Nudo (matemáticas)
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 4 de agosto de 2021; las comprobaciones requieren 4 ediciones .Un nudo en matemáticas es una incrustación de un círculo (esfera unidimensional) en un espacio euclidiano tridimensional , considerado hasta una isotopía . El tema principal de estudio de la teoría de nudos . Dos nodos son topológicamente equivalentes si uno de ellos puede deformarse en el otro, y en el proceso de deformación no debería haber autointersecciones.
Un caso particular es la cuestión de reconocer la trivialidad de un nudo particular, es decir, si un nudo dado es isotópico a un nudo trivial (puede ser desatado).
Se pueden usar varias invariantes de nudos para determinar si un nudo en particular es trivial, como el polinomio de Alexander o el grupo fundamental del complemento . Por lo general, se pueden calcular a partir del diagrama nodal .
En topología, los nodos se consideran solo en líneas cerradas, porque los no cerrados se pueden desatar [1] .
Definición
Un nudo es una subvariedad suave de una esfera tridimensional , homeomorfa.Un nudo se entiende como una esfera tridimensional orientada, y la orientación del círculo no suele ser importante.
Se dice que un nudo está truncado si existe un disco bidimensional que (ver Límite (topología) y Paquete circular ).
Los nudos son cobordantes si existe un anillo incrustado suavemente que se cruza en ( ) (ver familia (matemáticas) ). Grupo de cobordismo de nudos: nudos orientados cobordantes con operación de suma conectada . Considere esferas en una esfera Si es par, entonces
Paquete
Los conceptos de trenza y nudo se generalizan con el concepto de haz. Una conexión con entradas y salidas (es decir, una conexión) es un sistema de arcos y círculos que no se intersecan incrustados suavemente en una tira de modo que los extremos de los arcos son puntos y los círculos se encuentran en Estos arcos y círculos se denominan los componentes de la conexión [2] .
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Clasificación
El nudo de trébol es el primer nudo no trivial y el único nudo contres intersecciones . Es primo y se enumera con el número 3 1 en notación de Alexander-Briggs . La notación de Dowker para el trébol es 4 6 2, y la notación de Conway para el trébol es [3].
El trébol no es trivial, lo que significa que no es posible "desatar" el trébol en 3D sin cortarlo. Matemáticamente, esto significa que el trébol no es isotópico al nudo trivial . En particular, no hay una secuencia de movimientos de Reidemeister mediante los cuales se deshaga el nudo.
Ocho , nudo cuádruple o nudo de listado , el nudoes uno de los nudos no triviales más simples. El ocho está representado por el símbolo. Considerado por primera vez por Listing , un estudiante de Gauss, en 1847 .
El trébol es quiral en el sentido de que el trébol es diferente de su propia imagen especular. Las dos variantes del trébol se conocen como zurdas y diestras. Es imposible transformar la variante izquierda en derecha de forma continua o viceversa mediante deformación. (Es decir, estos dos tréboles no son isotópicos).
Además, se puede demostrar que el trébol (tanto a la derecha como a la izquierda) no es isotópico a la figura ocho.
El cinquefoil , también conocido como el nudoen la notación de Alexander y Briggs, el nudo Potentilla y el sello de Salomón , es un nudo para el cual el número de intersecciones (el número mínimo posible de auto-intersecciones en un diagrama - una figura plana - un nudo) es cinco.
Para nudos de múltiples componentes, el número de componentes se indica en el superíndice: por ejemplo, la unión de dos anillos tiene la notación simbólica .
Estos fueron ejemplos de nudos polinómicos [3] . El nodo no polinomial es el nodo salvaje [4]
Un nudo salvaje es un nudo en el espacio euclidiano tal que no hay homeomorfismo sobre sí mismo bajo el cual pasa a una línea quebrada cerrada que consta de un número finito de segmentos.
Nudos y enlaces
La incrustación (más a menudo, su imagen) de una suma desconectada de instancias de un círculo en o se denomina enlace de multiplicidad .
El enlace de multiplicidad se llama nudo .
Los nodos que componen un enlace dado se denominan sus componentes .
Nudos invariantes
En la teoría de nudos, el número de intersección de un nudo es el número más pequeño de intersecciones en cualquier diagrama de nudos. El número de intersecciones es el nudo invariante .
Por ejemplo, un nudo trivial tiene cruces por cero, un trébol tiene tres cruces y un ocho tiene cuatro cruces.
Adición de nodos
El teorema de Gordon-Lycke establece que el complemento de un nudo (como espacio topológico ) es una "invariante completa" de un nudo, en el sentido de que distingue un nudo dado de todos los demás hasta la isotopía ambiental. y reflejo de espejo . Entre las invariantes asociadas con el complemento del nudo está el grupo de nudos , que es simplemente el grupo fundamental de su complemento.
Notas
- ↑ Boltyansky V.G., Efremovich V.A. Topología visual. - M.: Nauka, 1983. Serie Biblioteca "Quantum", número 21. - P.87
- ↑ Kassel K., Rosso M., Turaev V. - Grupos cuánticos e invariantes de nudos. - Moscú: Instituto de Investigación Informática, 2002, 140 páginas.
- ↑ Armstrong (1983 ), pág. 215.
- ↑ Livingstone (1996 ), Sección 2.1 Wild Knots and Unknottings, págs. 11-14.
Literatura
- Simón Jonathan. Aproximaciones Matemáticas a la Estructura y Dinámica Biomolecular / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. - 1996. - V. 82. - (Los Volúmenes IMA en Matemáticas y sus Aplicaciones). -doi : 10.1007 / 978-1-4612-4066-2_4 .
- PG Tait. articulos cientificos. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 1898. - V. 1.
- C. A. Adams. El libro de los nudos: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos. - Sociedad Matemática Americana, 2004. - ISBN 9780821836781 .
- Crowell R., Fox R. Introducción a la teoría de nudos / Per. De inglés. - Cherepovets: Mercury-Press, 2000. - 348 p. — ISBN 5-1148-0112-0 . .
- Manturov V. O. Teoría del nudo. - M. : RHD, 2005. - 512 p. — ISBN 5-93972-404-3 . .
- Manturov V. O. Conferencias sobre la teoría de los nudos y sus invariantes. — M. : Editorial URSS, 2001. — 204 p. — ISBN 5-8360-0287-8 . .
- Milnor J. Puntos singulares de hipersuperficies complejas / Per. De inglés. — M .: Mir, 1971. — 127 p.
- Mandelbaum R. Topología de cuatro dimensiones / Per. De inglés. — M .: Mir, 1981. — 286 p.
- Hillman JA Alexander ideales de enlaces B. - Hdlb. — Nueva York, 1981.
- Jones, Vaughan F. R. Knot Theory and Statistical Mechanics // Scientific American (edición en ruso). - N° 1. - 1991. - S. 44-50.
- Sosinsky, A. B. Nudos y Trenzas . - M. : MTsNMO , 2001. - T. 10. - 24 p. - (Biblioteca "Educación Matemática"). - ISBN 5-900916-76-6 . .
- Artículos "Teoría de nudos a finales del siglo XX" // Educación matemática . - Nº 3. - 1999.
- Manturov V. O. Excursus a la teoría de los nudos // Revista educativa en red . - 2004. - T. 8 , N º 1 . - S. 122-127 .
- H. Gruber. Estimaciones para el número mínimo de cruces . - 2003. - arXiv : matemáticas/0303273 .
- Yuan Diao. La aditividad de cruzar números // Journal of Knot Theory and its Ramifications. - 2004. - T. 13 , núm. 7 . -doi : 10.1142/ S0218216504003524 .
- Marc Lackenby. El número de cruces de nudos compuestos // Journal of Topology. - 2009. - Vol. 2 , número. 4 . -doi : 10.1112 / jtopol/jtp028 .
- Honda K. Métodos tridimensionales en geometría de contacto . (Inglés)
- Etnyre JB Legendrian y Nudos Transversales . (Inglés)
- Birman JS Trenzas, nudos y estructuras de contacto . (Inglés)
- Weisstein, Eric W. Knot Theory (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .