Lista de fórmulas de cuadratura

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Este artículo proporciona una lista de varias fórmulas de cuadratura para la integración numérica .

Notación

En general, la fórmula de integración numérica se escribe de la siguiente manera:

\int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}({\widetilde {w_{i}}}f( x_{i})}=\sum_{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {det} (J(\xi _{i}))f(x(\xi _ {i})))}

$f(x)$ es una función integrable;
${\ estilo de visualización w_ {i}}$ — pesos de integración;
$\xi$ — sistema de coordenadas del elemento maestro;
$J(\xi )={\frac {\parcial (x_{1},\dots,x_{n})}{\parcial (\xi _{1},\dots \xi _{n}) }}$ es la matriz de Jacobi para la transición al elemento maestro.

Debido a la aditividad de la integral , áreas simples ( triángulo , cuadrilátero , tetraedro , etc.) serán consideradas como el área de integración , con geometría compleja, el área se puede representar como una unión de simples y calcular la integral sobre ellos o utilice una spline para representar la asignación al elemento maestro. $\Omega$

En el artículo, las variables se utilizarán para designar coordenadas naturales y para designar coordenadas del elemento maestro - . $x, y, z$ ${\ estilo de visualización \ xi, \ eta, \ zeta}$

Integral unidimensional

La integración unidimensional es siempre integración sobre un segmento.

Área de integración: segmento ; ${\ estilo de visualización [x_{0},x_{1}]}$
Elemento maestro: corte ; ${\ estilo de visualización [-1,1]}$
Saltar al elemento maestro: ; $\xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1$
Transición desde el elemento maestro: ; ${\displaystyle x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2))+x_{0))$
jacobiano: . $\mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}$

Número	Número de puntos	Orden de integración	$\xi$	$w$	Además
una	una	una	${\ estilo de visualización 0}$	$2$	método del rectángulo
2	2	una	$-una$	$una$	método trapezoidal
2	2	una	$una$	$una$	método trapezoidal
3	2	3	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$	Método de Gauss -2
3	2	3	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$	Método de Gauss -2
cuatro	3	3	$-una$	${\frac{1}{3))$	método simpson
			${\ estilo de visualización 0}$	${\frac {4}{3}}$
			$una$	${\frac{1}{3))$
5	3	5	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {3} {5}}}}$	${\frac {5}{9}}$	Método de Gauss-3
			${\ estilo de visualización 0}$	${\frac {8}{9}}$
			${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {3} {5}}}}$	${\frac {5}{9}}$
6	cuatro	7	$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$	Método de Gauss-4
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$
			$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
7	5	9	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{128}{225}}$	Método de Gauss-5
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac{322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac{322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac{322-13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac{322-13{\sqrt {70}}}{900}}$

Integral bidimensional

Elemento maestro cuadrado

Área de integración: rectángulo ${\ estilo de visualización [x_{0},x_{1}]\veces [y_{0},y_{1}]}$
Elemento maestro: cuadrado ${\ estilo de visualización [-1,1] \ veces [-1,1]}$
Cambiar al elemento maestro:

\xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1

\eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1

;

Transición desde el elemento maestro:

x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}

{\displaystyle y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2))+y_{0))

;

jacobiano: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4))$

Estas fórmulas de integración también se pueden usar cuando el área de integración es un cuadrilátero convexo, pero entonces las fórmulas de transición al elemento maestro (y viceversa) no tendrán una forma tan simple. Puede obtener una expresión para la transición usando un polinomio de interpolación .
Muchas de las fórmulas para la integración cuadrada se pueden obtener como una combinación de fórmulas para un segmento: todos los pares posibles de puntos unidimensionales se toman como puntos de integración y los productos correspondientes de los pesos de integración se toman como pesos. Ejemplos de tales métodos en la siguiente tabla son el método del rectángulo, el método del trapezoide y el método de Gauss-2.

Número	Número de puntos	Orden de integración	$\xi$	$\eta$	$w$	Además
una	una	una	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	$cuatro$	Método del rectángulo (método del promedio)
2	cuatro	una	$-una$	$-una$	$una$	método trapezoidal
			$-una$	$una$	$una$
			$una$	$-una$	$una$
			$una$	$una$	$una$
3	cuatro	3	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$	Método de Gauss-2
			${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$
			${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$
			${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$
cuatro	12	7	${\ estilo de visualización -c}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ Displaystyle w_ {c}}$	$a={\sqrt {\frac {114-3{\sqrt {583}}}{287}}}$ $b={\sqrt {\frac {114+3{\sqrt {583}}}{287}}}$ ${\ Displaystyle c = {\ sqrt {\ frac {6} {7}}}}$ $w_{a}={\frac {307}{810}}+{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{b}={\frac {307}{810}}-{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{c}={\frac {98}{405}}$ El número de nodos es mínimo [1] .
			$C$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ Displaystyle w_ {c}}$
			${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización -c}$	${\ Displaystyle w_ {c}}$
			${\ estilo de visualización 0}$	$C$	${\ Displaystyle w_ {c}}$
			${\ estilo de visualización -a}$	$-a$	$Washington$
			$a$	$-a$	$Washington$
			${\ estilo de visualización -a}$	$a$	$Washington$
			$a$	$a$	$Washington$
			${\ estilo de visualización -b}$	$-b$	${\ Displaystyle w_ {b}}$
			$b$	$-b$	${\ Displaystyle w_ {b}}$
			${\ estilo de visualización -b}$	$b$	${\ Displaystyle w_ {b}}$
			$b$	$b$	${\ Displaystyle w_ {b}}$

Elemento maestro triangular

Área de integración: triángulo formado por vértices ; ${\ estilo de visualización (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$
Elemento maestro: un triángulo formado por vértices . ${\ estilo de visualización (0,0), (1,0), (0,1)}$

Para ir al elemento maestro, se utilizan coordenadas baricéntricas (coordenadas L), indicadas por . ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3}}$

{\ estilo de visualización \ lambda _ {i} (x, y) = \ alpha _ {i1} x + \ alpha _ {i2} y + \ alpha _ {i3}}

Para calcular los coeficientes de las coordenadas L, se utiliza la matriz : $D$

D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix))

La matriz de coeficientes es inversa a : . $D$ ${\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1))$

Saltar al elemento maestro:

{\ estilo de visualización \ xi (x, y) = \ lambda _ {1} (x, y)}

{\ estilo de visualización \ eta (x, y) = \ lambda _ {2} (x, y)}

Transición desde el elemento maestro:

{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix} }

jacobiano: . $\mathrm {det} (J(\xi,\eta))=\mathrm {det} (D)$

Número	Número de puntos	Orden de integración	$\xi$	$\eta$	$w$	Además
una	una	una	${\frac{1}{3}}$	${\frac{1}{3))$	${\frac{1}{2))$	método promedio
2	3	2	${\frac{1}{2))$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{1}{6}}$	-
			${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{1}{2))$	${\frac{1}{6}}$
			${\frac{1}{2))$	${\frac{1}{2))$	${\frac{1}{6}}$
2	3	2	${\frac{1}{6}}$	${\frac{1}{6}}$	${\frac{1}{6}}$	Método de Gauss-3
			${\frac {2}{3}}$	${\frac{1}{6}}$	${\frac{1}{6}}$
			${\frac{1}{6}}$	${\frac{2}{3))$	${\frac{1}{6}}$
cuatro	cuatro	3	${\frac{1}{3}}$	${\frac{1}{3))$	$-{\frac {9}{32}}$	Método de Gauss-4
			${\frac{3}{5}}$	${\frac{1}{5}}$	${\frac{25}{96}}$
			${\frac{1}{5}}$	${\frac{3}{5))$	${\frac{25}{96}}$
			${\frac{1}{5}}$	${\frac{1}{5}}$	${\frac{25}{96}}$
5	7	3	${\frac{1}{3}}$	${\frac{1}{3))$	${\frac {9}{40}}$	Método de Newton - Cotes_
			${\frac{1}{2))$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{1}{15}}$
			${\frac{1}{2))$	${\frac{1}{2))$	${\frac{1}{15}}$
			${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{1}{2))$	${\frac{1}{15}}$
			$una$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{1}{40}}$
			${\ estilo de visualización 0}$	$una$	${\frac{1}{40}}$
			${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{1}{40}}$

Integral tridimensional

Elemento maestro cúbico

Área de integración: paralelepípedo $[x_{0},x_{1}]\veces [y_{0},y_{1}]\veces [z_{0},z_{1}]$
Elemento maestro: Cubo ${\ estilo de visualización [-1,1] \ veces [-1,1] \ veces [-1,1]}$
Cambiar al elemento maestro:

\xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1

\eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1

\zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1

Transición desde el elemento maestro:

{\displaystyle x(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2))+x_{0))

{\displaystyle y(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2))+y_{0))

;

{\displaystyle z(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2))+z_{0))

;

jacobiano: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_ {1}-z_{0})}{8}}$

Así como para un cuadrado, un cubo puede usarse como elemento maestro para un hexágono arbitrario [ clarificar ] , pero entonces la transición y las fórmulas jacobianas se volverán más complicadas.
Además, de manera similar a un cuadrado, se pueden obtener muchas fórmulas de integración de cubos a partir de fórmulas de integración de segmentos, las coordenadas de los nodos son todas las posibles ternas de coordenadas de la fórmula unidimensional y los pesos de integración son el producto de los pesos correspondientes de los fórmula unidimensional.

Número	Número de puntos	Orden de integración	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Además
una	una	una	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	$ocho$	Método del rectángulo (método del promedio)
2	ocho	3	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$	Método de Gauss-2
			${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$
			${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$
			${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$
			${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$
			${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$
			${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$
			${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {3}}}}$	$una$
3	catorce	5	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19}{30}}}}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{320}{361}}$	El número de nodos en la clase de fórmulas con un orden de aproximación de 5 y que no contienen el origen es mínimo. [2]
			${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {30}}}}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{320}{361}}$
			${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19}{30}}}}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{320}{361}}$
			${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {30}}}}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\frac{320}{361}}$
			${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19}{30}}}}$	${\frac{320}{361}}$
			${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {30}}}}$	${\frac{320}{361}}$
			${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\frac{121}{361}}$
			${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\frac{121}{361}}$
			${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\frac{121}{361}}$
			${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\frac{121}{361}}$
			${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\frac{121}{361}}$
			${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\frac{121}{361}}$
			${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización - {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\frac{121}{361}}$
			${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {19} {33}}}}$	${\frac{121}{361}}$

Dado que las fórmulas de integración de alto orden contienen muchos puntos, las presentamos por separado.

Orden: 7, número de puntos: 34

número de punto	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Además
una	$a$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	$w_{1}$	${\ Displaystyle a = {\ sqrt {\ frac {6} {7}}}}$ , , , , , , $b={\sqrt {\frac {960-33{\sqrt {238}}}{2726}}}$ $c={\sqrt {\frac {960+33{\sqrt {238}}}{2726}}}$ $w_{1}={\frac {1078}{3645}}$ $w_{2}={\frac {343}{3645}}$ $w_{3}={\frac {43}{135}}+{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$ $w_{4}={\frac {43}{135}}-{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$
2	$-a$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	$w_{1}$
3	${\ estilo de visualización 0}$	$a$	${\ estilo de visualización 0}$	$w_{1}$
cuatro	${\ estilo de visualización 0}$	$-a$	${\ estilo de visualización 0}$	$w_{1}$
5	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	$a$	$w_{1}$
6	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	$-a$	$w_{1}$
7	$a$	$a$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
ocho	$a$	$-a$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
9	$-a$	$a$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
diez	$-a$	$-a$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
once	$a$	${\ estilo de visualización 0}$	$a$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
12	$a$	${\ estilo de visualización 0}$	$-a$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
13	$-a$	${\ estilo de visualización 0}$	$a$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
catorce	$-a$	${\ estilo de visualización 0}$	$-a$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
quince	${\ estilo de visualización 0}$	$a$	$a$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
dieciséis	${\ estilo de visualización 0}$	$a$	$-a$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
17	${\ estilo de visualización 0}$	$-a$	$a$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
Dieciocho	${\ estilo de visualización 0}$	$-a$	$-a$	${\ estilo de visualización w_ {2}}$
19	$b$	$b$	$b$	${\ estilo de visualización w_ {3))$
veinte	$b$	$b$	$-b$	${\ estilo de visualización w_ {3))$
21	$b$	$-b$	$b$	${\ estilo de visualización w_ {3))$
22	$b$	$-b$	$-b$	${\ estilo de visualización w_ {3))$
23	$-b$	$b$	$b$	${\ estilo de visualización w_ {3))$
24	$-b$	$b$	$-b$	${\ estilo de visualización w_ {3))$
25	$-b$	$-b$	$b$	${\ estilo de visualización w_ {3))$
26	$-b$	$-b$	$-b$	${\ estilo de visualización w_ {3))$
27	$C$	$C$	$C$	$w_{4}$
28	$C$	$C$	${\ estilo de visualización -c}$	$w_{4}$
29	$C$	${\ estilo de visualización -c}$	$C$	$w_{4}$
treinta	$C$	${\ estilo de visualización -c}$	${\ estilo de visualización -c}$	$w_{4}$
31	${\ estilo de visualización -c}$	$C$	$C$	$w_{4}$
32	${\ estilo de visualización -c}$	$C$	${\ estilo de visualización -c}$	$w_{4}$
33	${\ estilo de visualización -c}$	${\ estilo de visualización -c}$	$C$	$w_{4}$
34	${\ estilo de visualización -c}$	${\ estilo de visualización -c}$	${\ estilo de visualización -c}$	$w_{4}$

Elemento maestro tetraédrico

Área de integración: tetraedro formado por vértices . ${\ estilo de visualización (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{ 3}),(x_{4},y_{4},z_{4})}$
Elemento maestro: tetraedro formado por vértices . ${\ estilo de visualización (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}$

De manera similar con el triángulo, las coordenadas L del tetraedro se utilizan para ir al elemento maestro, denotado por : ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3}, \ lambda _ {4}}$

{\displaystyle \lambda_{i}(x,y,z)=\alpha_{i1}x+\alpha_{i2}y+\alpha_{i3}z+\alpha_{i4})

La matriz de coeficientes se define como: , donde ${\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1))$

D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1 }&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{matrix}}

Cambiar al elemento maestro:

{\ estilo de visualización \ xi (x, y, z) = \ lambda _ {1} (x, y, z)}

{\ estilo de visualización \ eta (x, y, z) = \ lambda _ {2} (x, y, z)}

{\ estilo de visualización \ zeta (x, y, z) = \ lambda _ {3} (x, y, z)}

Transición desde el elemento maestro:

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi - \eta-\zeta\end{pmatrix}}

jacobiano: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm {det} (D)$

Número	Número de puntos	Orden de integración	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Además
una	una	una	${\frac{1}{4}}$	${\frac{1}{4))$	${\frac{1}{4))$	${\frac{1}{6}}$	método promedio
2	cuatro	2	${\frac{5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac{5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac{5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$	Método de Gauss-4
			${\frac{5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac{5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac{5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
			${\frac{5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac{5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac{5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
			${\frac{5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac{5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac{5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
3	5	3	${\frac{1}{4))$	${\frac{1}{4))$	${\frac{1}{4))$	$-{\frac {2}{15}}$
			${\frac{1}{2))$	${\frac{1}{6}}$	${\frac{1}{6}}$	${\frac{3}{40}}$
			${\frac{1}{6}}$	${\frac{1}{2))$	${\frac{1}{6}}$	${\frac{3}{40}}$
			${\frac{1}{6}}$	${\frac{1}{6}}$	${\frac{1}{2))$	${\frac{3}{40}}$
			${\frac{1}{6}}$	${\frac{1}{6}}$	${\frac{1}{6}}$	${\frac{3}{40}}$
cuatro	once	cuatro	${\frac{1}{4))$	${\frac{1}{4))$	${\frac{1}{4))$	$-{\frac {74}{5625}}$	Método de Gauss-11
			${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac{343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac{343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac{343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac{343}{45000}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac{56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac{56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac{56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac{56}{2250}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac{56}{2250}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac{56}{2250}}$
5	catorce	5	${\ estilo de visualización a}$	${\ estilo de visualización a}$	${\ estilo de visualización a}$	${\ estilo de visualización A}$	$A,\B,\C,\a,\b,\c$ se determinan a partir de las siguientes ecuaciones: ${\begin{cases}t={\frac {4}{27}}\left(71-4{\sqrt {79}}\sin \left({\frac {1}{3}}\ izquierda[{\frac {\pi }{2}}+\arctan \left({\frac {27{\sqrt {10815}}}{67}}\right)\right]\right)\right)\\ a={\frac {1+\alpha }{4)),\ b={\frac {1+\beta }{4)),\ c={\frac {1+2\gamma }{4)) \\\gamma ={\sqrt {1/t)),\ C=t^{2}/7!,\ \alpha >0\\A\alpha ^{2}+B\beta ^{2}= (1-t/21)/5!\\A\alfa ^{3}+B\beta ^{3}=-2/6!\\A\alfa ^{4}+B\beta ^{4} =10/7!\\A\alpha ^{5}+B\beta ^{5}=-6/7!\\\end{casos}}$ ${\ estilo de visualización A \ aproximadamente 0,01878132095300264180}$ ${\ estilo de visualización B \ aproximadamente 0,01224884051939365826}$ ${\ estilo de visualización C \ aproximadamente 0,00709100346284691107}$ ${\ estilo de visualización \ aproximadamente 0,31088591926330060980}$ ${\ estilo de visualización b \ aproximadamente 0,09273525031089122640}$ ${\ estilo de visualización c \ aproximadamente 0,45449629587435035051}$
			${\ estilo de visualización 1-3a}$	${\ estilo de visualización a}$	${\ estilo de visualización a}$	${\ estilo de visualización A}$
			${\ estilo de visualización a}$	${\ estilo de visualización 1-3a}$	${\ estilo de visualización a}$	${\ estilo de visualización A}$
			${\ estilo de visualización a}$	${\ estilo de visualización a}$	${\ estilo de visualización 1-3a}$	${\ estilo de visualización A}$
			${\ estilo de visualización b}$	${\ estilo de visualización b}$	${\ estilo de visualización b}$	${\ estilo de visualización B}$
			${\ estilo de visualización 1-3b}$	${\ estilo de visualización b}$	${\ estilo de visualización b}$	${\ estilo de visualización B}$
			${\ estilo de visualización b}$	${\ estilo de visualización 1-3b}$	${\ estilo de visualización b}$	${\ estilo de visualización B}$
			${\ estilo de visualización b}$	${\ estilo de visualización b}$	${\ estilo de visualización 1-3b}$	${\ estilo de visualización B}$
			${\frac{1}{2}}-c$	${\ estilo de visualización c}$	${\ estilo de visualización c}$	${\ estilo de visualización C}$
			${\ estilo de visualización c}$	${\frac{1}{2}}-c$	${\ estilo de visualización c}$	${\ estilo de visualización C}$
			${\ estilo de visualización c}$	${\ estilo de visualización c}$	${\frac{1}{2}}-c$	${\ estilo de visualización C}$
			${\frac{1}{2}}-c$	${\frac{1}{2}}-c$	${\ estilo de visualización c}$	${\ estilo de visualización C}$
			${\frac{1}{2}}-c$	${\ estilo de visualización c}$	${\frac{1}{2}}-c$	${\ estilo de visualización C}$
			${\ estilo de visualización c}$	${\frac{1}{2}}-c$	${\frac{1}{2}}-c$	${\ estilo de visualización C}$

Notas

↑ Mysovskij, 1981 , pág. 285.
↑ Mysovskij, 1981 , pág. 280.

Literatura

Fórmulas de cubetura de interpolación IP de Mysovskikh. - Moscú: Nauka, 1981. - S. 336.

Enlaces

Integración numérica sobre el dominio triangular (inglés) (enlace no disponible) . — Integración sobre un elemento triangular. Consultado el 12 de junio de 2014. Archivado desde el original el 14 de julio de 2014.
Integración numérica sobre el dominio tetraédrico (inglés) (enlace no disponible) . — Integración sobre un elemento tetraédrico. Consultado el 12 de junio de 2014. Archivado desde el original el 14 de julio de 2014.

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