Matriz de identidad

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La matriz identidad es una matriz cuadrada , cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad de campo , y el resto es igual a cero.

Definición

Una matriz cuadrada de tamaño (orden) , donde para cualquier y para cualquier , se llama matriz identidad de orden [1] . $E_{n}=(e_{{ij}})$ $norte$ $e_{{ii}}=1$ $yo\en\overline {1,n}$ $e_{{ij}}=0$ $yo\neq j$ $norte$

La matriz identidad también se puede definir como una matriz para la cual , donde es el símbolo de Kronecker [1] . $(e_{{ij}})$ $e_{{ij}}=\delta _{{ij}}$ $\delta _{{ij}}$

La matriz identidad es un caso especial de la matriz escalar .

Designación

La matriz identidad de tamaño generalmente se denota como: $n\veces n$ $E_{n}$

E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix)),

También se utiliza otra notación: . $En}$

Si está claro por el contexto qué tamaño tiene la matriz, entonces se omite el subíndice (que indica el orden): , [1] . $mi$ $yo$

Propiedades

El producto de cualquier matriz y una matriz identidad de tamaño adecuado es igual a la propia matriz [1] :

AE=EA=A

Una matriz cuadrada elevada a cero da una matriz identidad del mismo tamaño [1] :

A^{0}=E

Al multiplicar una matriz por su inversa , también se obtiene la matriz identidad [2] :

AA^{-1}=A^{-1}A=E

La matriz identidad se obtiene multiplicando una matriz ortogonal por su matriz transpuesta [3] :

AA^{T}=E

El determinante de la matriz identidad es igual a uno:

{\mathrm {det}}\,E=1

Ejemplos

Las matrices identidad de primer orden tienen la forma

E_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix)),\ E_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),\ E_{3}={\ comenzar{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}

Notas

↑ 1 2 3 4 5 Gantmakher, 1966 , pág. 24
↑ Gantmakher, 1966 , pág. 27
↑ Gantmakher, 1966 , pág. 238.

Literatura

Gantmakher, F. R. Teoría de la matriz. - 2ª ed., adicional .. -M .:Nauka, 1966. - 576 p.
Ver referencias de álgebra lineal

Véase también

Matriz cero

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro