Módulo gratuito

Un módulo libre  es un módulo F sobre un anillo R (usualmente considerado como asociativo con un elemento de identidad), si es cero o tiene una base , es decir, un sistema S no vacío de elementos e 1 ,…e i … , que es linealmente independiente y genera F . El propio anillo R , considerado como un módulo izquierdo sobre sí mismo, obviamente tiene una base que consiste en un solo elemento del anillo, y cada módulo con una base finita de n elementos es isomorfo a una suma directa R n de anillos R considerados como módulos .

Es importante señalar que, en algunos casos, un módulo libre puede tener dos bases finitas que constan de un número diferente de elementos. Dado que en este caso el módulo M será isomorfo tanto a R m como a R n , donde m≠n , entonces este caso es posible si y solo si sobre el anillo R existen matrices A de tamaño m×n y B de tamaño n ×m , tal que AB=I m y BA=I n , donde I m e I n  son matrices unitarias cuadradas. Es claro que en el caso de que el anillo R admita un homomorfismo en un anillo de división (este será el caso, por ejemplo, en el caso de anillos conmutativos), esta situación es imposible debido a la propiedad de rango de la matriz. En este caso, el número de elementos de la base se denomina rango del anillo R y se denota por rango R o rk R . En el caso de un espacio vectorial, el rango del espacio es su dimensión.

Si un módulo tiene una base infinita, entonces todas esas bases son equivalentes.

Dado que cualquier grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de números enteros Z , todo lo anterior se aplica también a los grupos abelianos libres.

Propiedad genérica

La propiedad de un módulo de ser libre se puede expresar en términos de teoría de categorías . Una función lineal entre módulos libres está determinada únicamente por sus valores sobre la base , por el contrario, una función arbitraria definida sobre la base puede extenderse a una función lineal. Estas propiedades de la base se pueden formalizar utilizando la propiedad universal .

Cada módulo sobre un anillo R se puede asociar con su conjunto de soporte: existe un funtor olvidadizo F  : R-Mod → Set . Sea A  algún módulo R ; i: X → F(A)  es alguna función entre conjuntos. Decimos que A  es un módulo libre con base vectorial i ( X ) si y sólo si para cualquier aplicación existe una única aplicación lineal tal que .

Generalizaciones

Algunos teoremas sobre módulos libres siguen siendo válidos para clases más amplias de anillos. Un módulo proyectivo  es exactamente el sumando directo de algún módulo libre, así que para probar un enunciado sobre un módulo proyectivo, podemos considerar su inclusión en un módulo libre y usar una base. Las generalizaciones aún más distantes son los módulos planos , que pueden representarse como un límite directo de módulos libres generados finitamente y módulos libres de torsión .

Literatura