de momentos factoriales. Dejemos que para algunos sepamos todos y para . Después $\xi$ $\mu _{r}(\xi)$ $\mu _{r}(\xi )\a 0$ $r\to\infty$

$\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!} }}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{\sum \limits _{s=r}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {s!} {k!(rk)!(sr)!}}P\{\xi =s\}}}.$

Al cambiar el orden de la suma, esta expresión se puede convertir a

$\sum \limits _{s=k}^{\infty} {P\{\xi =s\}\sum \limits _{r=k}^{s}{\frac {(-1) ^{rk}s!}{k!(rk)!(sr)!}}}=\sum \limits _{s=k}^{\infty }{P\{\xi =s\}{\frac {s!}{k!}}\sum _{t=0}^{sk}{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)-t)!}}}.$

Además, de la conocida fórmula , obtenemos que at y la misma expresión degenera en at . $\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{(-1)^{k}C_{n}^{k}}=0$ ${\frac {s!}{k!}}\sum_{{t=0}}^{{sk}}{{\frac {(-1)^{t}}{t!((sk)- t)!}}}=0$ $s > k$ $una$ $s = k$

Así, se prueba que $P\{\xi =k\}=\sum \limits _{r=k}^{\infty }{(-1)^{rk}{\frac {\mu _{r}(\xi )}{k!(rk)!}}}.$

Prueba del teorema

De acuerdo con el lema y las condiciones del teorema, para . $P\{\xi _{n}=k\}\sim \sum \limits _{{r=k}}^{{\infty}}{(-1)^{{rk}}{\frac {\ lambda ^{r}}{k!(rk)!}}}=\sum \limits _{{r=0}}^({\infty }}{(-1)^{r}{\frac {\ lambda ^{{r+k}}}{k!r!}}}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\sum \limits_{{r=0}}^{{ \infty )){{\frac {(-\lambda )^{r}}{r!}}}={\frac {\lambda ^{k}e^{{-\lambda }}}{k!} }$ $n\to\infty$

QED

Como ejemplo de una consecuencia no trivial de este teorema, se puede citar, por ejemplo, la tendencia asintótica a la distribución del número de aristas aisladas (componentes conectados de dos vértices) en un gráfico de vértice aleatorio, donde cada uno de los las aristas se incluyen en el gráfico con probabilidad . [una] ${\ matemáticas {P}} (\ lambda)$ $norte$ $p_{n}\sim {\frac {2\lambda}{n^{2))}$

Historia

Los "Estudios sobre la probabilidad de sentencia en casos penales y civiles" de Siméon Denis Poisson [2] , en los que se introdujo esta distribución, se publicaron en 1837 [3] . Ejemplos de otras situaciones que se pueden modelar utilizando esta distribución son: averías en el equipo, tiempo de mantenimiento para un empleado estable, error de impresión, crecimiento bacteriano en una placa de petri , defectos en una cinta o cadena larga, pulsos de contador de radiación, número de goles marcados por un equipo de fútbol y otros [4]

Véase también

Notas

↑ Video conferencia de la Escuela de Análisis de Datos . Fecha de acceso: 7 de diciembre de 2014. Archivado desde el original el 8 de abril de 2014. (indefinido)
↑ Poisson, 1837 .
↑ Distribución de Chukova Yu. P. Poisson // "Quantum" : pop científico. Phys.-Math. revista - M. : "Nauka" , 1988. - Nº 8 . — Pág. 15‒18 . — ISSN 0130-2221 .
↑ Vincent, 2012 , pág. 370.

Literatura

Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones de ingeniería. 2ª ed. - M. : Escuela superior , 2000. - 480 p. - ISBN 978-5-406-00565-1 . - art. 135.
Vicente, Ralph. Las matemáticas de las técnicas de análisis de riesgo de gestión de dinero para comerciantes. — M .: Editorial Alpina , 2012. — 400 p. - ISBN 978-5-9614-1894-1 .
Poisson S. D. Estudios sobre la probabilidad de sentencia en casos penales y civiles = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. - Berlín: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. - 330 p. — ISBN 978-3-942944-29-8 . [Poisson.pdf ] . Archivado desde el original el 1 de noviembre de 2014. (indefinido)
Guerriero V. Distribución Ley Potencial: Método de Estadística Inferencial Multiescala . — Diario de la frontera de las matemáticas modernas , 2012, 1 . - Pág. 21-28. Archivado el 21 de febrero de 2018 en Wayback Machine .

Enlaces

Distribución de Poisson - Calculadora en línea

diccionarios y enciclopedias	gran noruego gran ruso Gran soviet (1 ed.) Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4253010-6 J9U : 987007558217205171 LCCN : sh85103956 NDL : 00569122

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula